矩陣的特征值

矩陣的特征值第一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日定義4.2設(shè)A為n階矩陣，含有未知量λ的矩陣λI-A稱為A的特征矩陣，其行列式|λI-A|為λ的n次多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式，|λI-A|＝0稱為的特征方程。

說明：1）如λ是A的一個(gè)特征值,則必有|λI-A|＝0成立，故λ又稱為特征根。當(dāng)然，可以是單根，也可以是重根。第二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日2）如λ是|λI-A|＝0的ni重根，則(λI-A)x＝0必有非零解，習(xí)慣稱λ為A的ni重特征值（根）。3)(λI-A)x＝0的每一個(gè)非零解向量均為λ的特征向量。第三頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日求特征值和特征向量的步驟：1）計(jì)算A的特征多項(xiàng)式|λI-A|。2）求出特征方程|λI-A|＝0的全部特征值。對(duì)每個(gè)特征值λ

0，求出相應(yīng)的齊次線性方程組（λ0I-A）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)階系η1,…,ηt，則A的λ0關(guān)于的特征向量為：

c1η1+…+ctηt。第四頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日命題2：矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的任一特征值不為零。第六頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日（二）特征值與特征向量的性質(zhì)：

定理4.1n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值.

第七頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)：（1）任一n階方陣A必有n個(gè)特征值（包括重根）。

（2）設(shè)x是A的關(guān)于特征值λ的特征向量，則對(duì)于任意常數(shù)，cX也是A的關(guān)于λ特征值的特征向量。

（3）若X1,X2是A的關(guān)于λ的特征向量，則

k1X1+k2X2也是A的關(guān)于λ的特征向量,k1,k2

為常數(shù)。

第九頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日由（2）、（3）推廣為：對(duì)應(yīng)于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量；但對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量的和不再是特征向量。

（4）一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量有無窮多個(gè)；但是一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值，而不能屬于不同的特征值。第十頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日（5）對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)；但對(duì)應(yīng)于同一特征值的特征向量不一定線性相關(guān)（定理4.3）。

推廣：若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值，則A

有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

（6）A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值；但特征向量不一定相同（定理4.1）。

第十一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充性質(zhì)：若λ是矩陣A的特征值，x是關(guān)于λ的特征向量，則：

a)kλ是kA的特征值。

b)λm是Am的特征值,m是自然數(shù)。

c)A可逆時(shí)，λ-1是A-1的特征值。那么：

λ1，λ2是同一矩陣A的兩個(gè)特征值，則λ1＋λ2是A+B的特征值，對(duì)嗎？

λ1λ2是AB的特征值，對(duì)嗎？第十二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例題：1）設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值為λ1,…,λn，證明|A|=λ1…λn

。2)設(shè)A,B均為n階矩陣，證明AB,BA有相同的特征值。3)設(shè)方陣A滿足:2A2-3A-5I=0，證明