2023年高考物理一輪復(fù)習(xí)第5章機(jī)械能及其守恒定律第3節(jié)機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用學(xué)案新人教版

第三節(jié)機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第85頁)[教材知識(shí)速填]知識(shí)點(diǎn)1重力做功與重力勢(shì)能1．重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)．(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化．2．重力勢(shì)能(1)公式：Ep＝mgh.(2)特性：①矢標(biāo)性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢(shì)能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同．②系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和地球共有的．③相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)．重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，與參考平面的選取無關(guān)．3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就減少；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就增加．(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.易錯(cuò)判斷(1)重力勢(shì)能的大小與零勢(shì)能參考面的選取有關(guān)．(√)(2)重力勢(shì)能的變化與零勢(shì)能參考面的選取無關(guān)．(√)(3)克服重力做功，物體的重力勢(shì)能一定增加．(√)知識(shí)點(diǎn)2彈性勢(shì)能1．大小彈簧的彈性勢(shì)能的大小與彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)．2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．易錯(cuò)判斷(1)發(fā)生彈性形變的物體都具有彈性勢(shì)能．(√)(2)彈力做正功，彈性勢(shì)能一定增加．(×)(3)同一個(gè)彈簧在彈性限度內(nèi)的形變量越大，它具有的彈性勢(shì)能越大．(√)知識(shí)點(diǎn)3機(jī)械能守恒定律1．機(jī)械能動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能．2．機(jī)械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．(2)守恒的條件：只有重力或彈力做功．(3)守恒表達(dá)式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2).易錯(cuò)判斷(1)物體所受合外力為零時(shí)，機(jī)械能一定守恒．(×)(2)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定守恒．(×)(3)做曲線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能可能守恒．(√)[教材習(xí)題回訪]考查點(diǎn)：機(jī)械能守恒的判斷1．(粵教版必修2P82T2改編)(多項(xiàng)選擇)忽略空氣阻力，以下物體運(yùn)動(dòng)過程中滿足機(jī)械能守恒的是()A．電梯勻速下降B．物體自由下落C．物體由光滑斜面頂端滑到斜面底端D．物體沿著斜面勻速下滑[答案]BC考查點(diǎn)：含彈簧的機(jī)械能守恒問題2．(人教版必修2P80T1改編)把小球放在豎立的彈簧上，并把球往下按至A位置，如圖5-3-1甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(圖丙)，途中經(jīng)過位置B時(shí)彈簧正處于原長(zhǎng)(圖乙)．忽略彈簧的質(zhì)量和空氣阻力．那么小球從A位置運(yùn)動(dòng)到C位置的過程中，以下說法正確的選項(xiàng)是()圖5-3-1A．經(jīng)過位置B時(shí)小球的加速度為0B．經(jīng)過位置B時(shí)小球的速度最大C．小球、地球、彈簧所組成系統(tǒng)的機(jī)械能守恒D．小球、地球、彈簧所組成系統(tǒng)的機(jī)械能先增大后減小[答案]C考查點(diǎn)：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用3．(人教版必修2P78T3改編)(多項(xiàng)選擇)如圖5-3-2所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上．假設(shè)以地面為零勢(shì)能面，而且不計(jì)空氣阻力，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是()圖5-3-2A．重力對(duì)物體做的功為mghB．物體在海平面上的勢(shì)能為mghC．物體在海平面上的動(dòng)能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghD．物體在海平面上的機(jī)械能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)[答案]AD考查點(diǎn)：機(jī)械守恒定律與圓周運(yùn)動(dòng)的組合4．(人教版必修2P80T2改編)如下圖是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂設(shè)施．管道除D點(diǎn)右側(cè)水平局部粗糙外，其余局部均光滑．假設(shè)挑戰(zhàn)者自斜管上足夠高的位置滑下，將無能量損失的連續(xù)滑入第一個(gè)、第二個(gè)圓管軌道A、B內(nèi)部(圓管A比圓管B高)．某次一挑戰(zhàn)者自斜管上某處滑下，經(jīng)過第一個(gè)圓管軌道A內(nèi)部最高位置時(shí)，對(duì)管壁恰好無壓力．那么這名挑戰(zhàn)者()A．經(jīng)過管道A最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能大于經(jīng)過管道B最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能B．經(jīng)過管道A最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大于經(jīng)過管道B最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能C．經(jīng)過管道B最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管外側(cè)壁有壓力D．不能經(jīng)過管道B的最高點(diǎn)[答案]C(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第86頁)機(jī)械能守恒的理解與判斷機(jī)械能守恒的判斷方法1．利用機(jī)械能的定義判斷：分析動(dòng)能和勢(shì)能的和是否變化．2．用做功判斷：假設(shè)物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，那么機(jī)械能守恒．3．用能量轉(zhuǎn)化來判斷：假設(shè)物體或系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，那么物體或系統(tǒng)機(jī)械能守恒．[題組通關(guān)]1．(多項(xiàng)選擇)如圖5-3-3所示，完整的撐桿跳高過程可以簡(jiǎn)化成三個(gè)階段：持桿助跑、撐桿起跳上升、越桿下落(下落時(shí)人桿別離)，最后落在軟墊上速度減為零．不計(jì)空氣阻力，那么()圖5-3-3A．運(yùn)發(fā)動(dòng)在整個(gè)跳高過程中機(jī)械能守恒B．運(yùn)發(fā)動(dòng)在撐桿起跳上升過程中機(jī)械能守恒C．在撐桿起跳上升過程中，桿的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為運(yùn)發(fā)動(dòng)的重力勢(shì)能且彈性勢(shì)能減少量小于運(yùn)發(fā)動(dòng)的重力勢(shì)能增加量D．運(yùn)發(fā)動(dòng)落在軟墊上時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，處于超重狀態(tài)CD[運(yùn)發(fā)動(dòng)持桿助跑階段運(yùn)發(fā)動(dòng)對(duì)桿做功，機(jī)械能不守恒，最后從落在軟墊上到速度減為零的過程中阻力做功，機(jī)械能也不守恒，故A錯(cuò)誤；運(yùn)發(fā)動(dòng)在撐桿起跳上升過程中，桿從開始形變到桿恢復(fù)原狀，先是運(yùn)發(fā)動(dòng)局部動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能和桿的彈性勢(shì)能，后彈性勢(shì)能和運(yùn)發(fā)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，使用桿的過程中，運(yùn)發(fā)動(dòng)與桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，運(yùn)發(fā)動(dòng)的機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；在撐桿起跳上升過程中，運(yùn)發(fā)動(dòng)的動(dòng)能和桿的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為運(yùn)發(fā)動(dòng)的重力勢(shì)能，所以桿的彈性勢(shì)能減少量一定小于運(yùn)發(fā)動(dòng)的重力勢(shì)能增加量，故C正確；運(yùn)發(fā)動(dòng)落在軟墊上時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，加速度的方向向上，因而運(yùn)發(fā)動(dòng)處于超重狀態(tài)，故D正確．]2．在如圖5-3-4所示的物理過程示意圖中，甲圖一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng)；乙圖為末端固定有小球的輕質(zhì)直角架，釋放后繞通過直角頂點(diǎn)的固定軸O無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)；丙圖為輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車，把用細(xì)繩懸掛的小球從圖示位置釋放，小球開始擺動(dòng)，那么關(guān)于這幾個(gè)物理過程(空氣阻力忽略不計(jì))，以下判斷中正確的選項(xiàng)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370221】圖5-3-4A．甲圖中小球機(jī)械能守恒B．乙圖中小球A機(jī)械能守恒C．丙圖中小球機(jī)械能守恒D．丁圖中小球機(jī)械能守恒A[甲圖過程中輕桿對(duì)小球不做功，小球的機(jī)械能守恒，A正確；乙圖過程中輕桿對(duì)A的彈力不沿桿的方向，會(huì)對(duì)小球做功，所以小球A的機(jī)械能不守恒，但兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤；丙圖中小球在繩子繃緊的瞬間有動(dòng)能損失，機(jī)械能不守恒，C錯(cuò)誤；丁圖中小球和小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但小球的機(jī)械能不守恒，這是因?yàn)閿[動(dòng)過程中小球的軌跡不是圓弧，細(xì)繩會(huì)對(duì)小球做功，D錯(cuò)誤．][反思總結(jié)]關(guān)于機(jī)械能守恒條件的四點(diǎn)提醒：1機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力做的功等于零，更不是合外力為零；“只有重力做功〞不等于“只受重力作用〞.2分析機(jī)械能是否守恒時(shí)，必須明確要研究的系統(tǒng).3系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，機(jī)械能一般在系統(tǒng)內(nèi)物體間轉(zhuǎn)移，其中的單個(gè)物體機(jī)械能通常不守恒.4對(duì)于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否那么機(jī)械能必定不守恒.單個(gè)物體的機(jī)械能守恒1．機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式2．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的一般步驟(1)選取研究對(duì)象(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機(jī)械能守恒條件(3)確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能或運(yùn)動(dòng)過程中物體機(jī)械能的轉(zhuǎn)化情況(4)選擇適宜的表達(dá)式列出方程，進(jìn)行求解(5)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說明[多維探究]考向1含有彈簧的單個(gè)物體的機(jī)械能問題1．(2023·貴陽模擬)如圖5-3-5所示，一質(zhì)量為m的小球固定于輕質(zhì)彈簧的一端，彈簧的另一端固定于O點(diǎn)．將小球拉至A點(diǎn)，彈簧恰好無形變，由靜止釋放小球，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方與A點(diǎn)的豎直高度差為h的B點(diǎn)時(shí)，速度大小為v.重力加速度為g，以下說法正確的選項(xiàng)是()圖5-3-5A．小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于mghB．小球由A點(diǎn)到B點(diǎn)重力勢(shì)能減少eq\f(1,2)mv2C．小球由A點(diǎn)到B點(diǎn)克服彈力做功為mghD．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為mgh－eq\f(1,2)mv2D[小球由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，彈簧由原長(zhǎng)到發(fā)生伸長(zhǎng)的形變，小球動(dòng)能增加量小于重力勢(shì)能減少量，A項(xiàng)錯(cuò)誤；小球重力勢(shì)能減少量等于小球動(dòng)能增加量與彈簧彈性勢(shì)能增加量之和，B項(xiàng)錯(cuò)誤；彈簧彈性勢(shì)能增加量等于小球重力勢(shì)能減少量與動(dòng)能增加量之差，D項(xiàng)正確；彈簧彈性勢(shì)能增加量等于小球克服彈力所做的功，C項(xiàng)錯(cuò)誤．]2．如圖5-3-6所示，固定的豎直光滑長(zhǎng)桿上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長(zhǎng)狀態(tài)．現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開始下滑，彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)彈簧的長(zhǎng)度變?yōu)?L【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370222】圖5-3-6A．圓環(huán)的機(jī)械能守恒B．彈簧彈性勢(shì)能變化了eq\r(3)mgLC．圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)，所受合力為零D．圓環(huán)重力勢(shì)能與彈簧彈性勢(shì)能之和保持不變[題眼點(diǎn)撥]“最大距離時(shí)彈簧的長(zhǎng)度變?yōu)?LB[在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中，彈簧彈力對(duì)圓環(huán)做功，圓環(huán)的機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用幾何關(guān)系可知圓環(huán)下落的距離為h＝eq\r(2L2－L2)＝eq\r(3)L，此過程圓環(huán)的重力勢(shì)能的變化量為ΔEp＝mgh＝eq\r(3)mgL，根據(jù)功能關(guān)系，彈簧彈性勢(shì)能的增加量等于圓環(huán)重力勢(shì)能的減少量，即ΔEp＝eq\r(3)mgL，選項(xiàng)B正確；圓環(huán)下落到最大距離時(shí)速度為零，所受合力不為零，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；把圓環(huán)和彈簧看成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即圓環(huán)的重力勢(shì)能、彈簧的彈性勢(shì)能與圓環(huán)的動(dòng)能之和保持不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]考向2不含彈簧的單個(gè)物體的機(jī)械能問題3．(多項(xiàng)選擇)(2023·蘭州一模)如圖5-3-7所示，豎直面內(nèi)光滑的eq\f(3,4)圓形導(dǎo)軌固定在一水平地面上，半徑為R.一個(gè)質(zhì)量為m的小球從距水平地面正上方h高處的P點(diǎn)由靜止開始自由下落，恰好從N點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓軌道．不考慮空氣阻力，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()圖5-3-7A．適當(dāng)調(diào)整高度h，可使小球從軌道最高點(diǎn)M飛出后，恰好落在軌道右端口N處B．假設(shè)h＝2R，那么小球在軌道最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為5mgC．只有h大于等于2.5R時(shí)，小球才能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)MD．假設(shè)h＝R，那么小球能上升到圓軌道左側(cè)離地高度為R的位置，該過程重力做功為mgRBC[假設(shè)小球從M到N做平拋運(yùn)動(dòng)，那么有，可得vM=eq\r(\f(gR,2)),而球到達(dá)最高點(diǎn)M時(shí)速度至少應(yīng)滿足mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，故A錯(cuò)誤；從P點(diǎn)到最低點(diǎn)過程由機(jī)械能守恒可得2mgR＝eq\f(1,2)mv2，由向心力公式得FN－mg＝meq\f(v2,R)，解得FN＝5mg，由牛頓第三定律可知小球?qū)壍赖膲毫?mg，故B正確；由機(jī)械能守恒得mg(h－2R)＝eq\f(1,2)mv2，代入v＝eq\r(gR)解得h＝2.5R，故C正確；假設(shè)h＝R，那么小球能上升到圓軌道左側(cè)離地高度為R的位置，該過程重力做功為0，D錯(cuò)誤．]4.如圖5-3-8所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．h＝2m，s＝eq\r(2)m，取重力加速度大小g＝10m/s2.圖5-3-8(1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；(2)假設(shè)環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動(dòng)而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大小.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370223】[題眼點(diǎn)撥]①“b為拋物線頂點(diǎn)〞“與軌道間無相互作用〞說明小環(huán)從b到c的運(yùn)動(dòng)符合平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律．[解析](1)設(shè)環(huán)到b點(diǎn)時(shí)速度為vb，圓弧軌道半徑為r，小環(huán)從a到b由機(jī)械能守恒有mgr＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)①環(huán)與bc段軌道間無相互作用力，從b到c環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)h＝eq\f(1,2)gt2②s＝vbt③聯(lián)立可得r＝eq\f(s2,4h)④代入數(shù)據(jù)得r＝0.25m.(2)環(huán)從b點(diǎn)由靜止下滑至c點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒，設(shè)到c點(diǎn)時(shí)速度為vc，那么mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,c)⑤在bc段兩次過程中環(huán)沿同一軌跡運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過同一點(diǎn)時(shí)速度方向相同設(shè)環(huán)在c點(diǎn)時(shí)速度與水平方向間的夾角為θ，那么環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)tanθ＝eq\f(vy,vb)⑥vy＝gt⑦聯(lián)立①②⑥⑦式可得tanθ＝2eq\r(2)⑧那么環(huán)從b點(diǎn)由靜止開始滑到c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量vcx為vcx＝vccosθ⑨聯(lián)立⑤⑧⑨三式可得vcx＝eq\f(2,3)eq\r(10)m/s.[答案](1)0.25m(2)eq\f(2,3)eq\r(10)m/s(2023·全國(guó)Ⅲ卷)如圖，在豎直平面內(nèi)有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2).一小球在A點(diǎn)正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；(2)通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．[解析](1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，由機(jī)械能守恒定律得EkA＝mgeq\f(R,4)①設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，同理有EkB＝mgeq\f(5R,4)②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5.③(2)假設(shè)小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，那么小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足N≥0④設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2))⑤由④⑤式得，vC應(yīng)滿足mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R)⑥由機(jī)械能守恒定律得mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．[答案](1)5(2)能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)多個(gè)物體的機(jī)械能守恒[母題]一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣兩側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖5-3-9所示．已經(jīng)A球始終不離開圓柱內(nèi)外表，且細(xì)繩足夠長(zhǎng)，假設(shè)不計(jì)一切摩擦，求：圖5-3-9(1)A球沿圓柱內(nèi)外表滑至最低點(diǎn)時(shí)速度的大小；(2)A球沿圓柱內(nèi)外表運(yùn)動(dòng)的最大位移．【自主思考】(1)A球滑至最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩球速度大小相等嗎？[提示]不相等，A球速度沿繩方向的分量與B球速度等大．(2)A球何時(shí)位移最大？[提示]速度為零時(shí)．[解析](1)設(shè)A球沿圓柱內(nèi)外表滑至最低點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，B球的質(zhì)量為m，那么根據(jù)機(jī)械能守恒定律有甲2mgR－eq\r(2)mgR＝eq\f(1,2)×2mv2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)由圖甲可知，A球的速度v與B球速度vB的關(guān)系為vB＝v1＝vcos45°聯(lián)立解得v＝2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR).(2)當(dāng)A球的速度為零時(shí)，A球沿圓柱內(nèi)外表運(yùn)動(dòng)的位移最大，設(shè)為x，如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知A球下降的高度h＝eq\f(x,2R)eq\r(4R2－x2)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有2mgh－mgx＝0乙解得x＝eq\r(3)R.[答案](1)2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR)(2)eq\r(3)R[母題遷移]遷移1將細(xì)繩掛在定滑輪兩側(cè)1.如圖5-3-10所示，兩物塊a、b質(zhì)量分別為m、2m，用細(xì)繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側(cè)，不計(jì)滑輪質(zhì)量和一切摩擦．開始時(shí)，兩物塊a、b距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后突然由靜止釋放，直至物塊a、b間高度差為h(物塊b圖5-3-10A．物塊b重力勢(shì)能減少了2mghB．物塊b機(jī)械能減少了eq\f(2,3)mghC．物塊a的機(jī)械能逐漸減小D．物塊a重力勢(shì)能的增加量小于其動(dòng)能的增加量B[物塊a、b間高度差為h時(shí)，物塊a上升的高度為eq\f(h,2)，物塊b下降的高度為eq\f(h,2)，物塊b重力勢(shì)能減少了2mg·eq\f(h,2)＝mgh，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；物塊b機(jī)械能減少了ΔEb＝2mg·eq\f(h,2)－eq\f(1,2)×2mv2，對(duì)物塊a、b整體根據(jù)機(jī)械能守恒定律有0＝－2mg·eq\f(h,2)＋mg·eq\f(h,2)＋eq\f(1,2)×3mv2，得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，ΔEb＝eq\f(2,3)mgh，選項(xiàng)B正確；物塊a的機(jī)械能逐漸增加eq\f(2,3)mgh，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；物塊a重力勢(shì)能的增加量ΔEpa＝mg·eq\f(h,2)＝eq\f(1,2)mgh，其動(dòng)能的增加量ΔEka＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，得ΔEpa>ΔEka，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]遷移2將細(xì)繩改為輕桿2．(2023·湖南十校聯(lián)考)如圖5-3-11所示，半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置，直徑MN沿豎直方向，環(huán)上套有兩個(gè)小球A和B，A、B之間用一長(zhǎng)為eq\r(3)R的輕桿相連，小球可以沿環(huán)自由滑動(dòng)，開始時(shí)桿處于水平狀態(tài)，A的質(zhì)量為m，重力加速度為g.圖5-3-11(1)假設(shè)B球質(zhì)量也為m，求此時(shí)桿對(duì)B球的彈力大??；(2)假設(shè)B球的質(zhì)量為3m，由靜止釋放輕桿，求B球由初始位置到達(dá)N點(diǎn)的過程中，輕桿對(duì)B【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84370224】[題眼點(diǎn)撥]“長(zhǎng)為eq\r(3)R的輕桿〞此類信息說明此題要用到幾何關(guān)系分析位置變化．[解析](1)對(duì)B球受力分析，如下圖，根據(jù)平衡條件有F＝mgtan60°＝eq\r(3)mg.(2)由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得3mg×eq\f(1,2)R－mgR＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,B)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，又vA＝vB.對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理得3mg×eq\f(1,2)R＋W＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,B).聯(lián)立以上各式解得W＝－eq\f(9,8)mgR.[答案](1)eq\r(3)mg(2)－eq\f(9,8)mgR(多項(xiàng)選擇)(2023·全國(guó)Ⅱ卷)如下圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g.那么()A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq\r(2gh)C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mgBD[由題意知，系統(tǒng)機(jī)械能守恒．設(shè)某時(shí)刻a、b的速度分別為va、vb.此時(shí)剛性輕桿與豎直桿的夾角為θ，分別將va、vb分解，如圖．因?yàn)閯傂詶U不可伸長(zhǎng)，所以沿桿的分速度v∥與v′∥是相等的，即vacosθ＝vbsinθ.當(dāng)a滑至地面時(shí)θ＝90°，此時(shí)vb＝0，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，解得va＝eq\r(2gh)，選項(xiàng)B正確．同時(shí)由于b初、末速度均為零，運(yùn)動(dòng)過程中其動(dòng)能先增大后減小，即桿對(duì)b先做正功后做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．桿對(duì)b的作用先是推力后是拉力，對(duì)a那么先是阻力后是動(dòng)力，即a的加速度在受到桿的向下的拉力作用時(shí)大于g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．b的動(dòng)能最大時(shí)，桿對(duì)a、b的作用力為零，此時(shí)a的機(jī)械能最小，b只受重力和支持力，所以b對(duì)地面的壓力大小為mg，選項(xiàng)D正確．正確選項(xiàng)為B、D.]遷移3將連接的細(xì)繩改為彈簧3.(2023·河北定州中學(xué)模擬)如圖5-