人教版高中數(shù)學(xué)必修四教材用書三角函數(shù)1-2-1任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)三角函數(shù)的定義word版含答案2

08/909/9/1．2任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)的定義[提出問(wèn)題]使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.問(wèn)題1：角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).問(wèn)題2：對(duì)于確定的角α，sinα，cosα，tanα是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？提示：否．問(wèn)題3：若|OP|＝1，則P點(diǎn)的軌跡是什么？這樣表示sinα，cosα，tanα有何優(yōu)點(diǎn)？提示：P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的單位圓，即P點(diǎn)是單位圓與角α終邊的交點(diǎn)，在單位圓中定義sinα，cosα，tanα更簡(jiǎn)便．[導(dǎo)入新知]1．任意角三角函數(shù)的定義(1)單位圓：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓．(2)單位圓中任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).2．三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)．[化解疑難]對(duì)三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)．(2)三角函數(shù)是用比值來(lái)定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).三角函數(shù)值的符號(hào)[提出問(wèn)題]問(wèn)題1：若角α是第二象限角，則它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？提示：若角α為第二象限角，則x＜0，y＞0,sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0.問(wèn)題2：當(dāng)角α是第四象限角時(shí)，它的正弦、余弦和正切值的符號(hào)分別怎樣？提示：sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0.問(wèn)題3：取角α分別為30°，390°，－330°，它們的三角函數(shù)值是什么關(guān)系？為什么？提示：相等．因?yàn)樗鼈兊慕K邊重合．問(wèn)題4：取α＝90°，－90°時(shí)，它們的正切值存在嗎？提示：不存在．[導(dǎo)入新知]1．三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))2．三角函數(shù)值的符號(hào)[化解疑難]巧記三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值的符號(hào)變化規(guī)律可概括為“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函數(shù)值均為正，第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值為正.誘導(dǎo)公式一[提出問(wèn)題]問(wèn)題：若角α與β的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，你認(rèn)為sinα與sinβ，cosα與cosβ，tanα與tanβ之間有什么關(guān)系？提示：sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ.[導(dǎo)入新知]終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值(1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.[化解疑難]誘導(dǎo)公式一的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(1)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是函數(shù)名相同，左邊角為α＋k·2π，右邊角為α.(2)由公式一可知，三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)．(3)此公式也可以記為：sin(α＋k·360°)＝sinα，cos(α＋k·360°)＝cosα，tan(α＋k·360°)＝tanα，其中k∈Z.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用[例1](1)若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，則sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的終邊落在直線eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解](1)－eq\f(12,13)eq\f(5,13)－eq\f(12,5)(2)直線eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過(guò)第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq\r(3))，則r＝eq\r(?－1?2＋?\r(3)?2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則r＝eq\r(12＋?－\r(3)?2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).[類題通法]利用三角函數(shù)的定義求值的策略(1)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．②注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).(2)當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)的形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．[活學(xué)活用]已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cos答案：2sinα＋cosα＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，a>0，,\f(2,5)，a<0))三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用[例2](1)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)判斷下列各式的符號(hào)：①sin105°·cos230°；②cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))).[解](1)C(2)①∵105°，230°分別為第二、第三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.②∵eq\f(π,2)<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.又∵－eq\f(2π,3)是第三象限角，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))>0，∴cos3·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))<0.[類題通法]三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律(1)當(dāng)角θ為第一象限角時(shí)，sinθ>0，cosθ>0或sinθ>0，tanθ>0或cosθ>0，tanθ>0，反之也成立；(2)當(dāng)角θ為第二象限角時(shí)，sinθ>0，cosθ<0或sinθ>0，tanθ<0或cosθ<0，tanθ<0，反之也成立；(3)當(dāng)角θ為第三象限角時(shí)，sinθ<0，cosθ<0或sinθ<0，tanθ>0或cosθ<0，tanθ>0，反之也成立；(4)當(dāng)角θ為第四象限角時(shí)，sinθ<0，cosθ>0或sinθ<0，tanθ<0或cosθ>0，tanθ<0，反之也成立．[活學(xué)活用]已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：B誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用[例3]計(jì)算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)·sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)tan4π.[解](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).[類題通法]誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用策略應(yīng)用誘導(dǎo)公式一時(shí)，先將角轉(zhuǎn)化為0～2π范圍內(nèi)的角，再求值．對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值一定要熟記．[活學(xué)活用]求下列各式的值：(1)sineq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋cos360°－tan1125°.答案：(1)eq\f(\r(3),2)＋1(2)11．應(yīng)用三角函數(shù)定義求值[典例](12分)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－3m，m)(m≠0)，求α[解題流程][規(guī)范解答]由題意可得：由|OP|＝eq\r(?－3m?2＋m2)＝eq\r(10)|m|.(2分)(1)當(dāng)m>0時(shí)，|OP|＝eq\r(10)|m|＝eq\r(10)m，(4分)則sinα＝eq\f(m,\r(10)m)＝eq\f(\r(10),10)，cosα＝eq\f(－3m,\r(10)m)＝－eq\f(3\r(10),10)，tanα＝eq\f(m,－3m)＝－eq\f(1,3).(7分)(2)當(dāng)m<0時(shí)，|OP|＝eq\r(10)|m|＝－eq\r(10)m，(9分)則sinα＝－eq\f(\r(10),10)，cosα＝eq\f(3\r(10),10)，tanα＝－eq\f(1,3).(12分)[名師批注]由于題目條件中只告訴m≠0，不知道m(xù)的符號(hào)，因此|OP|＝\r(10)|m|.此處極易忽視此點(diǎn)，誤認(rèn)為|OP|＝\r(10)m，從而導(dǎo)致解題不完整而失分.根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα＝eq\f(y,x)，本題中tanα的取值與m的符號(hào)無(wú)關(guān)，即無(wú)論m>0還是m<0，tanα都是eq\f(m,－3m)＝－eq\f(1,3).[活學(xué)活用]已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，y)(y≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα，tanα的值．解：當(dāng)y＝eq\r(5)時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)y＝－eq\r(5)時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).[隨堂即時(shí)演練]1．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4,3)，則cosα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)答案：D2．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ<0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能答案：B3．計(jì)算：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,6)π))＝________.答案：eq\f(1,2)4．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.答案：－85．化簡(jiǎn)下列各式：(1)acos180°＋bsin90°＋ctan0°；(2)p2cos360°＋q2sin450°－2pqcos0°；(3)a2sineq\f(π,2)－b2cosπ＋absin2π－abcoseq\f(3π,2).答案：(1)－a＋b(2)(p－q)2(3)a2＋b2[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，則sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)答案：B2．給出下列函數(shù)值：①sin(－1000°)；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符號(hào)為負(fù)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案：B3．已知60°角的終邊上有一點(diǎn)P(4，a)，則a的值為()A.eq\f(4\r(3),3) B．±eq\f(4\r(3),3)C．4eq\r(3) D．±4eq\r(3)答案：C4．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是()A．tanA與cosB B．cosB與sinCC．sinC與tanA D．taneq\f(A,2)與sinC答案：D5．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：A二、填空題6．α是第二象限角，P(x,eq\r(5))是其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x的值為________．答案：－eq\r(3)7．計(jì)算：tan405°－sin450°＋cos750°＝________.答案：eq\f(\r(3),2)8．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________.答案：0三、解答題9．如果角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，eq\r(3))，試寫出角α的集合A，并求集合A中最大的負(fù)角和絕對(duì)值最小的角．解：在0°～360°范圍內(nèi)，tanα＝eq\r(3)且終邊在第一象限內(nèi)，可求得α＝60°.A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．所以k＝－1時(shí)，α＝－300°為最大的負(fù)角；k＝0時(shí)，α＝60°為絕對(duì)值最小的角．10．已知直線y＝x與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求以射線OA為終邊的角α的正弦值和余弦值；(2)求以射線OB為終邊的角β的正切值．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2＝1，))得eq\b\