混沌理論綜述很全

混沌理論綜述很全第一頁，共四十頁，2022年，8月28日Content混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌的概念混沌的特點(diǎn)混沌現(xiàn)象舉例分岔的概念混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用第二頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌與分岔的起源與發(fā)展公認(rèn)的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家—龐加萊，他是在研究天體力學(xué)，特別是在研究三體問題時發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為，確定性動力學(xué)方程的某些解有不可預(yù)見性。直到20世紀(jì)六十年代后，混沌現(xiàn)象才引起學(xué)術(shù)界的廣泛注意，到七十年代才誕生了還不大成熟的“混沌學(xué)”。其后，“混沌學(xué)”得到了迅速發(fā)展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌現(xiàn)象研究的熱潮。第三頁，共四十頁，2022年，8月28日三體問題的進(jìn)展16世紀(jì)以來科學(xué)家就在尋找這一問題的簡單特解即特殊情況下的簡單穩(wěn)定運(yùn)動軌道。歐拉

三個質(zhì)量相同的物體呈直線等距離排列，兩端物體繞中間物體做圓周運(yùn)動。第四頁，共四十頁，2022年，8月28日

拉格朗日

三個等質(zhì)量的物體，排成等邊三角形繞三角形的中心做圓周運(yùn)動。第五頁，共四十頁，2022年，8月28日近代計(jì)算機(jī)運(yùn)算三個等質(zhì)量的物體在一條“8”字形軌道上運(yùn)動。------宇宙中還沒找到。第六頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以后，關(guān)于分岔與混沌之間聯(lián)系的研究得到迅速發(fā)展，如：Rulle和Takens發(fā)現(xiàn)環(huán)面分岔通向混沌；Feigenbaum發(fā)現(xiàn)倍周期分岔通向混沌；Pomeou等發(fā)現(xiàn)伴隨鞍結(jié)分岔的陣發(fā)性通向混沌。第七頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的概念混沌，英文為chaos，意思是混亂，紊亂。混沌是指發(fā)生在確定系統(tǒng)中貌似隨機(jī)的無規(guī)則或不規(guī)則運(yùn)動。然而混沌作為一門科學(xué)發(fā)展至今，仍沒有一個準(zhǔn)確、完整、科學(xué)的定義，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對其有不同的理解?；煦缫辉~由李天巖（Tian-yanLi）和約克（Yorke）于1975年首先提出?；煦绲亩ㄐ悦枋?，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初始條件的非周期行為”。第八頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的概念n周期點(diǎn)的定義：如果對于某x0

，有f(n)(x0)=x0，但對于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0

，則稱x0為f的一個n周期點(diǎn)。n周期軌道的定義：當(dāng)x0為f的一個n周期點(diǎn)時，稱{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}為f的n周期軌道。Li-Yorke定理：設(shè)連續(xù)自映射，I是R的一個閉區(qū)間，如果：①存在一切周期的周期點(diǎn)；②存在不可數(shù)子集S，S不含周期點(diǎn)，使得118則稱f在S上是混沌的。第九頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的概念Li-Yorke定理給出了混沌數(shù)學(xué)上的定義，它說明混沌系統(tǒng)應(yīng)該具有三種性質(zhì)：存在所有周期的周期軌道；存在一個不可數(shù)集，此集只含有混沌軌道，任意兩個軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)；任一混沌軌道不趨于任一周期軌道。第十頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)對初值的敏感性

混沌對初值具有敏感依賴性，初值的微小差別會導(dǎo)致未來的混沌軌道的巨大差別,正是所謂“失之毫厘，謬以千里”。1963年，荷蘭科學(xué)家洛倫茲(HendrikAntoonLorenz)在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”的著名論文。該論文以一個底部加熱、頂部冷卻的兩維運(yùn)動流體塊中的對流為模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用數(shù)值方法揭示了該模型中存在混沌運(yùn)動，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)初值的微小變化會導(dǎo)致軌道在長時間以后完全不同，即解對初值的極端敏感性，就是著名的蝴蝶效應(yīng)。第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)內(nèi)在隨機(jī)性

確定性行為一定產(chǎn)生于確定性方程，而隨機(jī)行為卻產(chǎn)生于兩類方程：一類是隨機(jī)微分方程，一類是確定性方程。隨機(jī)微分方程表現(xiàn)出來的隨機(jī)性是由隨機(jī)參數(shù)、隨機(jī)初始條件或隨機(jī)外界強(qiáng)迫所產(chǎn)生，常稱為外在隨機(jī)性。確定性方程本身不包含任何隨機(jī)因素，但在一定的參數(shù)范圍卻能產(chǎn)生出看起來很混亂的結(jié)果，把這種由確定性方程產(chǎn)生的隨機(jī)性稱之為內(nèi)在隨機(jī)性?；煦缡谴_定性非線性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，這是混沌的重要特征之一。第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)長期不可預(yù)測性由于初始條件僅限于某個有限精度，而初始條件的微小差異可能對以后的時間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長期預(yù)測將來某一時刻之外的動力學(xué)特性，即混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。

第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)分形性分形(Fractal)這個詞是由曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時所使用的一個新詞。所謂分形是指n維空間一個點(diǎn)集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點(diǎn)集叫分形體。分維就是用非整數(shù)維-分?jǐn)?shù)維來定量地描述分形的基本特性。第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)普適性普適性包括兩種，即結(jié)構(gòu)的普適性和測度的普適性。當(dāng)系統(tǒng)趨于混沌時，所表現(xiàn)出的特征具有普適意義，其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運(yùn)動方程的差異而變化。

第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)遍歷性

遍歷性也稱為混雜性，混沌運(yùn)動在有限時間內(nèi)能夠到達(dá)混沌區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)。

第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)奇怪吸引子相對于簡單吸引子（不動點(diǎn)、極限環(huán)、環(huán)面）相空間的子集合又稱混沌吸引子。由無限層的條帶經(jīng)過伸長和折疊的幾何圖像。它表示系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間呈無規(guī)則的非周期變化;具有混沌的一切特征，對初始條件的敏感性，具有非整數(shù)的維數(shù)，即使原來的微分方程連續(xù)的依賴于參數(shù)，奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)也不是連續(xù)隨參數(shù)變化，而往往是在參數(shù)變化的過程中其整體結(jié)構(gòu)會發(fā)生突變，奇怪吸引子具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日

正如我們前面所說的，系統(tǒng)的混沌運(yùn)動在相空間中無窮地纏繞、折疊和扭結(jié)，構(gòu)成了具有無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為奇異吸引子。典型的有：

一、奇異Lorenz吸引子考慮Lorenz非線性微分方程組

第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日

通常，人們用常數(shù)，另一組是。有時稱為Prandtl數(shù)，為Rayleigh（雷利）數(shù)。系統(tǒng)既不能形成極限環(huán)（一個吸引集，它的軌道或軌線收斂且軌線具有周期性）也不能達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)，代之的是一個確定性的混沌。像其他混沌系統(tǒng)一樣，Lorenz系統(tǒng)對初值很敏感，不管兩個初始狀態(tài)如何地挨近，它終將還是離散。盡管方程組看起來是足夠地簡單，但它還是引出了令人驚異的軌道，即奇異吸引子。第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日

二、奇異Rossler(羅斯洛)吸引子

Rossler非線性微分方程組來源于化學(xué)動力學(xué)的研究，該方程組如下：其中。系統(tǒng)也不能形成極限環(huán)，更不能達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)，得到的只是一個確定性的混沌。也像其他混沌系統(tǒng)一樣，Rossler系統(tǒng)對初值非常敏感。不管兩個初始狀態(tài)如何地接近，最終還是發(fā)第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日散。盡管方程組看起來并不復(fù)雜，但它還是產(chǎn)生出令人眼花繚亂和奇異的軌道，即奇異吸引子。第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的特點(diǎn)幾種典型的混沌吸引子Chen’s吸引子

Lorenz吸引子

Rossler吸引子

第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例

機(jī)床切削金屬時或打印機(jī)機(jī)頭因沖擊而引起的混沌振動正常的腦電波則近乎隨機(jī)訊號，其腦電圖曲線代表的就是典型的混沌現(xiàn)象單擺是我們熟知的確定性運(yùn)動的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動力和阻力時也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)湍流、三體問題、蝴蝶效應(yīng)、昆蟲繁衍第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例--蝴蝶效應(yīng)

1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺老爺計(jì)算機(jī)，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動力學(xué)方程進(jìn)行長期氣象預(yù)報(bào)的模擬數(shù)值計(jì)算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報(bào)的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗(yàn)上一次的計(jì)算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計(jì)算時的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗(yàn)算，而是以一個中間結(jié)果作為驗(yàn)算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計(jì)算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個計(jì)算結(jié)果預(yù)報(bào)幾個月后的某天是晴空萬里，另一個計(jì)算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識到，因?yàn)樗姆匠淌欠蔷€性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對初值的依賴不敏感，而非線性方程對初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長期天氣預(yù)報(bào)是不可能的。對此，洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化為蟲。很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，則蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患”。但在蟲口數(shù)目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會使蟲口減少。綜合考慮正增長和負(fù)增長，即鼓勵和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家羅伯特.梅最終得到蟲口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)

式中各量的取值范圍為

n：1，2，3，···∞；

Xn：[0，1]；

λ：[0，4]第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為N0，且N0>>1。第n代蟲口數(shù)為Nn，則Xn=Nn/N0，是為第n代的相對蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口數(shù)目，故Xn的值不能超過1。λ是控制參量，蟲口模型要求λ取值[0，4]，這是因?yàn)樵讦?gt;4時會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對

Xn+1=5Xn(1—Xn)，當(dāng)代入Xn=0.5后會得到Xn+1=1.25，而最大相對蟲口數(shù)只能為1，Xn+1=1.25顯然沒有意義。第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍下面取λ為不同值對蟲口方程進(jìn)行迭代求解：取λ：0—1迭代容易驗(yàn)證，λ在0—1之間時，無認(rèn)初始值取多少，對方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代歸宿均為確定值零。這是一個最平凡的1周期解，對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)。取λ：1—3迭代迭代也是收斂的，迭代結(jié)果總是趨向于一個穩(wěn)定的不動點(diǎn)，這是一個非零的1周期解，同樣對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。對方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1則有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可見很快收斂于X*=0.5。又對方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只須十幾次迭代就收斂于X*=0.6了。不過與上一迭代趨近方式有所不同，幾次迭代后結(jié)果就在X*值上下產(chǎn)生小幅振蕩，并最終收斂于X*=0.6。第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍取λ：3—3.569迭代迭代結(jié)果開始出現(xiàn)跳躍情況，倍周期分岔開始。其中在3—3.449之間為2周期，在3.449—3.544間為4周期······隨著λ的增加，分岔越來越密，混沌程度越來越高，直至λ=3.569時分岔周期變?yōu)椤?，最后“歸宿”可取無窮多的不同值，表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性。而周期無窮大就等于沒有周期，此時系統(tǒng)開始進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)對應(yīng)λ取值3.569—4。第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日分岔的概念

分岔(bifurcation)是非線性領(lǐng)域的重要理論。分岔是指動力學(xué)系統(tǒng)中，控制參量改變時，其各自的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然變化。分岔現(xiàn)象是非線性問題中所特有現(xiàn)象，失穩(wěn)是其發(fā)生的前提。分岔之后，系統(tǒng)不同狀態(tài)間便發(fā)生不連續(xù)的過渡，這就是突變。然后經(jīng)過不斷地分岔，最后達(dá)到的終態(tài)即混沌。由此可見分岔在許多非線性現(xiàn)象中起著橋梁作用。分岔問題可以分成靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔。靜態(tài)分岔指系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性在分岔值附近發(fā)生變化，如鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔等；動態(tài)分岔是相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，如Hopf分岔、環(huán)面分岔、同宿或異宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍結(jié)分岔為三種分岔原型。第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日分岔的概念叉形分岔77其典型方程為：方程的平衡點(diǎn)有三個：x=0和平衡態(tài)的穩(wěn)定性由雅可比矩陣的特征值決定：對于平衡點(diǎn)x=0，雅可比矩陣的特征值為μ。當(dāng)μ<0時，平衡點(diǎn)x=0是穩(wěn)定的；當(dāng)μ>0時，它是不穩(wěn)定的。對于平衡點(diǎn)，雅可比矩陣的特征值為-2μ。此時μ取正值，這兩個平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的。這就是叉形分岔，又稱為倍周期分岔。

第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日分岔的概念Hopf分岔在動態(tài)分岔中，比較重要的是由于平衡點(diǎn)穩(wěn)定性突然變化而出現(xiàn)極限環(huán)的霍普分岔。Hopf分岔是指從平衡點(diǎn)的失穩(wěn)分岔出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期性振蕩的現(xiàn)象。其典型的方程為引入極坐標(biāo)(r,θ)，其中第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日分岔的概念代入典型方程并化簡得方程組的第二式，說明了軌線以一常角速度旋轉(zhuǎn)，而第一式，則說明了極坐標(biāo)系在μ>0時還存在另一平衡點(diǎn)由此看到，與叉形分岔非常相似。由分析得知，當(dāng)μ<0時，r=0為穩(wěn)定的，而當(dāng)μ>0時，r=0就變的不穩(wěn)定了，從而分岔出半徑為的極限環(huán)，這種由于失穩(wěn)后出現(xiàn)極限環(huán)的分岔通常稱為Hopf分岔，此時的分岔點(diǎn)為x=0，y=0，μ=0。第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日分岔的概念鞍結(jié)分岔又稱折疊分岔。試考察單變量非線性方程很明顯，當(dāng)μ>0時則存在兩平衡點(diǎn)：根據(jù)雅可比矩陣計(jì)算得知，x1是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，x2是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。μ=0是分岔點(diǎn)，此分岔稱為鞍結(jié)分岔。

第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的研究方法

針對混沌現(xiàn)象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有龐加萊截面法，功率譜法等；定量分析法有飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法和李亞普諾夫指數(shù)法等。龐加萊截面法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運(yùn)動特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面）選取一個截面，這個截面可以是平面也可以是曲面，然后考慮連續(xù)的動力學(xué)軌道與此截面相交的一系列點(diǎn)的變化規(guī)律，這樣就可以拋開相空間的軌道，借助計(jì)算機(jī)畫出龐加萊截面上的截點(diǎn)，由此得到關(guān)于運(yùn)動特征的信息。不同的運(yùn)動形式通過截面時，與截面的交點(diǎn)有不同的分布特征：

170①周期運(yùn)動在此截面上留下有限個離散的點(diǎn)；②準(zhǔn)周期運(yùn)動在截面上留下一條閉合曲線；③混沌運(yùn)動在龐加萊截面上是沿一條線段或一曲線弧分布的點(diǎn)集，而且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)。第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日混沌的研究方法功率譜法：譜分析是識別混沌的一個重要手段。根據(jù)傅立葉變換分析得到周期運(yùn)動的頻譜是離散的譜線，而對非周期運(yùn)動，其不能展開成傅立葉級數(shù)只能展開成傅立葉積分，故非周期運(yùn)動的頻譜是連續(xù)的。也就是說，若譜圖具有單峰或幾個峰，則對應(yīng)于周期序列，若無明顯的峰值且頻譜是連續(xù)的，則可確定該系統(tǒng)可能存在混沌解。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法：根據(jù)傳統(tǒng)的定義，維數(shù)是整數(shù)的，而混沌軌道在相空間內(nèi)由于無限次的拉伸、壓縮和折疊，構(gòu)成了無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)，形成混沌奇怪吸引子。這奇怪吸引子的形狀極為復(fù)雜，既像線又像面，