河北省邯鄲市聯(lián)紡中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

河北省邯鄲市聯(lián)紡中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，若，則z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z的坐標(biāo)得答案．【詳解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，則z的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（），在復(fù)平面的第四象限．故選：D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2.設(shè)分別為直線和圓上的點，則的最小值為（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A試題分析：設(shè)圓心為，直線，則，所以選A.考點：直線與圓位置關(guān)系3.在矩形中，，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點，那么使得與的面積都不小于2的概率為A． B．

C．

D．參考答案：D4.已知的面積為6，，為線段上一點，，點在線段上的投影分別為，則的面積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B5.定義一種運算，若，當(dāng)有5個不同的零點時，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.若直線被圓C：截得的弦最短，則直線的方程是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略7.7人乘坐2輛汽車，每輛汽車最多坐4人，則不同的乘車方法有（

）A.35種 B.50種 C.60種 D.70種參考答案：D【分析】根據(jù)題意，分2步分析，①先將7人分成2組，1組4人，另1組3人；②將分好的2組全排列，對應(yīng)2輛汽車，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步分析，①，先將7人分成2組，1組4人，另1組3人，有C74＝35種分組方法，②，將分好的2組全排列，對應(yīng)2輛汽車，有A22＝2種情況，則有35×2＝70種不同的乘車方法；故選：D．【點睛】排列組合的綜合應(yīng)用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏．8.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項為Sn，若a1=2，=21，則數(shù)列{}的前5項和為（）A．或 B．或 C．或 D．或參考答案：C【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由等比數(shù)列前n項和公式得q4+q2﹣20=0，從而q=±2．由此能求出數(shù)列{}的前5項和．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項為Sn，a1=2，=21，∴===21，整理，得q4+q2﹣20=0，解得q=±2．當(dāng)q=2時，，數(shù)列{}的前5項和為當(dāng)q=﹣2時，an=2×（﹣2）n﹣1，數(shù)列{}的前5項和為=．∴數(shù)列{}的前5項和為或．故選：C．【點評】本題考查等比數(shù)列的前5項和的求法，是中檔題，解題時認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．9.若x、y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是(

) A．（﹣4，2） B．（﹣1，2） C．（﹣4，0） D．（﹣2，4）參考答案：A考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意作出其平面區(qū)域，將z=ax+2y化為y=﹣x+，相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距，由幾何意義可得．解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域，將z=ax+2y化為y=﹣x+，相當(dāng)于直線y=﹣x+的縱截距，則由目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，則﹣4＜a＜2，故選A．點評：本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．10.已知等比數(shù)列的前項和為，若，且滿足，則使的的最大值為（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線(a，b為常數(shù))過點，且該曲線在點P處的切線與直線平行，則的值是

▲

.參考答案：

12.觀察以下等式：可以推測13＋23＋33＋…＋n3＝__________________(用含有n的式子表示，其中n為自然數(shù))．參考答案：略13.在的展開式中，常數(shù)項為______．(用數(shù)字作答)參考答案：135略14.從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是

．參考答案：15.已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直線l過點P（0，4），則圓C上的點到直線l的距離的最大值為

．參考答案：考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題；直線與圓．分析：確定直線l的方程，求出圓心C到直線的距離，再加上半徑，即為C上各點到l的距離的最大值．解答： 解：由題意，方向向量的直線l過點P（0，4），方程為x﹣y+4=0圓心C到直線的距離為d==2∵圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半徑為∴C上各點到l的距離的最大值為2+=．故答案為：．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)若，則

.參考答案：17.坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在極坐標(biāo)系中,曲線與直線的兩個交點之間的距離為_________.參考答案：把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程為：，把直線方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離為：，所以弦長為，即兩個交點之間的距離為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）

設(shè)關(guān)于x的方程有兩個實根α、β，且。定義函數(shù)

（I）求的值；

（II）判斷上單調(diào)性，并加以證明；

（III）若為正實數(shù)，①試比較的大小；

②證明參考答案：解析：（I）解：的兩個實根，

…………3分

（II），

…………4分當(dāng)

…………5分而，上為增函數(shù)。

…………7分

（III）①

…………9分由（II），可知

…………10分②同理，可得

…………12分又由（I），知所以

…………14分19.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（Ⅰ）若O是CD的中點，證明：BO⊥PA；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．（Ⅲ）在線段CP上是否存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，若存在，確定點Q的位置，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角即可證明；（Ⅱ）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的大?。唬á螅┰O(shè)出Q的坐標(biāo)，利用向量方法，即可求解．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，四邊形ABCD是矩形．∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，若O是CD的中點，OP⊥CD．OP=．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，AB=2BC=2．則O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），P（0，，0）．∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．∴?═0，∴⊥，∴BO⊥PA．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：=（2，0，0）．設(shè)平面BPA的法向量為=（x，y，z），由，取y=1，平面BPA的一個法向量為=（0，1，）．取=（0，0，1），設(shè)平面PAD的法向量為=（a，b，c），則，取b=1，則=（﹣，1，0）．∴cos＜，＞==，由圖可以看出：二面角B﹣PA﹣D是一個鈍角，故其余弦值為﹣，正弦值為．（Ⅲ）解：假設(shè)存在Q，直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為，直線AQ與平面ABP的法向量所成角的余弦值為．設(shè)Q（m，（1﹣m），0），則=（m+1，（1﹣m），﹣1），∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程無解，∴在線段CP上不存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為．20.已知函數(shù)。（I）當(dāng)a=－3時，求的解集；（Ⅱ）當(dāng)f（x）定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍參考答案：略21.已知函數(shù)f（x）=（ax2+x﹣1）ex+f'（0）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）=e﹣xf（x）+lnx，h（x）=ex，過O（0，0）分別作曲線y=g（x）與y=h（x）的切線l1，l2，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，求證：﹣＜a＜﹣．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出直線l1的方程，設(shè)l1與y=g（x）的切點為（x1，y1），得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]ex，f'（0）=0，所以f（x）=（ax2+x﹣1）ex．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]ex=[x（ax+2a+1）]ex．①若a＞0，當(dāng)或x＞0時，f'（x）＞0；當(dāng)時，f'（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．②若a=0，f（x）=（x﹣1）ex，f'（x）=xex，當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0；當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）．③若，當(dāng)或x＜0時，f'（x）＜0；當(dāng)時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．④若，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）．⑤若，當(dāng)或x＞0時，f'（x）＜0；當(dāng)時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)a=0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）．，當(dāng)時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）；當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，（0，+∞）；（2）證明：g（x）=e﹣xf（x）+