2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(乙卷)-解析版

2021年全國(guó)統(tǒng)一高數(shù)學(xué)試卷（科乙卷）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小，共60.0分

設(shè)??)

，則

??

B.

C.

D.

??【答案C【解析】解：設(shè)，，b是數(shù)，則??

，則由??)??

，得????，得????，得，得，，即，故選：．利用待定系數(shù)法設(shè)出，，b是實(shí)數(shù)根據(jù)條件建立方程進(jìn)行求解即可．本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算待定系數(shù)法建立方程是解決本題的關(guān)鍵礎(chǔ)題．

已知集{??，{??則

B.

S

C.

T

D.

Z【答案C【解析】【分析】本題考查集合的包含關(guān)系，以及交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．首先判斷集合T任意元素都是集合的素，從而得出集合T是集子集，然后即可求它們的交集．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)集合T中任元2所以，于是故選：．第1頁，共頁

3.

已知命題p：，命題：，

，下列命題中為真命題的是

B.

￢??

C.

￢

D.

￢【答案【解析】解：對(duì)于命題p，，當(dāng)時(shí)，，命題真命題￢為命題；，對(duì)于命題q：，因?yàn)?，又函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

，故命題真命題￢為命，所以為真命題￢

為假命題，￢

為假命題，￢

為假命題，故選：A．先分別判斷命題p和題q真假，然后由簡(jiǎn)單的復(fù)合命題的真假判斷法則進(jìn)行判斷，即可得到答案．本題考查了命題真假的判斷題的關(guān)鍵是掌握全稱命題和存在性命題真假的判斷方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4.

設(shè)函數(shù)，下列函數(shù)中為奇函數(shù)的

B.

C.

D.

【答案【解析】【分析】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換題的關(guān)鍵是確的對(duì)稱中心考了邏輯推理能力，屬于中檔題．先根據(jù)函數(shù)(的析式，得的對(duì)稱中心，然后通圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，而得到答案．【解答】解：因

，所以函的稱中心為，所以將函數(shù)(向平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，得到函，函數(shù)的對(duì)稱中心，第2頁，共頁

111??24452454故函數(shù)111??244524545.

在正方

中為

的中點(diǎn)直線PB與所的角為

??2

B.

??

C.

??4

D.

??6【答案D【解析】【分析】由

，得是直線與所的或所成角的補(bǔ)，由此利用余弦定理，求出直線所的角．本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．【解答】解

是直線與所的角或成角的補(bǔ)角，設(shè)正方

的棱長(zhǎng)為2則22，222，

22，

222

2×

2

，

??6

，直PB與故選：D

所成的角為．66.

將北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配名愿者，則不同的分配方案共

B.

種

C.

種

D.

種【答案C【解析】解：5名愿者選組，種法，然后4組行全排列，種，共有種故選：．先選2一組，然后全排列即可．第3頁，共頁

????????????????????23本題主要考查排列組合的應(yīng)用先分組后排列的方法是解????????????????????237.

把函數(shù)圖上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再把所得2曲線向右平移個(gè)位長(zhǎng)度，得函數(shù)3

的像，則

??2

B.2

C.

sin(212

D.sin(212【答案【解析】解：把數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，2再把所得曲線向右平移個(gè)位度，得到函3把數(shù)的像，向左平移個(gè)位長(zhǎng)度，3

的像，得到

??????312

的像；再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)不變，可得(

??2

的像．故選：B．由題意利用函數(shù)??的像變換規(guī)律，得出結(jié)論．本題主要考查函的像變換規(guī)律，屬基礎(chǔ)題．8.

在區(qū)間與中隨機(jī)取數(shù)，則兩數(shù)之和大于的率

B.

2332

C.

32

D.

2【答案【解析解由題意可得可行域{，得三角形的面積

3232

，

32

．32故選：B．由題意可得可行域：{，可得三角形的面積，結(jié)合幾何概型即可得出結(jié)論．本題考查了線性規(guī)劃知識(shí)、三角形的面積、幾何概型、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，考查第4頁，共頁

【解析】解：，，即????(??????)了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：，，即????(??????)9.

魏晉時(shí)期劉徽撰寫的海島算》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作中一題是測(cè)量海島的高如，點(diǎn)，H，G在平線上DE和FG兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度“高”EG稱“表距”GC和都為“表目距”，GC與EH的稱為“表目距的差”，則島的C.【答案????????????????????故????????????????????

，，

B.D.解得

?????

????

????，故：

?????

???????????

．故選：A．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.

設(shè)，為函

2

的極大值點(diǎn)，則

B.

C.

2

D.

2【答案D【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、極值點(diǎn)，考查一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，屬于較難題．根據(jù)，為數(shù)(??

2

的大值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)來判斷，b第5頁，共頁

3??+2??+2??+2??+2??+2??+22該滿足的條件，為此需要判斷函數(shù)左右的單調(diào)性，本題需要，并3??+2??+2??+2??+2??+2??+22且，，且，，且，，并且共情況討論，由此可以推出：并且或并，然后判斷選項(xiàng)的正確性．【解答】解為Ⅰ所以數(shù)??在?單調(diào)極值，不合條件；Ⅱ當(dāng)時(shí)因)??

??+23

，所以，并且，

??+23

，由′，：或，3由′)，

??+23

，所以這(在?上調(diào)遞增，

??+23

上調(diào)遞減是函數(shù)(的極大值點(diǎn)，符合條件；若

??+23

由′)得

??+23

或由′)，得：

3

所以這時(shí)(,單調(diào)遞減在??,上單調(diào)遞增3是函數(shù)(的小點(diǎn)，不符合條件；若，并，

??+23

，由′)，：，由′，3得或

??+23

，這時(shí)(在?上單調(diào)遞減，(

??+23

上調(diào)遞增是函數(shù)(的小點(diǎn)，不符合條件；若，并，

??+23

，由′)，：

3

，由′，得

??+23

或以這(在,單調(diào)遞增在??,上單調(diào)遞增，3是函的大值點(diǎn)，符合條件；因此，為函數(shù)()(??)并且或并且由此可見，，B均誤；

2

的大值點(diǎn)，則，b必滿足條件：又總有故選D．

2

成，所以C錯(cuò)，正確．11.

設(shè)是圓C：2

??

22

的上頂點(diǎn)C上任意一點(diǎn)P滿足則C的心率的取值范圍

2

,

B.

,2

C.

]2

D.

2【答案C第6頁，共頁

222222【解析】222222【分析】本題重點(diǎn)考查橢圓的性質(zhì)，屬于一般題．設(shè)，得2

，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得

22

，進(jìn)而可求離心率的范圍．【解答】解：設(shè)??由題意，得，√

??

,當(dāng)時(shí)不式成立；當(dāng)時(shí)

22

3sin

2

3sin????

，而

，，??2

??

√

22

，又故橢圓離心率的取值范圍故選：．

12.

設(shè)，??，??，)

??

B.

??

C.

??

D.

??【答案【解析】解：，，，令(，令

，則

，

3)??，

??

2

3

??3)

，在√上調(diào)遞增，第7頁，共頁

2，222，，2，222，同理令√，再令

，則??

，

，2在√上調(diào)遞減，，，，．故選：B．構(gòu)造函??，，√，用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即判斷．本題考查了不等式的大小比較，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．二、填空題（本大題共4小題，20.0分13.

已知雙曲線：2??的條漸近線為??，C的距??為．【答案】4【解析】【分析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的漸近線方程的分析，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，由雙曲線的性質(zhì)可得據(jù)此計(jì)算c的，即可得答案．【解答】

??

??，解可得m的，即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，第8頁，共頁

2????2??，，，??32????2??，，，??3222????，解可得??，則有

2

??的條漸近線為????

，則雙曲線的方程為2，則3+12，其焦距；故答案為：4．14.

已知向，，．【答案】5【解析】解：因?yàn)橄蛄?，則3

，又，所以????1525解得．5故答案為：．5利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得3?

再由??)得?

，即可求解的．本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算垂的充要條件方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15.

記的角的邊分別為為

2

2

，則______．【答案22【解析】解：的角A，B，對(duì)邊分別為a，b，面積為，，

2

2

，222

??22，又

2

1228

2

2，負(fù)舍故答案為：．由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于的程，解方程可得．第9頁，共頁

本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．16.

以圖為正視圖在圖中兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖組成某個(gè)三棱錐的三視圖則選側(cè)視圖和視圖的編號(hào)依次寫符合要的一組答案即．【答案或【解析解觀察正視圖，推出正視圖的長(zhǎng)為和1圖的高也為，即可能為該三棱錐的側(cè)視圖，圖形的長(zhǎng)為2即可能為該三棱錐的俯視圖，當(dāng)為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖，當(dāng)為側(cè)視圖時(shí)，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓，可以確定該三棱錐的俯視圖為．故答案為：或．通過觀察已知條件正視圖，確定該正視圖的長(zhǎng)和高，結(jié)合長(zhǎng)、高、以及側(cè)視圖視圖中的實(shí)線、虛線來確定俯視圖圖形．該題考查了三棱錐的三視圖需學(xué)生掌握三視圖中各個(gè)圖形邊長(zhǎng)的等量關(guān)系以及對(duì)于三視圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強(qiáng)空間想象，屬于中等題．三、解答題（本大題共7小題，82.0分17.

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了產(chǎn)品到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備

新設(shè)備

第10頁，共17頁

22222√√2√舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記22222√√2√

和

方差分別記為和．求，，，；判新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有著提如221210

，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高．【答案】解：由題中的數(shù)據(jù)可得，

10

10.2，

10

(10.110.010.410.510.3,2

10

(10.310)

(10.22

22

(10.12

(10.2

2

；22

10

[(10.1

(10.42

(10.12

(10.0

(10.12(10.3

(10.62

(10.52

(10.42

(10.5

；(2)，221210

0.0360.0410

2，所以√

221210

，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．【解析】本題考查了樣本特征數(shù)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．利平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；比較與√

221210

的大小，即可判斷得到答案．18.如圖四棱錐的面是矩形，底ABCD為BC中點(diǎn)．求；求面的弦．第11頁，共17頁

則，所以?√3則，所以?√3【答案結(jié)BD底面ABCD平面，則又??PB平面，所以平面，平，則，所以，又，則有，以，

，得；因，DC，DP兩垂直，故以點(diǎn)D為標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則(

,，，，所以

，,,，設(shè)平面的向量為=(，則有，，?令，則，，故√，設(shè)平面的向量為，則有

，即2???

，令，，，所以,

314

，設(shè)二面的面角為，則2,14

，所以二面角???的正弦值為．14【解析連BD利用線面垂直的性質(zhì)定理證明，而可以證明平面，到，明即可得到長(zhǎng)度；第12頁，共17頁

??????由，解得????1????，所以??????由，可得????+1????，代入，可得??，可得??????建合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由??????由，解得????1????，所以??????由，可得????+1????，代入，可得??，可得??????本題考查了空間中線段長(zhǎng)度求解以及二面角的求解求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究于中檔題．19.記為

的前n項(xiàng)??

為數(shù)列

的n積，已知

????

．證：數(shù)是差數(shù)列；??求的項(xiàng)公式．??【答案】解：證明：當(dāng)??時(shí)

，11

，當(dāng)時(shí)

??1

??

，代入

????

，消去，可得

??1??

，所以

是以首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．由意，

，由，可

??+2

，??+2????

，當(dāng)時(shí)????

??1

??+1

??+1??

??(

，顯然不滿足該式，所以

,

??(

??．,??【解析由意當(dāng)??時(shí)

代入已知等式可得的值??時(shí)

??1

??

??1????

，進(jìn)一步得到數(shù){

是等差數(shù)列；由

??+2??

，代入已知等式可得

??+2??+1

，當(dāng)??時(shí)，

??

??1

??(

，進(jìn)一步得到數(shù){

的通項(xiàng)公式．本題考查了等差數(shù)列的概念，性質(zhì)和通項(xiàng)公式，考查了方程思想，是基礎(chǔ)題．第13頁，共17頁

故20.己知數(shù)已知是數(shù)故設(shè)數(shù).

證明：．【答案解由題意，的定義域，令(，????)，則?

，因?yàn)槭菙?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，以，當(dāng)時(shí)

，，因?yàn)椤?/p>

2

2

，則上調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)時(shí)函數(shù)的一個(gè)大值．綜上所述，；證：可，要證，需證明，因?yàn)楫?dāng)，當(dāng)時(shí)，??，所以需證明，即，令，則?

???)

，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以為的小值點(diǎn)，所以，，??

，所以

．【解析確函數(shù)的定義域，令(，極值的定義得到，求出值，然后進(jìn)行證明，即可得到值；第14頁，共17頁

??ln(1121??221，????23eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)將題轉(zhuǎn)化為??ln(1121??221，????23eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)

??????(1??)

<1進(jìn)步轉(zhuǎn)化為證??ln(1??)????，令??)????)ln(1，利用導(dǎo)數(shù)研的單調(diào)性，證??)，可證明．本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用主考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題用數(shù)證明不等式問題，此類問題經(jīng)常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的取值范圍問題，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題．21.已知物線??

的點(diǎn)為F，F(xiàn)與M??

上的距離的最小值為．求p若P在M上PB為C的條切線B是切點(diǎn)，eq\o\ac(△,)??面的大值．【答案】解：點(diǎn)

到圓M上點(diǎn)的距離的最小值|

，解得；由知拋物線的方程??

，??，則′

??，設(shè)切點(diǎn)??,)，????，則易得

：

??

??

??

,??

：2

??

??

，從而得

????

2

,1設(shè)??，立拋物線方程，消去整理可得??

??，

，

，且??

??，??，，|???

??2

????2

，點(diǎn)P到線AB的離

??2

，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)

??

，又點(diǎn)在圓M：??

上，故

2

，代入得，

2

32

，而

3]