2021新必修第一冊完美題型精講（同步學(xué)習(xí)培優(yōu)120個題型完美講解）

目錄

1.1集合的概念及特征................................................................................4

考點一集合的判斷..............................................................................5

考點二集合的表示方法.........................................................................6

考點三集合中元素的意義.......................................................................8

考點四元素與集合的關(guān)系.......................................................................9

考點五求參數(shù)..................................................................................9

1.2集合間的關(guān)系...................................................................................10

考點一集合關(guān)系的判斷.........................................................................11

考點二（真）子集的個數(shù).......................................................................12

考點三集合相等與空集.......................................................................13

考點四已知集合關(guān)系求參數(shù)....................................................................14

1.3集合的基本運算.................................................................................15

考點一交集....................................................................................17

考點二并集....................................................................................18

考點三補集與全集.............................................................................19

考點四集合運算綜合運用......................................................................19

考點五求參數(shù).................................................................................20

1.4充分、必要條件.................................................................................21

考點一命題及其判斷...........................................................................22

考點二充分、必要條件........................................................................23

考點三求參數(shù).................................................................................23

考點四充分性必要性的證明....................................................................24

1.5全稱量詞與存在量詞............................................................................25

考點一全稱命題的判斷........................................................................26

考點二特稱命題的判斷........................................................................27

考點三全稱、特稱命題真假的判斷.............................................................27

考點四命題的否定.............................................................................29

考點五全稱特稱求參數(shù)........................................................................30

2.1等式與不等式的性質(zhì)............................................................................31

考點一等式性質(zhì)...............................................................................32

考點二不等式性質(zhì).............................................................................32

考點、三匕匕較大小...............................................................................33

考點四代數(shù)式的取值范圍......................................................................34

考點五不等式證明.............................................................................35

2.2基本不等式.....................................................................................36

考點一公式的直接運用........................................................................37

考點二條件型.................................................................................37

考點三配湊型.................................................................................38

考點四換元法.................................................................................39

考點五求參數(shù).................................................................................40

考點六實際應(yīng)用題.............................................................................40

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式...............................................................41

考點一解無參數(shù)一元二次不等式...............................................................42

考點二解含有參數(shù)的一元二次不等式...........................................................43

考點三三個一元二次的關(guān)聯(lián)....................................................................44

考點四一元二次的恒成立.....................................................................45

考點五實際運用題.............................................................................47

3.1函數(shù)的概念.....................................................................................48

考點一區(qū)間的表示.............................................................................49

考點二函數(shù)的判斷.............................................................................50

考點三定義域.................................................................................52

考點四解析式.................................................................................54

考點五函數(shù)值................................................................................55

考點六相等函數(shù)...............................................................................55

考點七分段函數(shù)...............................................................................56

3.2函數(shù)的性質(zhì).....................................................................................58

考法一性質(zhì)法求單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）...........................................................60

考法二定義法求單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）.............................................................60

考法三圖像法求單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）.............................................................61

考法四利用單調(diào)性求參數(shù)......................................................................62

考法五奇偶性的判斷...........................................................................62

考法六利用奇偶性求解析式....................................................................63

考法七利用奇偶性求參數(shù).....................................................................64

考法八單調(diào)性與奇偶性的綜合運用.............................................................64

3.3賽函數(shù)..........................................................................................66

考點一森函數(shù)的判斷...........................................................................67

考點二賽函數(shù)的三要素........................................................................67

考法三軍函數(shù)的性質(zhì)...........................................................................68

考法四森函數(shù)的圖像...........................................................................68

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）...............................................................................70

考點-----次函數(shù)模型...........................................................................70

考點二二次函數(shù)模型...........................................................................70

考點三分段函數(shù)模型...........................................................................71

4.1指數(shù)的運算.....................................................................................73

考點一根式的運算.............................................................................74

考點二分?jǐn)?shù)指數(shù)森的運算......................................................................75

考點三條件等式求值...........................................................................76

考點四綜合運算...............................................................................76

4.2指數(shù)函數(shù)........................................................................................77

考點一指數(shù)函數(shù)的判斷........................................................................78

考點二定義域和值域...........................................................................79

考點三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)...........................................................................80

考點四定點...................................................................................83

考點五圖像...................................................................................83

4.3對數(shù)的運算....................................................................................85

考點一指數(shù)對數(shù)的轉(zhuǎn)化.......................................................................86

考點二對數(shù)式求值............................................................................87

考點三對數(shù)式化簡............................................................................87

考點四換底公式..............................................................................88

考點五指數(shù)對數(shù)運算的綜合...................................................................88

4.4對數(shù)函數(shù)........................................................................................89

考點一對數(shù)函數(shù)的概念辨析...................................................................90

考點二單調(diào)性（區(qū)間）.......................................................................91

考點三定義域和值域.........................................................................92

考點、四比較大小..............................................................................93

考點五解不等式..............................................................................93

考點六定點..................................................................................94

考點七圖像..................................................................................94

考點八對數(shù)函數(shù)綜合運用.....................................................................96

4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）..............................................................................97

考點一零點的求解.............................................................................98

考點二零點區(qū)間的判斷........................................................................99

考點三零點個數(shù)的判斷........................................................................99

考點四根據(jù)零點求參數(shù).......................................................................100

考點五二分法................................................................................101

考法六函數(shù)模型..............................................................................102

5.1任意角和弧度制...............................................................................104

考點一基本概念的辨析.......................................................................107

考點二角度與弧度的轉(zhuǎn)換.....................................................................108

考點三終邊相同..............................................................................109

考點四象限的判斷............................................................................110

考點五扇形..................................................................................110

5.2三角函數(shù)的概念...............................................................................113

考點一三角函數(shù)的定義.......................................................................115

考點二三角函數(shù)值正負(fù)判斷...................................................................116

考點三三角函數(shù)線............................................................................117

考點四同角三角函數(shù).........................................................................118

考點五弦的齊次..............................................................................119

考點六sinacosa與sina±cosa.......................................................................................................................................120

5.3誘導(dǎo)公式.....................................................................................121

考點一化簡（求值）.........................................................................122

考點二誘導(dǎo)公式與定義綜合運用..............................................................124

考點三誘導(dǎo)公式與同角三角綜合運用.........................................................125

考點四角的拼湊.............................................................................126

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)........................................................................127

考點一五點畫圖..............................................................................127

考點二周期..................................................................................129

考點三對稱性................................................................................129

考點四單調(diào)性................................................................................130

考點五奇偶性................................................................................131

考點七值域.................................................................................133

考點八正切函數(shù)性質(zhì)..........................................................................133

5.5三角恒等變換.................................................................................135

考點一兩角和差公式..........................................................................135

考點二給值求值.............................................................................136

考點三給值求角..............................................................................138

考點四二倍角...............................................................................138

考點五角的拼湊..............................................................................140

考點六恒等變化..............................................................................140

5.6函數(shù)j=/sin(wx+8)........................................................................142

考點一求解析式..............................................................................142

考點二伸縮平移..............................................................................144

考點三綜合運用..............................................................................145

1.1集合的概念及特征

1.集合的概念

(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等.

［知識點撥］集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：

(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬

于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.

(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合｛1,2,3｝與｛2,3,1｝表示同一集合.

2.元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

如果。是集合4中的元素，就說。屬

屬于aGAa屬于集合A

于集合4

如果。不是集合”中的元素，就說。

不屬于aiAa不屬于集合N

不屬于集合4

［知識點撥］符號"G”和"C"只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有

方向性，左右兩邊不能互換.

3.集合的表示法

(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法.例如：小于3的實數(shù)組成的集合.

(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如Z,B,C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a,b,c等.常

用數(shù)集的表示：

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號NN*或N+ZQR

(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝''括起來表示集合的方法叫做列舉法.

(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后

寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

【典例精講】

考點一集合的判斷

【例1】(2020?浙江高一課時練習(xí))下列四組對象中能構(gòu)成集合的是().

A.本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生B.在數(shù)軸上與原點非常近的點

C.很小的實數(shù)D.倒數(shù)等于本身的數(shù)

本例題主要考查的是元素的確定性，即集合的中元素要有客觀的標(biāo)準(zhǔn)可以衡量，不能用主

觀去衡量，例如“好”、“小”“近”等詞沒有統(tǒng)一的客觀標(biāo)準(zhǔn)衡量、

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?全國高一）下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）

A.充分接近的實數(shù)的全體B.數(shù)學(xué)成績比較好的同學(xué)

C.小于20的所有自然數(shù)D.未來世界的高科技產(chǎn)品

2.（2020?全國高一課時練習(xí)）下列對象能構(gòu)成集合的是（）

A.高一年級全體較胖的學(xué)生B.比較接近1的全體正數(shù)

C.全體很大的自然數(shù)D.平面內(nèi)到A48C三個頂點距離相等的所有點

【例2】（2020全國高一課時練習(xí)）由實數(shù)羽一羽次卜石4-后所組成的集合中，含有元素的個數(shù)最多為

（）

A.2B.3C.4D.5

本例題主要考查的是元素互異性，即一個集合中每個元素不能一樣或重復(fù)

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

XV

1.（2020?全國高一課時練習(xí)）已知x,y均不為0,即「一土的所有可能取值組成的集合中的元素個數(shù)

㈤\y\

為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?全國高三其他（文））已知集合力={（'/）|》+^《2,》）€"},則力中元素的個數(shù)為（）

A.1B.5C.6D.無數(shù)個

3.（2020?全國高一）已知集合〃={1,加+2,zn2+4},且5CM,則機的值為（）

A.1或一1B.1或3

C.-1或3D.1,一1或3

考點二集合的表示方法

【例2】（2020?全國高一）用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.

（1）到“、8兩點距離相等的點的集合

（2）滿足不等式/〉1的x的集合

（3）全體偶數(shù)

（4）被5除余1的數(shù)

（5）20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

（6）{（x,y）\x+y=6,xeN*,yeN*}

（7）方程x（x—a）=0,aeR的解集

本例題主要考查集合的表示方法，列舉法一般適用于有限集合且元素個數(shù)少；描述法一般

適用于有限集合但元素個數(shù)多或者無限集合

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?全國高一課時練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）一年中有31天的月份的全體；

（2）大于—3.5小于12.8的整數(shù)的全體;

（3）梯形的全體構(gòu)成的集合；

（4）所有能被3整除的數(shù)的集合；

（5）方程（》-1）。-2）=0的解組成的集合；

（6）不等式2奇一1>5的解集.

2.（2020全國高一課時練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

2x-3y=14,

（1）方程組的解集;

3x+2y=8

(2)方程f_2x+1=0的實數(shù)根組成的集合；

(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點組成的集合；

(4)二次函數(shù)丁=/+2x-10的圖象上所有的點組成的集合；

(5)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上所有點的縱坐標(biāo)組成的集合.

考點三集合中元素的意義

【例3】(2020?浙江高一課時練習(xí))試說明下列集合各表示什么？

4=尸:;B=^x\y=A/X2-2X|；。=卜,力尸

=E={x=0,y=l}；Q={x+y=l,x-y=-1}.

本例題考查的是集合中的元素的意義，元素的意義可能是數(shù)集、點集等，一般用描述法表

示，注意看描述法最左端。

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.(2020?上海高一課時練習(xí))集合{(x,y)|初”0,xeR,yeR}是指()

A.第二象限內(nèi)的所有點B.第四象限內(nèi)的所有點

C.第二象限和第四象限內(nèi)的所有點D.不在第一、第三象限內(nèi)的所有點

2.(2020?嫩江市高級中學(xué)高一月考)下列各組中的M、P表示同一集合的是()

①河={3,-l},P={(3,T)}；

②"={(3,1)},尸={(1,3)}；

③M={小=/_1},。={"=/-1}；

④“={山=--l},P={(x,y)|y=*2_1}

A.①B.②C.③D.④

考點四元素與集合的關(guān)系

【例4】(2020?全國高一課時練習(xí))用符號“e”或“青”填空：(1)2N；(2)且Q；(3)-Z；

33

(4)3.14R；(5)-3N；(6)79Q-

本例題考查元素與集合的關(guān)系，即蝸，開口朝向集合背靠元素

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.(2020全國高一課時練習(xí))用符號或“任”填空:

cl1

0N；-3N；0.5Z；V2Z；-0；兀R.

2.(2019?浙江湖州高一期中)設(shè)集合N={x|(x-l)(x+l)=0},則()

A.0eAB.leAC.{-1}"D.{-1,1}eZ

3.(2020?浙江高一課時練習(xí))已知集合4=&lx,%},。=、歷+6,則。與集合力的關(guān)系是().

A.aGAB.AC.a-AD.{a}"

考點五求參數(shù)

23

【例5】(2020?吳起高級中學(xué)高二月考(文))若2e{l,a+1,a+1},則a=()

A.2B.1或一1C.1D.-1

本例題根據(jù)題意求參數(shù)時，求完參數(shù)記得檢驗元素之間的互異性?。?！

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?上海高一課時練習(xí)）若集合/=卜|a--3x+2=0}中至多有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是

2.（2020?上海市進才中學(xué)高二期末）已知集合［={2,（a+l）2,a2+3a+3},且15,則實數(shù)。的值為

3.（2020浙江高一課時練習(xí)）已知集合/=fclR|ax2-3x-4=0）.

（1）若4中有兩個元素，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若/中至多有一個元素，求實數(shù)。的取值范圍.

1.2集合間的關(guān)系

I.Venn圖的優(yōu)點及其表示

（1）優(yōu)點：形象直觀.

(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.

2.子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念

［知識點撥］(1)”力是8的子集”的含義：集合力中的任何一個元素都是集合8的元素，即有任意能推

出xWB.

(2)不能把“ZU8”理解為7是8中部分元素組成的集合”，因為集合/可能是空集，也可能是集合反

(3)特殊情形：如果集合”中存在著不是集合8中的元素，那么集合/不包含于8,或集合8不包含集合4

(4)對于集合4,B,C,若/U8,BQC,則ZUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)<AQB,且Z翔,則力?B.

3.空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.

(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

4.集合間關(guān)系的性質(zhì)

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即

(2)對于集合X,B,C,

①若羔8,且匹C,則/UC；

②若A￡B,BGC,則4UC.

(3)若力=8,A+B,貝Ij/UB.

【典例精講】

考點一集合關(guān)系的判斷

【例1】(2020?浙江高一單兀測試)設(shè)集合Z={0,1,2},B={m\m=x+y,x^A,y^A},則集合4與8的關(guān)

系為()

A.AwBB.A=BC.BqAD.A=B

注意區(qū)分：元素與集合的關(guān)系為屬于I或不屬于I,集合與集合間的關(guān)系是包含1、不包含

u、真包含U

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?上海高一開學(xué)考試）（多選題）下列關(guān)系中，正確的有（）

A.0U{0}B.ge?C.Q^ZD.0e{O}

2.（2020?浙江高一課時練習(xí)）已知集合Z={x|x是平行四邊形},8={x|x是矩形},C={x|x是正方

形},D={x|x是菱形},則（）

A.AqBB.C葭6C.DqCD.AqD

3.（2020?浙江高一課時練習(xí)）已知集合忖="[/=2^,yGR}和集合尸={（》，y）[/=2x,y&R},則兩個集

合間的關(guān)系是（）

A.蚱尸B.P注M

C.M=PD.M,P互不包含

考點二（真）子集的個數(shù)

【例2】（1）（2020?全國高三月考（文））設(shè)集合Z={x|x2—x=。},則集合z的真子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

（2）（2020?浙江高一課時練習(xí)）已知。為給定的實數(shù)，那么，集合〃={彳,2-3》一。2+2=066&}的

子集的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.不確定

1.求子集或真子集的個數(shù)：（1）確定集合中元素的個數(shù)（2）代入對應(yīng)的公式

2.子集與真子集的區(qū)分：子集比真子集多了一個子集即集合本身（集合相等）

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?沙坪壩重慶一中高三月考（理））已知集合A={x|x2<2,xeZ）,則A的真子集共有（）個

A.3B.4C.6D.7

2.（2020?浙江高一?課時練習(xí)）滿足1M{a,b,c,d}的集合M共有（）.

A.6個B.7個C.8個D.15個

3.（2020?貴州鳳岡一中高一月考）已知集合河U{4,7,8},且M中至多有一個偶數(shù)，則這樣的集合共有

（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

考點三集合相等與空集

【例3】（2020?廣東潮州）下列各組集合中，表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},TV={（2,3）}B.Af={2,3},TV={3,2}

C.M^{（x,y）\x+y=\},N={y|x+y=l}D.A/={1,2},N={（1,2）}

同一集合的判斷：（1）元素的意義相同（2）元素屬性的關(guān)系式相同

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.下列集合與集合/={2,3}相等的是（）

A.{(2,3)}B.{(x,y})|x=2,夕=3}

C.{x|-5x+6=0}D.[x=2,y=3}

2.給出以下5組集合：

(1)用={(-5,3)},N={-5,3}；

(2)M={l,-3},TV={3,-1}；

（3）M=0,N={0}；

（4）M={JI},N={3.1415}；

（5）W={x,_3x+2=o},N={?2—3y+2=0}.

其中是相等集合的有（）.

A.1組B.2組C.3組D.4組

考點四已知集合關(guān)系求參數(shù)

【例4】⑴（2020?河南林州一中）已知集合4={1+犬,“，8={1,2,3},且則實數(shù)X的值是（）

A.-1B.1C.3D.4

（2）（2020?浙江高一課時練習(xí)）若集合/="€&]|》一4區(qū)2},集合8={xe&|2aKxK。+3},若

B7A,則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.{x|x>3}B.{x|x..1}C.{x11<x<3}D.{x|l<x<3}

1.真子集求參數(shù)，要注意檢驗是否出現(xiàn)集合相等的情況

2,子集求參數(shù)，對于不等式要注意端點是否取等號，一般情況下里實外空不取等號。

【玩轉(zhuǎn)跟蹤】

1.（2020?盤錦市第二高級中學(xué)）已知集合/={—1,3,2m-1},集合8={3,/^}.若〃仁月，則實數(shù)機等于

（）

A.±1B.-1C.1D.0

2.（2020?全國高一）設(shè)集合〃={x|0<x<2019},8={x|x<a},若/=8,則實數(shù)。的取值范圍是（〉

A.{a|a<Q}B.{a|0<a<2019}

C.{a|a>2019}D.{a|0<a<2019}

3.（2020?全國高一）M={X|6X2-5X+1=0},P={x\ax=1）,若P￡M,則a的取值集合為（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.[0,2,3)

1.3集合的基本運算

i.并集和交集的定義

定義并集交集

自然一般地，由所有屬于集合/或集合8一般地，由屬于集合N且屬于集合B

語言的元素組成的集合，稱為集合工與8的所有元素組成的集合，稱為集合4

的并集，記作/U8與8的交集，記作zns

符號

ACyB={x\x^A,且x￡3}

語言

圖形

語言

A\JB

［知識點撥］（1）簡單地說，集合4和集合8的全部（公共）元素組成的集合就是集合力與8的并（交）集；（2）

當(dāng)集合48無公共元素時，不能說/與8沒有交集，只能說它們的交集是空集；（3）在兩個集合的并集中，

屬于集合4且屬于集合8的元素只顯示一次；（4）交集與并集的相同點是：由兩個集合確定一個新的集合，

不同點是：生成新集合的法則不同.

2.并集和交集的性質(zhì)

并集交集

簡單AUA=A；AC\A=A；

性質(zhì)AU0=A4n0=0

AUB=BUA；AnB=BHA；

常用AQ(AUB)；(AHB)QA；

結(jié)論(AQB)QB；

AUB=B^AQBAC\B=B<^BQA

3.全集

文字一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這

語言個集合為全集

4.補集