高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算)

第五章面向量第節(jié)平向量概及性算一基知1．向量的有關(guān)概念(1)向量的定義及表示既有大又有方向的量叫做向量A起點(diǎn)為點(diǎn)的向量―→記作AB，可用黑體的單個(gè)小寫(xiě)字母，，，來(lái)示向量．―→――(2)向量的長(zhǎng)度模：量的大小即向量AB的度模，為AB2．幾種特殊向量名稱(chēng)零向量單位向量平行向量相等向量相反向量

定義長(zhǎng)度為0的量長(zhǎng)度等于個(gè)位的向量方向相同或相反的非零向量(也共線(xiàn)向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量

備注零向量記作0，其方向是任意的a單位向量記作a，＝000與意向量共線(xiàn)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量若，相反向量，則＝b單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平的單位向量有兩個(gè)，aa即向量和.3．向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算加法

定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)

法則(或幾何意義)

運(yùn)算律(1)交律：＋＝＋；(2)結(jié)律＋＝＋算求a與b的相反向量減法－的和的

三角形法則

平行四邊形法則

(b＋ab＝＋(－運(yùn)算叫做與b的

三角形法則

數(shù)乘

求實(shí)數(shù)向量a的的運(yùn)算

λa|＝|λ；當(dāng)＞0時(shí)a方向與的方向相同＜時(shí)a的向與a的向相反；當(dāng)＝時(shí)，a＝

λa)＝λ)a；＋λ＋a；λ＋λa＋b向量加法的多邊形法則多個(gè)向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接＋＋表從始點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心始點(diǎn)、終.4．共線(xiàn)向量定理向量0)與b共，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b＝a.只有才證實(shí)數(shù)的存在性和唯一.二常結(jié)1→→(1)若P為段AB的中點(diǎn)O為面任一點(diǎn)，則OP＝(OA＋．2→→→(2)OA＝OBμO(píng)C(，μ為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A，C三共線(xiàn)，則＋＝考一平向的關(guān)念[典例]給出下列命題：①若＝，＝，＝；―→→②若CD是共線(xiàn)的四點(diǎn)，則＝DC是邊ABCD為行四邊形的充要條件；③＝的充要條件是|＝且a∥b；④若∥，∥，∥其中正確命題的序號(hào)________．[解析]①正確∵＝，∴a，長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝，b，的度相等方向相同，∴，的度相等且方向相同，故＝―→――→→―②正確．∵AB＝DC，|＝DC且∥DC，又A，，，是共線(xiàn)的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為行四邊形；

00000000反之，若四邊形ABCD為行四邊，―→――→―→―→→則AB∥DC且＝|DC，此，AB＝DC③不正確．當(dāng)∥且方向相反時(shí)，即|＝，不能得到＝，|＝且∥是a＝的充要條件，而是必要充分條件．④不正確．考慮＝這種特殊況．綜上所述，正確命題的序號(hào)是①.[答案]①②[解題技法向有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)．(2)非零共線(xiàn)向量的關(guān)鍵是方向同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是，定零向量與任意向量共線(xiàn)．[題組訓(xùn)練1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；②aλ為數(shù)，則必零；③，實(shí)數(shù)，若λ＝，則a與共．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為)A．C2

B1D．解析選①誤向量共線(xiàn)要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)錯(cuò)誤當(dāng)a＝時(shí)，不論為值＝③誤當(dāng)＝＝時(shí)a＝＝此a與可是任意量錯(cuò)誤的命題有3個(gè)故選D.2設(shè)a為位向量下列命題中①若為面內(nèi)的某個(gè)向量則＝|a|·a②若與00a平行，則＝|a|a；若a平行|＝，則＝，命題的個(gè)數(shù)()0000A．C2

B1D．解析：D向量是既有大小又有方向的量a與a|a的相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a平，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反，反向時(shí)a＝－|a|a，②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是

＝＋(AD＋DC＝＋AD＝＋(AD＋DC＝＋AD＋＝＋AD.考二平向的性算[典例](1)(2018·國(guó)卷ⅠABC中，為邊的中線(xiàn)E為AD的中點(diǎn)，則―→＝)3―→1―A.AB－AC443―→1C.AB＋AC44

1―→3B.－441→3→D.＋AC44―→1―→―→―→(2)如圖，在直角梯形ABCD中DC＝，BE＝，且AE4―→―→＝AB＋AD，2＋＝)A．C3

B2D．―→→―1――[解析]作示意圖如圖所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝211→―3―→1→×(AB＋)＋(－AC)＝－AC.故22244―→―→―→2→―2―――→(2)根據(jù)圖由題意可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝＋(＋＋331―→―1→21―2→33342―→―→―→12因?yàn)锳E＝AB＋AD，所以＝，＝，r＋s＝＋＝2[答案](1)A(2)C[解題技法向線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略(1)常的法則是平行四邊形則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量線(xiàn)向量所向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向問(wèn)題的基本技巧：①觀(guān)察各向量的位置找應(yīng)的三角形或多邊形用法則找關(guān)系簡(jiǎn)果．(4)與向量的線(xiàn)性運(yùn)算有關(guān)的參問(wèn)題般是構(gòu)造三角形用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值．

[題組訓(xùn)練―→1．設(shè)為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝，)―→1→4→A．＝－＋AC33―→―→1―CAD＝＋AC3

―→→4→B＝－AC33―→4―→1―→D．AD＝－AC33―→――→1――→1―→―→―→解析由意得AD＝＋CDAC＋＝AC＋AC－＝AB33334―→＋AC.3―→―2．太模在方形ABCD中，分別是BCCD的點(diǎn)，若＝AM―→＋AN，實(shí)數(shù)＋＝―→―→――1―→―→1―→解析：圖，∵AB＋BM＝AB＋BC＝DC＋BC，①2―→→―→AN＝AD＋DNBC＋DC，②2―→42→―4―→2―→由①②BC＝AN－AM，DCAM－AN，3333―→―――→4―→2―→2―→2→2―→∴AC＝AB＋BC＝＋BC＝AM－AN＋－AM＝AM＋AN，3333―→→―24∵AC＝AM＋AN，λ＝μ＝＋μ.3334答案：3考三共向定的用[典例]設(shè)兩個(gè)非零向量a與共線(xiàn)，―→―→(1)若AB＝＋，BC＝＋，CD3a－，求證：，，三共；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使＋＋k同．―→―→[解]證明∵＝＋，BC＝＋，CD＝－，―→―→―→∴＝＋CD＝＋＋－＝＋＝5，―→―∴AB，BD共．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴，，三共線(xiàn)．(2)∵a＋與＋b同，

112112121111211212112∴存在實(shí)數(shù)λλ，k＋＝(a＋，即a＋＝＋λkb.∴kλ＝λk1)b.∵，是不共線(xiàn)的非零向量，∴解得又∵∴＝1.1.向量共線(xiàn)問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)向量共線(xiàn)的充要條件中兩向量共線(xiàn)時(shí)常有非零向量才能表示與之共線(xiàn)的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題用量共線(xiàn)來(lái)解決應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線(xiàn)．[題組訓(xùn)練―→―→1在四邊形ABCD中，＝＋2b，BC＝4a－，CD－－四邊形ABCD的形狀是)A．形C梯形

B平行四邊形D．以上都不對(duì)―→――→―→解析：C由知，得AD＝＋BC＋CD＝8a－＝－－＝BC，―→―→―→AD∥BC.又為AB與不行，所以四邊形ABCD梯形．2．已知向量e，∈，a＝＋e，2e，若向量a與向量b共，則112A．＝Ce∥12

Be＝2D．∥或＝12解析：D因向量e，∈，a＝e＋e，＝，因?yàn)橄蛄亢凸玻嬖趯?shí)數(shù)，使得a＝，所以＋e＝k，以＝k－，所以∥或λ＝1→→――3．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝(＋OC)，＝AC，B，，D三2共線(xiàn)，則t＝)1A.41C.2

1B.32D.3

1→→→→→解析：B設(shè)是邊中點(diǎn)，則(＋OC)＝OE，題意得AO＝，所2→1―→1―→1―→―1以＝AE＝AB＋AC)＝＋AD又因?yàn)锽三共線(xiàn)以＋＝，2444t441解得t＝，故B.3―→4．已知O，三點(diǎn)不共線(xiàn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝OA＋，()―→||A．P在線(xiàn)段上B點(diǎn)在段的長(zhǎng)線(xiàn)上C點(diǎn)在段的向延長(zhǎng)線(xiàn)上D．P在射線(xiàn)上―→→→→→―1―→解析：選D由OP＝＋，得OP－OA＝，AP＝·AB，點(diǎn)―→―→―|AB||||P在射線(xiàn)上故D.[課時(shí)跟蹤檢測(cè)―→―1．設(shè)D，，分為ABC的邊，，的點(diǎn)，則＋＝)―→A．1―→C.BC2解析：選A―→AD.

1―→B.AD2―→D．―→→1―→―――→由題意得EB＋＝(＋CB)＋(AC＋BC)＝(＋)＝2222．已知向量a，不線(xiàn)，且c＝＋，＝＋－若與共線(xiàn)反向，則實(shí)數(shù)λ的為)A．1C1或2

1B－21D．－或2解析：由與共反向，存在實(shí)數(shù)k使c＝k＜，于是λ＋＝[

a＋

2－]

.整理得a＋＝k＋(2λk－)b.由于，不線(xiàn)，所以有1整理得2－－＝，解得λ＝或＝－2

1431431又因?yàn)閗＜，所以＜，故＝－.2―→3．設(shè)向量a，不線(xiàn)，AB＝2apb，BC＝＋，CD＝－，A，D三共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)p的為)A．2C1

B－1D．―→→―解析選B因＝＋，a2b以BD＝＋CD＝－又為，―→―――B三共線(xiàn)所AB，共線(xiàn)AB＝BD所以＋b＝(2ab)所以＝λ，p＝－，＝，＝－1.―→→―4．甘診設(shè)D為ABC所平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝4CD，＝)1―→3―A.AB－AC443―→1C.AB－AC44

1―→3B.＋443→1→D.＋AC44―→―→――→――→解析法AD＝＋ACBC＝－CD可得，＋＝4CA―→―――－AD即－－AC＝4xAB－yAC則

－x－，－y－，

，解，4

―→即AD＝1―→3―＋AC，選B.4―→→1→→―→―1法二：eq\o\ac(△,在)中，BC＝－4CD，－BC＝則AD＝AC＋CD＝－44―→―→―→1―3BC＝AC－(＋＝＋AC，選44→31→5．在平面直角坐標(biāo)系中，為標(biāo)原點(diǎn)A，，三點(diǎn)滿(mǎn)足OC＝OA＋OB，44―→||等于()―→||A．C3

B23D.2―→→→31→→―→―→→解析因BC＝OCOB＝OA＋－OBAC＝OC－＝444―→3→→→1―→|BC|OA＋－＝，以＝故C.44―→|AC|

λAM＋AN＝λAM＋AN.∵λAM＋AN＝λAM＋AN.∵M(jìn)N三共線(xiàn)∴λ＋λ＝則＝.故選―→――→→―→6．已知ABC的BC中點(diǎn)為D，G滿(mǎn)足GA＋BG＋CG＝，且AG＝，則的是)1A.2C－

B21D．－2―→―→―解析：C由GA＋＋CG＝，G為AC為鄰邊的平行四邊形的第四―→→個(gè)頂點(diǎn)，因此AG＝－，則＝－故選C.7．下列四個(gè)結(jié)論：―→―――→→――①AB＋＋CA＝；②A(yíng)B＋MB＋BO＋＝；―→――→→→――③AB－＋BD－CD＝；④＋P＋MN－MP＝，其中一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)()A．C3

B2D．―→→―――――→―解析選①＋＋CA＝AC＋CA＝①正確＋＋＋OM―→―→→――→→――→→―＝＋MO＋OM＝AB，②錯(cuò)誤③AB－＋－CD＝＋BD＋＝―→―→―→―――＋DC＝③確④NQ＋QP＋－MP＝NP＋＝④正確故①③正確．8.如圖，在平行四邊形ABCD中，分別為AB，上的點(diǎn)，且―→3―→―2―――AM＝，AN＝AD，，交于點(diǎn).若＝AC，的43為)3A.5

3B.73C.16

D.

617解析：選D

―→3→2―――→―→∵AM＝AB，AN＝AD，∴＝λ＝λ＋AD)＝4

4→―4―3―436323232179．設(shè)向量a，不行，向量λ＋與a＋平，則實(shí)數(shù)λ＝________.解析：為向量λa＋與＋平，所以可設(shè)＋＝k，則1答案：2

1所以λ＝.2

1212121121212121212121211212121212―→1―→―→―10．若AP＝，AB＝λ＋，＝2―→1→解析：圖，由AP＝PB，可知點(diǎn)是線(xiàn)段靠近點(diǎn)的等分點(diǎn)，2―→3→35則AB＝，結(jié)合題意可得＋＝－所以