信陽高中-教學設計教案

變量間的相關關系與統計案例信陽高中高二數學組主講人：付其才一、高考要求1．變量的相關性：（1）會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系．（2）了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程．2．統計案例：（1）了解下列一些常見的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題．（2）獨立性檢驗：了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用．二、考情分析：1、我們可以用相關指數來刻畫回歸的效果，其計算公式是：

取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好.2、建立回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）；

（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程y＝bx＋x）；

（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）；

（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等。

三、高考動向：1、任然延續(xù)2022年高考特點的可能性很大，解答題兩個案例選一個。2、考題情景新穎性（醫(yī)藥、運動員、學生身體、學習狀況、性別等大眾化為背景選題）。四、知識點1．線性回歸模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b稱為模型的未知參數；e稱為隨機誤差．(2)相關指數用相關指數R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：=＝ ，的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸效果越好．2．獨立性檢驗(1)用變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量．例如：是否吸煙，宗教信仰，國籍等．(2)列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表．(3)一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為：2×2列聯表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)，可利用獨立性檢驗判斷表來判斷“x與y的關系”．這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．五、高考實例分析：例1、（2022湖南）通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結論是（）有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”例2、（2022山東）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名。下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性。(Ⅰ)根據已知條件完成下面的列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女合計(Ⅱ)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率。例3、（1）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球的時間x（單位：小時）與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y0．40．50．60．60．4小李這5天的平均投籃命中率為 ，用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為 ．（2）為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177則y對x的線性回歸方程為()A.y=x-1B.y=x+1C.y=88+D.y=176（3）調查了某地若干戶家庭的年收x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系,井由調查數據得到y對x的回歸直線方程.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_____________萬元.例4、（2022全國Ⅰ）（1）為了比較注射A,B兩種藥物后產生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做實驗，將這200只家兔隨機地分成兩組。每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實驗結果。（皰疹面積單位：）（Ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數大小；（Ⅱ）完成下面列聯表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。（2）某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：（I）求回歸直線方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（II）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（I）中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）六、小結1．線性回歸模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b稱為模型的未知參數；e稱為隨機誤差．(2)相關指數用相關指數R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：2＝ ，的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸效果越好．2．獨立性檢驗(1)用變量