河北省石家莊市皆山慈濟中學2021-2022學年高三數學理上學期期末試卷含解析

河北省石家莊市皆山慈濟中學2021-2022學年高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是

(

）

A．91.5和91.5

B．91.5和92C．91和91.5

D．92和92參考答案：A2.如圖為函數（其中）的部分圖象，其中兩點之間的距離為，那么A．

B．

C． D．1參考答案：C3.已知是實數集，集合,,則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D4.某學校隨機抽查了本校20個同學，調查他們平均每天在課外從事體育鍛煉的時間（分鐘），根據所得數據的莖葉圖，以5為組距將數據分為八組，分別是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】頻率分布直方圖；莖葉圖．【分析】由頻率分布直方圖可得，[25，30），[30，35）的頻率相同，頻數為3，即可得出結論．【解答】解：由頻率分布直方圖可得，[25，30），[30，35）的頻率相同，頻數為3，故選：B．5.已知函數，下面結論錯誤的是A.函數的最小正周期為2

B.函數在區(qū)間［0，］上是增函數C.函數的圖象關于直線＝0對稱

D.函數是奇函數參考答案：D略6.已知函數f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸相切于原點，且x軸與函數圖象所圍成區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點】定積分．【專題】數形結合；轉化思想；數形結合法；導數的概念及應用．【分析】由x=0是f（x）=0的一個極值點，可得f′（0）=0，求得b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為，利用定積分求面積的方法列出關于a的方程求出a并判斷a的取舍即可【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．∵x=0是原函數的一個極值點，∴f′（0）=b=0．∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函數f（x）與x軸的交點橫坐標一個為0，另一個a，根據圖形可知a＜0，得a=﹣1．故選：C【點評】本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及定積分的運算法則，同時考查了計算能力和識圖能力，屬于中檔題．7.下列說法正確的是

（

）

A．算法就是某個問題的解題過程；

B．算法執(zhí)行后可以產生不同的結果；

C．解決某一個具體問題算法不同結果不同；

D．算法執(zhí)行步驟的次數不可以為很大，否則無法實施。參考答案：B8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；立體幾何．【分析】三視圖復原的幾何體是長方體的一個角，擴展為長方體，它的外接球的直徑就是長方體的對角線的長，求出對角線長，即可求出外接球的體積．【解答】解：三視圖復原的幾何體是長方體的一個角；把它擴展為長方體，則長、寬、高分別為1，2，2，則它的外接球的直徑就是長方體的對角線的長，所以長方體的對角線長為：=3，所以球的半徑為：R=cm．這個幾何體的外接球的體積是：πR3=π．故選：B．【點評】本題是基礎題，考查幾何體的外接球的問題，空間想象能力，邏輯思維能力，和計算能力，注意本題中三棱錐的外接球與長方體的外接球是同一個球．9.已知集合A={1，2，3，4，5，}，B={2，5，7，9}，則A∩B=（

）A.{1，2，3，4，5}

B.{2，5，7，9}

C.{2，5}

D.{1，2，3，4，5，7，9}參考答案：C10.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為（

）(A)

(B)

(C)

(D)

（12題圖）參考答案：答案：C解析：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在復平面內，復數z1，z2對應的點分別是A，B（如圖所示），則復數的值是．參考答案：﹣1+i考點：復數代數形式的乘除運算．

專題：數系的擴充和復數．分析：利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．解答：解：由復數的幾何意義可知：z1=2i，z2=1﹣i．∴===﹣1+i．故答案為：﹣1+i．點評：本題考查了復數的運算法則、幾何意義，屬于基礎題．12.已知，在區(qū)間上任取一點，使得的概率為

.參考答案：略13.）的二項展開式中第二項的系數是

（用數字作答）.參考答案：14.在航天員進行的一項太空試驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，則實施程序的編排方法共有

種。參考答案：9615.若A，B兩點在半徑為2的球面上，且以線段AB為直徑的小圓周長為2，則此球的表面積為___________，A，B兩點間的球面距離為__________.參考答案：

16.已知函數的圖象是以點（－1,1）為中心的中心對稱圖形，，曲線在點處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，則__________．參考答案：【分析】由中心對稱得，可解得，再由兩切線垂直，求導數得斜率，令其乘積為-1，即可得解.【詳解】由，得，解得，所以.又，所以.因為，，，由，得，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了函數的中心對稱性，考查了導數的幾何意義即切線斜率，屬于中檔題.17.定義映射，其中，，已知對所有的有序正整數對滿足下述條件:①；②若，；③，則

，

．參考答案：

根據定義得。，，，所以根據歸納推理可知。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D1在底面ABCD內的射影恰好為點C．（1）求證：AD1⊥BC；（2）若直線DD1與直線AB所成角為，求平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值函數值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）證明：連接D1C，證明BC⊥平面AD1C，利用直線與平面垂直的性質定理證明AD1⊥BC．（Ⅱ）解法一：連接D1M，則D1M⊥AB，說明∠D1MC為平面ABC1D1與平面ABCD所成角的一個平面角，在Rt△D1CM中，求出，得到平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數值為．解法二：由（Ⅰ）知AC、BC、D1C兩倆垂直，建立如圖空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面ABC1D1的一個法向量，平面ABCD的法向量．通過向量的數量積求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接D1C，則D1C⊥平面ABCD，∴D1C⊥BC在等腰梯形ABCD中，連接AC∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD∴BC⊥AC∴BC⊥平面AD1C∴AD1⊥BC…（Ⅱ）解法一：∵AB∥CD∴∵CD=1∴在底面ABCD中作CM⊥AB，連接D1M，則D1M⊥AB，所以∠D1MC為平面ABC1D1與平面ABCD所成角的一個平面角在Rt△D1CM中，，∴∴即平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦函數值為…解法二：由（Ⅰ）知AC、BC、D1C兩倆垂直，∵AB∥CD∴∴在等腰梯形ABCD中，連接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，所以，建立如圖空間直角坐標系，則，B（0，1，0），設平面ABC1D1的一個法向量由得可得平面ABC1D1的一個法向量．又為平面ABCD的一個法向量．因此所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為．19.設函數f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，試求函數f（x）的單調區(qū)間；（2）令g（x）=，若函數g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數研究函數的單調性．專題：導數的綜合應用．分析：（1）求出函數f（x）的導數，利用導數的正負性判斷單調性，從而求函數的極值；（2）求出g（x）的導數，化簡構造函數h（x），求出h（x）的導數，討論函數h′（x）正負性，判斷h（x）的單調性，根據h（x）的正負性，判斷g（x）的單調性，從而求出參數a的取值范圍．解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x2+x﹣lnx，定義域為（0，+∞），∴f′（x）=2x+1﹣==，∴當0＜x＜，時f′（x）＜0，當x＞時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，（2）g（x）==，定義域為（0，+∞），g′（x）=，令h（x）=，則h′（x）=﹣2x++2﹣a，h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞減，從而對（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a①當2﹣a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，∴y=h（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，∴y=F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數，a≤2滿足題意；②當2﹣a＜0，即a＞2時，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，且y=h′（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，∴y=h′（x）在區(qū)間（0，1]有唯一零點，設為x0，∴h（x）在區(qū)間（0，x0）上單調遞增，在（x0，1]上單調遞減，∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，且y=h（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，y=h（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點，設為x′，即y=F′（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點，設為x′，又F（x）在區(qū)間（0，x′）上單調遞減，在（x′，1）上單調遞增，矛盾，a＞2不合題意；綜上所得：a的取值范圍為（﹣∞，2]．點評：本題考查的是利用導數求函數的單調區(qū)間，同時考查了利用導數解決參數問題，利運用了二次求導，是一道導數的綜合性問題．屬于難題．20.（本小題滿分12分）在數列中，（Ⅰ）求數列的前項和；（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數的最小值.參考答案：19.（I）……①……②由①—②得：,當時，也符合……③2……④又③—④得：

……6分(II)由得令單調遞增，從而因此實數的最小值為

……12分

略21.（14分）已知-2（1）求的最大值及相應的值；

（2）當時，已知，求的值.

參考答案：（1）

1分

3分

5分所以的最大值是，且當，即時取得

7分（2）

9分

10分

11分

12分

13分

14分22.已知函數f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；（2）設g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）對任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）先求導，再分類討論，得到函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值點的個數；（2）由題意，只要求出函數f（x）min＞0即可，利用導數和函數的最值的關系，進行分類討論，即可得到a的范圍．【解答】解：（1）f（x）=x﹣alnx，（x＞0），f′（x）=1﹣=，①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）無極值；②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，f（x）有1個極小值點；（2）若不等式f（x）＞g（x）對任意x∈[1，e]恒成立，令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立，則h（x）=x﹣alnx+（a∈R），∴h′（x）=1﹣﹣=，①當1+a≤0，即a≤﹣1時，在[1，e]上為增函數，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得：