大數(shù)定律與中心極限定理基本概念

大數(shù)定律和中心極限定理基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖'切比雪夫大數(shù)定律、大數(shù)定律t］伯努利大數(shù)定律＞辛欽大數(shù)定律中心極限定理t中心極限定理t列維一林德伯格定理］棣莫弗一拉普拉斯定理j二項(xiàng)定理泊松定理2、重要公式和結(jié)論(1)大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X(1)大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1,x2,…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(Xi)〈C(i=l,2,…)，則對(duì)于任意的正數(shù)￡，有壯工X一1工Jn ini=1 i=1limPnTs=1.特殊情形:則上式成為特殊情形:則上式成為若X］,X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E(XI)=p,limPntsii=1<￡limPntsii=1<￡丿=1.伯努利大數(shù)定律設(shè)p是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)￡，有l(wèi)imPnTsr--p<￡Jn丿二1.伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limPnT8limPnT8(r—-P>￡Jn丿二0.這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X,X12(X)斗n什limP-nts切」，…，X，…是相n，則對(duì)于任意的—￡X—y<&n i 丿i=1 丿互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E正數(shù)￡有=1.(2)中心極限定理— CJ2XtN(卩,)n列維一林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)2學(xué)期望和方差：E(X)=卩,D(X)=◎2豐0(k=1,2,)，則隨機(jī)變量k kYX—nykY=k=i n Vna的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有為x-ny [ r 2k 1 r t2limF(x)=limP十 <x>= Jxe-2dt.nTsn nts ■\1'n^ 奇2兀-s此定理也稱(chēng)為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗—拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變?nèi)我鈱?shí)數(shù)=limPnTsE量X為具有參數(shù)n〔X,有rX—np< .n —<X7'np(1-p)攵n,p(O〈p〈1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于1 工>= Jxe-2dt.悩2兀-s(3)二項(xiàng)定理若當(dāng)NT8時(shí), tp(n,k不變)，貝yNCkCn-k—M_N-MTCkpk(1-p)n-k (NTS).Cn nN超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理若當(dāng)nT8時(shí),npT九〉0，貝y九kCkpk(1-p)n-kt——e-九 (nTs).n k!其中k=0，1，2,…，n,…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。例5.1：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X,X,…，X為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,12n則當(dāng)n時(shí),Y二-￡X2依概率收斂于 。i=1nnii=1例5.2：設(shè)｛XJ為相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量序列，并且X』勺概率分布為kkP(X=2i-2lni)=2-i(i=12 ).k試證｛X.｝服從大數(shù)定律。i例5.3：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車(chē)承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5.4：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐(取名“甲罐”)內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為2：1，另一罐(取名“乙罐”)內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1。今任取一罐并從中取出50只