2023年高考數(shù)學專題29空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積熱點題型和提分秘籍理

專題29空間幾何體的三視圖、直觀圖、外表積與體積1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。3．會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。4．了解球、棱柱、棱錐、臺的外表積和體積的計算公式熱點題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1、給出以下四個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，那么這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等。其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2答案：B【提分秘籍】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的解題策略(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等根本元素，然后再依據(jù)題意判定。(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可。【舉一反三】給出以下四個命題：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④假設(shè)有兩個側(cè)面垂直于底面，那么該四棱柱為直四棱柱其中錯誤的命題的序號是__________。答案：①②③④熱點題型二由幾何體的直觀圖識別三視圖例2、【2023課標1，理7】某多面體的三視圖如下圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有假設(shè)干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如以下圖，那么該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，那么這些梯形的面積之和為，應(yīng)選B.【變式探究】一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，那么得到的正(主)視圖可以為()ABCD解析：如下圖，該四面體在空間直角坐標系O-xyz的圖像為以下圖：那么它在平面zOx上的投影即正視圖為，應(yīng)選A項?！咎岱置丶坑蓭缀误w的直觀圖識別三視圖的解題策略空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果?！九e一反三】一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的主視圖與側(cè)視圖分別如下圖，那么該幾何體的俯視圖為()主視圖側(cè)視圖ABCD解析：由三視圖中的主、側(cè)視圖得到幾何體的直觀圖如下圖。所以該幾何體的俯視圖為C。熱點題型三由幾何體的三視圖識別直觀圖例3、假設(shè)某幾何體的三視圖如下圖，那么這個幾何體的直觀圖可以是()ABCD解析：A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D。答案：D【提分秘籍】由幾何體的三視圖識別直觀圖的解題策略在由三視圖復(fù)原為空間幾何體的實際形狀時，要結(jié)合三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)那么，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。在復(fù)原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮?！九e一反三】三視圖如下圖的幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺D．三棱臺解析：由三視圖知該幾何體為一四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為一直角梯形。應(yīng)選B。答案：B熱點題型四空間幾何體的側(cè)面積與外表積例4、(1)一個多面體的三視圖如下圖，那么該多面體的外表積為()A．21＋eq\r(3)B．18＋eq\r(3)C．21D．18(2)個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為________。(2)由三視圖可知，該幾何體是一個長方體內(nèi)挖去一個圓柱體，如下圖。長方體的長、寬、高分別為4,3,1，外表積為4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，圓柱的底面圓直徑為2，母線長為1，側(cè)面積為2π×1×1＝2π，圓柱的兩個底面面積和為2×π×12＝2π。故該幾何體的外表積為38＋2π－2π＝38?！咎岱置丶繋缀误w外表積的求法(1)多面體：其外表積是各個面的面積之和。(2)旋轉(zhuǎn)體：其外表積等于側(cè)面面積與底面面積的和。計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決。(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成局部，并注意重合局部的處理。(4)假設(shè)以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解。【舉一反三】如下圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，那么該幾何體的外表積為()A．15＋3eq\r(3)B．9eq\r(3)C．30＋6eq\r(3)D．18eq\r(3)答案：C熱點題型五空間幾何體的體積例5、【2023課標II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部所得，那么該幾何體的體積為〔〕B．C．D．【答案】B【變式探究】(1)如下圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，那么三棱錐B1－ABC1A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),4)(2)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：(1)三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)。(2)由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r＝2，長為4，長方體長為4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為πr2×4×eq\f(1,2)＋4×2×2＝8π＋16。應(yīng)選A?！咎岱置丶坑嬎銕缀误w體積的常見類型及解題策略常見類型解題策略球的體積問題直接利用球的體積公式求解，在實際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積問題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解以三視圖為載體的幾何體體積問題將三視圖復(fù)原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解不規(guī)那么幾何體的體積問題常用分割或補形的思想，假設(shè)幾何體的底不規(guī)那么，也需采用同樣的方法，將不規(guī)那么的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的幾何體或平面圖形，易于求解【舉一反三】一個幾何體的三視圖如下圖，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，那么有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4解析：由三視圖可知，四個幾何體自上而下分別為圓臺，圓柱，四棱柱，四棱臺。結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)可得：V1＝eq\f(1,3)(4π＋π＋2π)＝eq\f(7π,3)，V2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)(16＋4＋8)＝eq\f(28,3)。故V2＜V1＜V3＜V4。熱點題型六空間幾何體的外接球與內(nèi)切球例6、(1)直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，假設(shè)AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)(2)假設(shè)一個正四面體的外表積為S1，其內(nèi)切球的外表積為S2，那么eq\f(S1,S2)＝__________。解析：(1)如圖，由球心作平面ABC的垂線，【提分秘籍】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解。(2)假設(shè)球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形〞成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解?！九e一反三】一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如下圖(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，那么該幾何體外接球的體積為__________。答案：4eq\r(3)π1.【2023課標1，理7】某多面體的三視圖如下圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有假設(shè)干個是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，如以下圖，那么該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，那么這些梯形的面積之和為，應(yīng)選B.2.【2023課標II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部所得，那么該幾何體的體積為〔〕B．C．D．【答案】B3.【2023山東，理13】由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，那么該幾何體的體積為.【答案】1.【2023高考新課標1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.假設(shè)該幾何體的體積是,那么它的外表積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如下圖：是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,那么,解得,所以它的外表積是的球面面積和三個扇形面積之和應(yīng)選A．2.【2023高考新課標2理數(shù)】以下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C3.【2023年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的體積為〔〕B.C.D.【答案】A【解析】分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，應(yīng)選A.4.【2023高考新課標3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕90〔D〕81【答案】B5.【2023高考山東理數(shù)】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如下圖.那么該幾何體的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C1.【2023高考新課標1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.假設(shè)該幾何體的體積是,那么它的外表積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如下圖：是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,那么,解得,所以它的外表積是的球面面積和三個扇形面積之和應(yīng)選A．2.【2023高考新課標2理數(shù)】以下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C3.【2023年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的體積為〔〕B.C.D.【答案】A【解析】分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，應(yīng)選A.4.【2023高考新課標3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕90〔D〕81【答案】B5.【2023高考山東理數(shù)】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如下圖.那么該幾何體的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】由三視圖可知,上面是半徑為的半球,體積為,下面是底面積為1,高為1的四棱錐,體積,應(yīng)選C.6.【2023年高考四川理數(shù)】三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如下圖，那么該三棱錐的體積是.【答案】7.【2023高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如下圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的外表積是cm2，體積是cm3.【答案】【解析】幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個長方體重疊局部為一個邊長為2的正方形，所以外表積為1.【2023高考陜西，理5】一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的外表積是，應(yīng)選D．2.【2023高考新課標1，理11】圓柱被一個平面截去一局部后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖.假設(shè)該幾何體的外表積為16+20，那么r=〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕8【答案】B3.【2023高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為A、B、C、D、【答案】A【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，，選A.4.【2023高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的外表積是〔〕A．B．C．D．5【答案】C5.【2023高考安徽，理7】一個四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B6.【2023高考新課標2，理9】A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如下圖，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，那么球的外表積為，應(yīng)選C．7.【2023高考山東，理7】在梯形中，，.將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C8.【2023高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如下圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的體積是〔〕A.B.C.D.【答案】C.【解析】由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如以下圖所示，∴體積，應(yīng)選C.1.【2023高考陜西，理5】一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的外表積是，應(yīng)選D．2.【2023高考新課標1，理11】圓柱被一個平面截去一局部后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖.假設(shè)該幾何體的外表積為16+20，那么r=〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕8【答案】B3.【2023高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為A、B、C、D、【答案】A【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，，選A.4.【2023高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的外表積是〔〕A．B．C．D．5【答案】C5.【2023高考安徽，理7】一個四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B6.【2023高考新課標2，理9】A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如下圖，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，那么球的外表積為，應(yīng)選C．7.【2023高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如下圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的體積是〔〕A.B.C.D.【答案】C.1．〔2023·安徽卷〕如圖1-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點的平面記為α，BB1與α的交點為圖1-5(1)證明：Q為BB1的中點；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩局部的體積之比；(3)假設(shè)AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大?。?2)如圖1所示，連接QA，QD.設(shè)AA1＝h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面α所分成上下兩局部的體積分別為V上和V下，BC＝a，那么AD＝2a圖1V三棱錐Q-A1AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·2a·h·d＝eq\f(1,3)ahd，V四棱錐Q-ABCD＝eq\f(1,3)·eq\f(a＋2a,2)·d·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)h))＝eq\f(1,4)ahd，所以V下＝V三棱錐Q-A1AD＋V四棱錐Q-ABCD＝eq\f(7,12)ahd.又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD＝eq\f(3,2)ahd，所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1-ABCD－V下＝eq\f(3,2)ahd－eq\f(7,12)ahd＝eq\f(11,12)ahd，故eq\f(V上,V下)＝eq\f(11,7).(3)方法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E.又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，方法二：如圖2所示，以D為原點，DA，eq\o(DD1,\s\up6(→))分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系．設(shè)∠CDA＝θ，BC＝a，那么AD＝2a因為S四邊形ABCD＝eq\f(a＋2a,2)·2sinθ＝6，所以a＝eq\f(2,sinθ).圖2從而可得C(2cosθ，2sinθ，0)，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,sinθ)，0，4))，所以DC＝(2cosθ，2sinθ，0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,sinθ)，0，4)).設(shè)平面A1DC的法向量n＝(x，y，1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA1,\s\up6(→))·n＝\f(4,sinθ)x＋4＝0，,\o(DC,\s\up6(→))·n＝2xcosθ＋2ysinθ＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－sinθ，,y＝cosθ，))所以n＝(－sinθ，cosθ，1)．又因為平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(\r(2),2)，故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,4).2．〔2023·湖北卷〕?算數(shù)書?竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋〞的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．〞該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為()A.eq\f(22,7)B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50)D.eq\f(355,113)3．〔2023·遼寧卷〕某幾何體三視圖如圖1-1所示，那么該幾何體的體積為()A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2)D．8－eq\f(π,4)圖1-1【答案】B【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是正方體減去兩個體積相等的圓柱的一局部eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(占圓柱的\f(1,4)))后余下的局部，故該幾何體體積為2×2×2－2×eq\f(1,4)×π×2＝8－π.4．〔2023·安徽卷〕一個多面體的三視圖如圖1-2所示，那么該多面體的外表積為()A．21＋eq\r(3)B．8＋eq\r(2)C．21D．18圖1-25．〔2023·福建卷〕某空間幾何體的正視圖是三角形，那么該幾何體不可能是()A．圓柱B．圓錐C．四面體D．三棱柱【答案】A【解析】由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三角形．6．〔2023·湖北卷〕在如圖1-1所示的空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．給出編號為①，②，③，④的四個圖，那么該四面體的正視圖和俯視圖分別為()圖1-1A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②7．〔2023·湖南卷〕一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖1-2所示，將該石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半徑等于()圖1-2A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由三視圖可知，石材為一個三棱柱(相對應(yīng)的長方體的一半)，故可知能得到的最大球為三棱柱的內(nèi)切球．由題意可知正視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑，可得r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2.8．〔2023·江西卷〕一幾何體的直觀圖如圖1-1所示，以下給出的四個俯視圖中正確的選項是()圖1-1ABCD圖1-2【答案】B【解析】易知該幾何體的俯視圖為選項B中的圖形．9．〔2023·遼寧卷〕某幾何體三視圖如圖1-1所示，那么該幾何體的體積為()A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2)D．8－eq\f(π,4)圖1-110．〔2023·浙江卷〕幾何體的三視圖(單位：cm)如圖1-1所示，那么此幾何體的外表積是()圖1-1A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．【答案】D【解析】此幾何體是由長方體與三棱柱組合而成的，其直觀圖如圖，所以該幾何體的外表積為2(4×3＋6×3＋6×4)＋2×eq\f(1,2)×3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，應(yīng)選D.11．〔2023·新課標全國卷Ⅰ〕如圖1-3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()圖1-3A．6eq\r(2)B．6C．4eq\r(2)D．4【答案】B【解析】該幾何體是如下圖的棱長為4的正方體內(nèi)的三棱錐E-CC1D1(其中E為BB1的中點)，其中最長的棱為D1E＝eq\r(〔4\r(2)〕2＋22)＝6.12．〔2023·新課標全國卷Ⅱ〕如圖1-1，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為()圖1-1A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)13．〔2023·陜西卷〕四面體ABCD及其三視圖如圖1-4所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H.(1)證明：四邊形EFGH是矩形；(2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．圖1-4(2)方法一：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，那么D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，BA＝(－2，0，1)．設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，F(xiàn)G∥BC，∴n·DA＝0，n·BC＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝0，,－2x＋2y＝0，))取n＝(1，1，0)，∴sinθ＝|cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(BA·n,|BA||n|)))＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).方法二：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，那么D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，∵E是AB的中點，∴F，G分別為BD，DC的中點，得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，F(xiàn)(1，0，0)，G(0，1，0)．14．〔2023·天津卷〕一個兒何體的三視圖如圖1-3所示(單位：m)，那么該幾何體的體積為________m3.圖1-3【答案】.eq\f(20π,3)【解析】由三視圖可得，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，其體積V＝π×12×4＋eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(20π,3).15．〔2023·重慶卷〕某幾何體的三視圖如圖1-2所示，那么該幾何體的外表積為()圖1-2A．54B．60C．66D．72【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是由一個直三棱柱去掉一個三棱錐所得，三棱柱的底面是一個兩直角邊長分別為3和4的直角三角形，高為5，截去的錐體的底面是兩直角邊的邊長分別為3和4的直角三角形，高為3，所以外表積為S＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(3×5,2)＋eq\f(2＋5,2)×4＋eq\f(2＋5,2)×5＋3×5＝60.1．如下圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f(3,2)BB′＝CC′＝AB，那么多面體ABC－A′B′C′的正視圖是()解析：由題知AA′＜BB′＜CC′，正視圖為選項D所示的圖形。答案：D2．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如下圖，那么該幾何體的左視圖為()答案：D3．在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()解析：通過正視圖及俯視圖可看出該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐組合在一起，故側(cè)視圖為D。答案：D4．一個幾何體的三視圖如下圖，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形，且該幾何體的四個點在空間直坐標系O－xyz中的坐標分別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，那么第五個頂點的坐標可能為()A．(1,1,1)B．(1,1，eq\r(2))C．(1,1，eq\r(3))D．(2,2，eq\r(3))答案：C5．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如下圖)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，那么這個平面圖形的面積為()A.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),4)B．2＋eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)＋eq\r(2)解析：如圖將直觀圖ABCD復(fù)原后為直角梯形A′BCD′，其中A′B＝2AB＝2，BC＝1＋eq\f(\r(2),2)，A′D′＝AD＝1。所以S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2)。答案：B6．如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，那么這個幾何體是()A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱7．某空間幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A．12＋4eq\r(2)B．18＋8eq\r(2)C．28D．20＋8eq\r(2)解析：由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖。答案：D8．某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖為扇形，那么該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,9)D.eq\f(16π,9)答案：D9．某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B．πC.eq\f(4π,3)D．2π解析：由三視圖可知，該幾何體是在一個圓柱中挖去兩個半球而形成的，且圓柱的底面圓半徑為1，母線長為2，那么圓柱的體積V柱＝π×12×2＝2π，挖去的兩個半球的半徑均為1，因此挖去局部的體積為V球＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，因此，幾何體的體積為V＝V柱－V球＝2π－eq\f(4π,3)＝eq\f(2π,3)，應(yīng)選A。答案：A10．某幾何體的三視圖如下圖，當a＋b取最大值時，這個幾何體的體積為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)解析：由題意知，該幾何體的直觀圖如下圖，且AC＝eq\r(6)，BD＝1，BC＝b，AB＝a。設(shè)CD＝x，AD＝y(tǒng)，那么x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，y2＋1＝a2，消去x2，y2得a2＋b2＝8≥eq\f(a＋b2,2)，所以a＋b≤4，當且僅當a＝b＝2時等號成立，此時x＝eq\r(3)，y＝eq\r(3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(1,2