2012-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：實(shí)際問題與一元二次方程

8/82012-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編實(shí)際問題與一元二次方程一、單選題1．（2021·北京·宣武外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，則x滿足的關(guān)系式為（

）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝152．（2019·北京八中九年級(jí)期中）某商品原價(jià)800元，連續(xù)兩次降價(jià)a％后售價(jià)為578元，下列所列方程正確的是（

）A．800(1+a%)2=578 B．800(1－a%)2=578 C．800(1－2a%)=578 D．800(1－a2%)=578二、填空題3．（2019·北京四中九年級(jí)期中）參加一次同學(xué)聚會(huì)，每?jī)扇硕嘉找淮问?，所有人共握?5次，若設(shè)共有x人參加同學(xué)聚會(huì)．列方程得____．4．（2021·北京育才學(xué)校九年級(jí)期中）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就會(huì)得到22＋2×(－5)－3＝－9.現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)(m，－3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)4，則m＝__________.5．（2017·北京·臨川學(xué)校九年級(jí)期中）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，采取了降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件計(jì)劃降價(jià)1元，那么商場(chǎng)平均每天可多售出2件．若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，則每件襯衫應(yīng)降價(jià)________．6．（2017·北京·臨川學(xué)校九年級(jí)期中）一種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，藥價(jià)從原來每盒60元降至到現(xiàn)在48.6元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則列方程為_____．三、解答題7．（2017·北京·臨川學(xué)校九年級(jí)期中）某地區(qū)2019年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，2021年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬元．求2019年至2021年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率．8．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？9．（2020·北京市西城外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)期中）雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng).第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？10．（2019·北京十五中九年級(jí)期中）如圖,園林小組的同學(xué)用一段長(zhǎng)16米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園ABCD,墻的長(zhǎng)度為9米,設(shè)AB的長(zhǎng)為x米,BC的長(zhǎng)為y米.(1)①寫出y與x的函數(shù)關(guān)系是:;②自變量x的取值范圍是;(2)園林小組的同學(xué)計(jì)劃使矩形菜園的面積為30平方米,試求此時(shí)邊AB的長(zhǎng).11．（2017·北京·臨川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖,某公司計(jì)劃用32m長(zhǎng)的材料沿墻建造的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，已知墻長(zhǎng)16m，設(shè)長(zhǎng)方形的寬AB為xm.（1）用x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC；（2）能否建造成面積為120㎡的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)？若能，求出長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬；若不能,請(qǐng)說明理由；（3）能否建造成面積為160㎡的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)？若能，求出長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬；若不能,請(qǐng)說明理由．12．（2017·北京·臨川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，邊AB、BC的長(zhǎng)（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿△ABC邊

A→B→C→A的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）求AB與BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊BC上時(shí)，試求出使AP長(zhǎng)為時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC上時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2013·北京四中九年級(jí)期中）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元．則每個(gè)月少賣10件(每件售價(jià)不能高于65元)．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元(x為正整數(shù))，每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)?最大的月利潤(rùn)是多少元?（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元?根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元?14．（2019·北京市第三十九中學(xué)九年級(jí)期中）某水果批發(fā)市場(chǎng)經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克這種水果在原售價(jià)的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．①如果市場(chǎng)某天銷售這種水果盈利了6000元，同時(shí)顧客又得到了實(shí)惠，那么每千克這種水果漲了多少元?②設(shè)每千克這種水果漲價(jià)x元時(shí)(0<x≤25)，市場(chǎng)每天銷售這種水果所獲利潤(rùn)為y元．若不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價(jià)多少元時(shí)，市場(chǎng)每天銷售這種水果盈利最多?最多盈利多少元?

參考答案1．A【分析】設(shè)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽，那么第一個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)球，第二個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)，以此類推可以知道共打場(chǎng)球，然后根據(jù)計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽即可列出方程求解．【詳解】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，此題和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程．2．B【分析】根據(jù)平均變化率公式：原價(jià)×（1-降價(jià)的百分率）=現(xiàn)價(jià)，由此即可得答案.【詳解】由題意可得方程：800（1-a%）2=578，故選B．3．x（x﹣1）=45【分析】利用一元二次方程應(yīng)用中的基本數(shù)量關(guān)系：x人參加聚會(huì)，兩人只握一次手，握手總次數(shù)為x（x-1）解決問題即可．【詳解】由題意列方程得，x（x-1）=45．故答案為x（x-1）=45．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟知x人參加聚會(huì)，兩人只握一次手，握手總次數(shù)為x（x-1）這一基本數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4．7或－1【詳解】根據(jù)題意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，所以m的值為7或-1．5．10元或20元【詳解】設(shè)商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元或20元.故答案為10元或20元．6．【詳解】由題意得.【點(diǎn)睛】平均增長(zhǎng)率（降低）百分率是x，增長(zhǎng)(降低)一次，一般形式為a（1x）=b；增長(zhǎng)（降低）兩次，一般形式為a（1x）2=b；增長(zhǎng)（降低）n次，一般形式為a（1x）n=b,a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量．7．這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為【分析】根據(jù)等量關(guān)系：2019年投入教育經(jīng)費(fèi)×（1+x）2=2021年投入教育經(jīng)費(fèi)列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)2019年至2021年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得，解得：，或（不合題意舍去），答：這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．8．20【分析】設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，原來平均每天可售出20件，每件盈利40元，后來每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出應(yīng)降價(jià)多少元．【詳解】如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價(jià)1元，多售2件，設(shè)降價(jià)x元，則多售2x件；設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元，依題意得(40?x)(20+2x)=1200，整理得，解之得，因要減少庫(kù)存，故x=20.答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合實(shí)際列出相應(yīng)的一元二次方程.9．（1）捐款增長(zhǎng)率為10%.（2）第四天該單位能收到13310元捐款.【分析】（1）根據(jù)“第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次降價(jià)的百分率）2=第三天收到捐款錢數(shù)”，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可.（2）第三天收到捐款錢數(shù)×（1+每次降價(jià)的百分率）=第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可.【詳解】（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得：，解得x1=0.1，x2=－1.9（不合題意，舍去）.答：捐款增長(zhǎng)率為10%.（2）12100×（1+10%）=13310元.答：第四天該單位能收到13310元捐款.10．（1）①y=16-2x②≤x<8（2）5米【分析】（1）由籬笆總長(zhǎng)16米，可得y與x的函數(shù)關(guān)系；（2）由x＞0，y＞0及y≤9可得x的取值范圍；（3）由矩形菜園的面積為30平方米，可列方程求得AB的長(zhǎng).【詳解】(1)①y=16-2x;②≤x<8;(2)由題意,AB·BC=x(16-2x)=30,解得:x1=5,x2=3x2=3不在(1)中x的取值范圍內(nèi),故舍去.答:此時(shí)邊AB的長(zhǎng)為5米.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，注意根據(jù)已知條件列出方程及求出x的范圍.11．（1）BC=32-2x（2）能（3）不能【詳解】試題分析：（1）由AB+BC+CD=32，AB=CD=x，即可得BC；（2）根據(jù)矩形的面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式列出一元二次方程，由判別式△<0即可得結(jié)果.試題解析：（1）BC=32-2x（2）能由題知：x(32-2x)=120化簡(jiǎn)整理得（x-6）(x-10)=0解得：x1=6，x2=10經(jīng)檢驗(yàn)x1=6，x2=10都是原方程的解但x1=6不符合題意,舍去答：能建成面積為120㎡倉(cāng)庫(kù)，此時(shí)長(zhǎng)為12米，寬為10米．（3）不能由題知：x(32-2x)=160化簡(jiǎn)整理得：此時(shí)此方程無解所以不能建造成面積為160㎡的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)．點(diǎn)睛：本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程并會(huì)判別方程根的情況是解題的關(guān)鍵.12．(1)AB＝3，BC＝4;(2)t＝4;(3)t為10秒或9.5秒或秒時(shí)，△CDP是等腰三角形.【詳解】試題分析：（1）解一元二次方程即可求得邊長(zhǎng)；（2）結(jié)合圖形，利用勾股定理求解即可；（3）根據(jù)題意，分為：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三種情況分別可求解.試題解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0

∴＝3或＝4.則AB＝3，BC＝4(2)由題意得∴，(舍去)則t＝4時(shí)，AP＝.(3)存在點(diǎn)P，使△CDP是等腰三角形.①當(dāng)PC＝PD＝3時(shí)，t＝＝10(秒).②當(dāng)PD＝PC(即P為對(duì)角線AC中點(diǎn))時(shí)，AB＝3，BC＝4.∴AC＝＝5，CP1＝AC＝2.5

∴t＝＝9.5(秒)③當(dāng)PD＝CD＝3時(shí)，作DQ⊥AC于Q.DQ=12∴PC＝2PQ＝∴t=3+4+可知當(dāng)t為10秒或9.5秒或秒時(shí)，△CDP是等腰三角形.13．(1)y=－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x為整數(shù));(2)每件55元或56元時(shí)，最大月利潤(rùn)為2400元;(3)見解析.【詳解】試題分析：（1）由銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件,得（0＜x≤15且x為整數(shù)）；（2）把進(jìn)行配方即可求出最大值，即最大利潤(rùn).（3）當(dāng)時(shí)，，解得：,．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)售價(jià)定為每件51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元．試題解析：（1）（且為整數(shù)）；（2）．∵a=-10＜0，∴當(dāng)x=5.5時(shí),y有最大值2402.5．∵0＜x≤15且x為整數(shù)，∴當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55，y=2400（元），當(dāng)x=6時(shí)，50+6=56，y=2400（元）∴當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元．（3）當(dāng)時(shí)，，解得：,．∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)售價(jià)定為每件51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元．∴當(dāng)售價(jià)不低于51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元．∴當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元（或當(dāng)售價(jià)分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元）．考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的應(yīng)用；2.一元二次方程的應(yīng)用.14．①5元；②7.5元，6125元【詳解】：（1）設(shè)市場(chǎng)某天銷售這種水果盈利了6000元，同時(shí)顧客又得到了實(shí)惠時(shí)，每千克這種水果漲了x元，由題意得（10+x）（500-20x）=6000，整理，得x2-15x+50=0，解得x1=5，x2