2023屆福建省漳平市一中高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定點(diǎn)都在平面內(nèi)，定點(diǎn)是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，且，那么動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．雙曲線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)2．設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．4．已知正方體的體積為，點(diǎn)，分別在棱，上，滿足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．5．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C．7 D．26．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．9．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．10．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．12011．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________________.14．已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.15．已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.16．已知向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù).（1）若存在，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)，，證明：.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.20．（12分）在中，內(nèi)角的邊長分別為，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面積，求和的值．21．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和．若，求．22．（10分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.2、A【解析】

由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征，建立不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，可得當(dāng)時(shí)最小，設(shè)正方體的棱長為，得，進(jìn)一步求出四面體的體積即可．【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，三線共線時(shí)，最小，

∴

設(shè)正方體的棱長為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設(shè)到的距離為，

設(shè)到平面的距離為，

.

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計(jì)算能力，是中檔題．5、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋裕裕?，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.7、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減，時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),

當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.9、C【解析】

直線恒過定點(diǎn)，由此推導(dǎo)出，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過定點(diǎn)，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，∴，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.10、C【解析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可．【詳解】解：因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象如圖，由圖可知，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可知：為上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù)，則在，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，，，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，，,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令，則，令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.法二：令，，，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，可求得離心率的范圍.【詳解】法一:，，，,，,設(shè)，則，令，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù)，屬于中檔題.16、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】（1），根據(jù)題意，在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，由得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得成立，所以的取值范圍為。（2）當(dāng)時(shí)，，則，從而所證不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則不等式轉(zhuǎn)化為，即，即，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，則，從而不等式化為，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在證明不等式時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理，本題是一道有高度的壓軸解答題.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】

（1）將等式變形為，進(jìn)而可證明出是等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是等差數(shù)列，且公差，其首項(xiàng)所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）令，，利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查利用求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法求和，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值；

（2）運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡可得sinA+sinB=5sinC，運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a，b的方程組，解方程即可得到所求值．【詳解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．21、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，