2022屆甘肅省甘谷縣高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.半正多面體（se,"iregHwsRid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正

多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

上攬圖左總用

?

81620

A.-B.4C.—D.—

333

2.函數(shù)y='-ln(x+l)的圖象大致為()

c.aD.|V

a\x<1

3.已知實(shí)數(shù)a>0,aHl,函數(shù)/(x)=,24在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

XH----F6?InX,X>1

X

A.\<a<2B.a<5C.3<a<5D.2<a<5

4.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的。加相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用，WP的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計(jì)使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);

②可以估計(jì)不足10%的大學(xué)生使用。印主要玩游戲；

③可以估計(jì)使用物主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的5

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

5.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊AB,的中點(diǎn)，連接。E并延長到點(diǎn)尸，使得

DE=2EF,則赤?覺的值為（)

115]_

A.—B.-D.

8448

6.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位:萬人次）的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

人入境游客（萬人次）

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

12811.73一

I2013年2014年.2015年2I01詐2I017年I201彈

A.2014年我國入境游客萬人次最少

B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢

C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次

D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差

7.如果/7<a<0,那么下列不等式成立的是（）

b

A.log?網(wǎng)<log21al出

c.b3>a3D.ab<b2

8.已知集合A={0,1,2,3},B={x|-2<x<2},則AD8等于()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}c.{-2,-1,0,1,2,3}D.{1,2}

2

9.函數(shù)/(x)=2“一'-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

.371（59I（715f1531

［1?五

A，匕標(biāo)］B.［（句C.

11.拋物線-的焦點(diǎn)-是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)-是曲線-，二的交點(diǎn)，點(diǎn)-在拋

口2：三-之=」（0<口</）-~

物線的準(zhǔn)線上，二二二二是以點(diǎn)二為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線二.的離心率為（）

'7+1B.2c+3c-2x10-3D-2x10+3

12.已知AAHC的垂心為4,且AB=6,BC=8,M是AC的中點(diǎn)，則加.恁=（）

A.14B.12C.10D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/（x）=cosx-4在［0,+oo）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

14.已知函數(shù)/（x）=In3」為奇函數(shù)，則。=____.

\-ax

22

15.已知平行于x軸的直線/與雙曲線C：W-方=1（。>0*>0）的兩條漸近線分別交于P,。兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，若AOPQ為等邊三角形，則雙曲線。的離心率為.

16.在四面體ABCD中，48=。。=d,4。=8。=取,/1。=3。=5,瓦尸分別是4。,8。的中點(diǎn).則下述結(jié)

論：

①四面體ABCD的體積為20；

24

②異面直線AC,BD所成角的正弦值為—；

25

③四面體ABC。外接球的表面積為50〃；

④若用一個(gè)與直線所垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面1去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多

邊形截面面積最大值為6.

其中正確的有.（填寫所有正確結(jié)論的編號）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在長方體ABC?！狝gGA中，A6=2BC=2AA=4,E為4。的中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)，

---1----

“為線段C2上一點(diǎn)，且滿足MG=-0G，/為的中點(diǎn).

4

（1）求證：E尸〃平面4。。；

（2）求二面角N-AC-尸的余弦值.

18.（12分）已知橢圓。:與+丁=1的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線/：》=2被稱作為橢圓C的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在橢圓C上（異于

橢圓左、右頂點(diǎn)），過點(diǎn)P作直線〃z：y=Ax+f與橢圓C相切，且與直線/相交于點(diǎn)Q.

(1)求證：PF1QF.

（2）若點(diǎn)P在x軸的上方，當(dāng)△PQ尸的面積最小時(shí)，求直線〃?的斜率%.

附：多項(xiàng)式因式分解公式：t6-3t4-5r-1=(r+1)(/4-4/2-1)

19.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

(1)設(shè)拋擲4次的得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)當(dāng)游戲得分為〃(〃eN*)時(shí)，游戲停止，記得〃分的概率和為=；.

①求Q;

②當(dāng)〃GN*時(shí)，記A,=Q+i+gQ“，紇=2用一Q,證明：數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=aln(l+x),g(x)=_x3_ox,h^x)=ex

(1)當(dāng)於0時(shí)，f(x)<h(x)恒成立，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)xVO時(shí)，研究函數(shù)尸(x)=h(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)求證：n也<隨〈迎獨(dú)(參考數(shù)據(jù)：加1.1之0.0953).

10002699

21.(12分)如圖，在直三棱柱中ABC—AAG，D、E、F、G分別是8C,B?,A4,,CC；中點(diǎn)，且AB=AC=2&，

BC=AA,=4.

(1)求證：3CJ_平面ADE；

(2)求點(diǎn)D到平面EFG的距離.

22.(10分)如圖，NBCO=90,8C=8=1,45J_平面88,乙4。6=60,后/分別是AC,AO上的動點(diǎn)，且

AE_AF

~AC~~AD

Il

(1)若平面BEF與平面BCO的交線為/,求證：EF//h

(2)當(dāng)平面BEE,平面ACD時(shí)，求平面班?與8c。平面所成的二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長，可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中

點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，可求出其體積.

【詳解】

如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長為頂，它是由

棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，

.-.該幾何體的體積為V=2x2x2-8xLLxlxlxl=",

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，幾何體的體積，對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到，屬于中檔題.

2.A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算x=l時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

x>0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,-l<x<0時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時(shí)，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除，可通過

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).

3.D

【解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當(dāng)尤<1,/(用=優(yōu)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)

x>l,f(x)=x2+-+a\nx,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得/'(X)=2X—3+3NO,在口,~)上恒成立，變形

XXX

可得a22②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得a?1+4③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)，4在R上單調(diào)遞增，

XH----FInX,X>1

X

當(dāng)x<l,"r)=",若/(x)為增函數(shù)，貝兒>1①，

4

當(dāng)X2l"(x)=廠9H----FaInX,

X

若/(x)為增函數(shù)，必有/(X)=2X-4+-20在工”)上恒成立，

XX

4o

變形可得：a>——2x2,

X

/、4c4o4

又由xNl,可得g(x)=――2/在11,y)上單調(diào)遞減，則二一2/4一一2=2,

XX1

若-2/在|1,一)上恒成立，則有aN2②，

X

若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，

則需有aWl+4=5,③

聯(lián)立①②③可得：2?a?5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

4.C

【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用。印主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用

主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用勾不主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用勾不主要聽音樂的人數(shù)為5380,使用勾斗主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

Q1

使用年P(guān)主要玩游戲的人數(shù)為8130,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為56290,——?0.14,故超過10%的大學(xué)生使用。加主

56290

要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；

使用。印主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為1654(),因?yàn)楹谒寓壅_.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

設(shè)麗=1，BC=b＞作為一個(gè)基底，表示向量詼他_力，麗瓦=2心小，

22'，24、,

AF=AD+DF=~a+^-(b-a\=~a+^-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、'44

【詳解】

設(shè)8A=a，BC=B,

所以詼=工衣而=3瓦=3年_￡),AF=AD+DF=--a+^(b-a]=-^a+^b,

22、)24、)24、)44

_____53i

所以存屈=—二￡%+二石石=上.

448

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】

A.由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；

B.由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；

C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為13340.13與13604.33的平均數(shù)，大于13340萬次，故正確；

D.由統(tǒng)計(jì)圖可知：前3年的入境游客萬人次相比于后3年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對

應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.

7.D

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.

【詳解】

b<a<0,log2網(wǎng)>log,|a|,(g)>,川</,必<〃.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

???A={0,1,2,3},8={劃一2張k2),

二噌8={0，1，2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

2

顯然函數(shù)〃x）=2*-1一4在區(qū)間（1,2）內(nèi)連續(xù)，由/（X）的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則"1）/⑵<（）,即可求解.

【詳解】

2

由題，顯然函數(shù)“X）=2v---?在區(qū)間（1,2）內(nèi)連續(xù)，因?yàn)?（x）的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，所以“1）/（2）<0,即

（2-2-a）（4-1-a）<0,解得0<a<3,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時(shí)，退出循環(huán)，輸出〃.

【詳解】

1113

第一次循環(huán)：S=-,n=2第二次循環(huán)：S=-+-T=4，H=3

2t2224;

第三次循環(huán)：S=g+攝+/=（〃=4；第四次循環(huán)：5=；+*+*+2=||,〃=5；

715

此時(shí)滿足輸出結(jié)果，故

816

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時(shí)，可以一步一步的書寫，防止錯(cuò)誤，是一道容易題.

11.A

【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心

率.

【詳解】

由題意知，拋物線焦點(diǎn)二（上0）,準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)二（_上0）,雙曲線半焦距二=1,設(shè)點(diǎn)二（_上二1二二二二是以點(diǎn)二為直角

頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即二二|=|二二|，結(jié)合二點(diǎn)在拋物線上，

所以二二一拋物線的準(zhǔn)線，從而二二±二軸，所以二。；二），

即二=y[2-l.

故雙曲線的離心率為

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.A

【解析】

由垂心的性質(zhì)，得至I麗.衣=0，可轉(zhuǎn)化加?恁=麗?/，又瓦認(rèn)恁=；（麗+而）?（肥-麗）即得解.

【詳解】

因?yàn)椤盀锳ABC的垂心，所以8”_LAC,

所以麗:?衣=0,而麗7=屜+而7，

所以〃麻?恁=（〃月+8而）?元=8”?恁，

因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，

所以麗?前=—（麗+反?（配—麗）

2

1--2--21

=_(BC-BA)=-(64-36)=14.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線），=（：00乂）'=4（%6[0,+8））交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)

y=cosx,y=?（xe[0,+8））的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

問題函數(shù)/(x)=cosx-4在[0,+8)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線.丫=85%4=五(xe[0,+8))交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)y=cosx,y=&(xe[O,+s))的圖象，如下圖所示：

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

14.-1

【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出/(-力=-/(力，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)”的值.

【詳解】

由于函數(shù)F(x)=ln二為奇函數(shù)，則〃T)=—/(x),即In=L—ln；=lnE，

\-ax1+ar\-axx-1

一x—11—nx

A-——二-整理得—解得]=±1.

\+axx-l

x—1

當(dāng)。=1時(shí)，真數(shù)=：-=-1,不合乎題意；

1-X

X-]X-1

當(dāng)。=一1時(shí)，〃x)=ln-解不等式一->0,解得％<-1或x>l,此時(shí)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?/p>

(F,—1)U(1,M),定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，合乎題意.

綜上所述，47=-1.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了函數(shù)奇偶性的定義和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

15.2

【解析】

根據(jù)AOPQ為等邊三角形建立4力的關(guān)系式，從而可求離心率.

【詳解】

b

據(jù)題設(shè)分析知，NPOQ=60。，所以一=tan60。，得6=氐，

a

所以雙曲線C的離心率e==必、3/=2.

aaa

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立a/,c之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

養(yǎng).

16.①@④.

【解析】

補(bǔ)圖成長方體，在長方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計(jì)

算截面面積的最值.

【詳解】

根據(jù)四面體特征，可以補(bǔ)圖成長方體設(shè)其邊長為a/,c,

c2+b2=41

<c~+a2=34,解得a=3,b=4,c=5

〃+/=25

補(bǔ)成長，寬，高分別為3,4,5的長方體，在長方體中：

①四面體A3CD的體積為V=3x4x5-4x1x3x4x5=20,故正確

3

②異面直線AC,3。所成角的正弦值等價(jià)于邊長為5,3的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為故錯(cuò);

③四面體ABC。外接球就是長方體的外接球，半徑R=±1三1=叵，其表面積為50%,故正確；

22

④由于E/_La,故截面為平行四邊形MNKL,可得KL+KN=5,

24

設(shè)異面直線8C與所成的角為。，^\sin0=sin/HFAsin/LKN,算得si〃0=—,

25

,SH=NK.KL?sin/NKL/乩+儂)x—=6.故正確?

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的

處理方法，補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補(bǔ)圖方法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)一獨(dú)0

35

【解析】

(1)解法一：作。。的中點(diǎn)H,連接E4，F(xiàn)H.利用三角形的中位線證得利用梯形中位線證得四〃CD,

由此證得平面4。?！ㄆ矫妗?"，進(jìn)而證得砂〃平面4。。.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線EE的方

向向量和平面4。。的法向量垂直，證得所〃平面ADC.

(2)利用平面4CN和平面AFC法向量，計(jì)算出二面角N-4。-F的余弦值.

【詳解】

(D法一：作。的中點(diǎn)“，連接￡“，EH.又E為的中點(diǎn)，為A4QA的中位線，E/〃/4。，又

產(chǎn)為MC的中點(diǎn)，F(xiàn)H為梯形。。CM的中位線，F(xiàn)H〃C￡>,在平面4。。中，\D[\CD=D,在平面

中，EHCFH=H，；?平面AQC〃平面EHF，又EFu平面EHF，；?EF”平面AQC.

另解：(法二)?.?在長方體中，DA,DC,OR兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z如

圖所示,

則力(0,0,0),4(2,0,0),3(2,4,0),

C(0,4,0),D,(0,0,2),A(2,0,2),

4(2,4,2),￡(0,4,2),￡(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),

(1)設(shè)平面4。。的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

沅?4。=0J(乂y,z)?(-2,0,-2)=0x+z=0

=><

沅?A。=0(x,y,z)?(-2,4,-2)=0x-2y+z=0

=(1,0,-1),又所二11,|?，-1],

令x=l,則z=-l,y=0./.m

vEFm=0^^_1_肩，又平面4。。，EF〃平面

(2)設(shè)平面ACN的一個(gè)法向量為]=(%，乂，4),

J萬?^77=0](七，%，4)?(一1,4,-2)=0fx-4y+2z=0

力?AC=0[(X],y],zJ?(-2,4,-2)=0[x-2y+z=0

令y=l,則z=2,x=0.A/?=(0,1,2).

同理可算得平面\FC的一個(gè)法向量為鬲=(3,2,1)

/-----\ni-n2>/70

?/°sg〃”聃

又由圖可知二面角N-AJF的平面角為一個(gè)鈍角,

故二面角。—AC-N的余弦值為一獨(dú)e.

35

【點(diǎn)睛】

本小題考查線面的位置關(guān)系，空間向量與線面角，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解

能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

18.(1)證明見解析(2)-

【解析】

2

X_2-

-2=0令△=()可得『=2左2+1，進(jìn)而得到p(一竺同理

(1)由，2一得（2Z2+l）d+43+2產(chǎn)

y=kx+t

Q(2,2k+t),利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算方.成即可;

（2）S?QF=-+2k-—,分左20,k<0兩種情況討論即可.

2It

【詳解】

(1)證明:點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0).

7

X2_1

聯(lián)立方程T+-V=,消去y后整理為（2公+1）》2+4依+2/-2=0

y=kx-^t

有△=16左2/一4（2公+1）（2產(chǎn)-2）=0,可得產(chǎn)=2爐+1，x=-^—=-^=-^-

2k2tt1

-2公+12^+1t

可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為［一華

當(dāng)x=2時(shí)，可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2攵+/),

2k+tn一

FP丁一FQ=（\,2k+t）.

有麗屈=-^^+^^=（）,

故有PFLQF.

(2)若點(diǎn)P在x軸上方，因?yàn)槎?2爐+1，所以有

由（1）知I而|=產(chǎn);）2+":產(chǎn)：?2+1=J（2中2+1）_J（2k+f）2+1

1=

2k+]4公+4k+產(chǎn)+1(2/-2)+4上+7+1

S.PQF=\\FP\-\FQ^-^

F―2t~

3t2+4kt-13t~1

----------=—+2k——

2t22t

2

①因?yàn)閆NO時(shí).由(1)知人=河TV

由函數(shù)/⑺=y+網(wǎng)2T-l(r>l)單調(diào)遞增，可得此時(shí)S&PQF>/(I)=1.

②當(dāng)k<0時(shí)，由(1)知女

令g(r)=弓_j2(*_i)_,rNi),g'(f)=m_&[+53r+1近t

zvztzy廣—izz節(jié)-―G-i

(3r2+lY_("Y_(3尸+1)-_2t^__(3/+]*_])_&產(chǎn)_/6-3(4一5/2一1

I2rJ-J-4t47^1-4r4(t2-l)-4t4(t2-l)

,2+1)(/_今2_])(/2+])[/_(2+右)][*_(2—^/5)J

故當(dāng)/>也+小時(shí)，

4t4(t2-l)―4r4(/2-l)

g'(t)>0,此時(shí)函數(shù)g?)單調(diào)遞增：當(dāng)1±<也+石時(shí),g'(t)<0,此時(shí)函數(shù)g")單

調(diào)遞減，又由g(D=l,故函數(shù)g(f)的最小值g()2+石)<1，函數(shù)g?)取最小值時(shí)

V5+1

2kz+1=2+5可求得A

x/5+l

由①②知，若點(diǎn)P在x軸上方，當(dāng)APQF的面積最小時(shí)，直線，”的斜率為—

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道難題.

3

19.(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為6；(2)①一；②證明見解析

4

【解析】

(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得。2；②得“分分兩

種情況，第一種為得〃-2分后拋擲一次正面向上，第二種為得n-1分后拋擲一次反面向上，可知當(dāng)〃》3且〃eN*時(shí),

2.=32一+^2-2，結(jié)合A=2川，可推出Am=Qm加=Q,用+；2,=4，從而可證明數(shù)列｛A,｝

為常數(shù)列；結(jié)合紇=Q,“-?！埃赏瞥黾v1=2,+2-。向=一?2+「2.)=-：紇，進(jìn)而可證明數(shù)列｛4｝為等比

數(shù)列.

【詳解】

(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8.

每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為,，反面向上的概率也為,，

22

則尸(X=4)=d)4=',尸(X=5)=C：X(34=［尸(x=6)=C：xd)4=q,

216242o

P(X=7)=C：x(g)4=；,P(X=8)=C：x(；)4=\.

所以變量X的分布列為：

X45678

12_3]_1

P

1648416

故變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4x—+5xl+6x-+7xl+8x—=6.

1648416

(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為Q2=g+(；)2=1.

②得〃分分兩種情況，第一種為得“-2分后拋擲一次正面向上，第二種為得〃-1分后拋擲一次反面向上，

故〃23且〃eN*時(shí)，有Q,,=；2i+gQ,L2，

則〃eN*時(shí)，Q+2=；2，+i+JQ'

所以A,+i=0“+2+；Qn+i=JQ“+i+：Q+；Q“+i=Q?+i+；2,=4，

故數(shù)列｛4｝為常數(shù)列；

又紇+i=Q+2-2用=；Q+i+~Qn~Q+i=一：Q+i+JQ=一J(2出一Q")=一;紇，

g=Q_Q=；_g=；,所以數(shù)列｛紇｝為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證

能力，屬于中檔題.

20.(1)(—8』］；(2)見解析；(3)見解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),求得導(dǎo)數(shù),討論a>l和agl,判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由恒成

立思想可得a的范圍；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F(x)的單調(diào)性，討論吐-1,a

>-1,F(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)由(1)知，當(dāng)a=l時(shí)，ex>l+ln(x+1)對x>0恒成立，令x=^；由(2)

知，當(dāng)a=-l時(shí)，e'>；r+x+i對xvo恒成立，令》=-*，結(jié)合條件，即可得證.

【詳解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

則H'(x)=ex一-r(x^0)，

x+1

①若aS,則號-<14F，H'(x)>0,H(x)在［0,+oo)遞增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在［0,+oo)恒成立,滿足，所以agl；

②若a>LHf(x)=ex-—+oo)遞增，H*(x)>HT(0)=1-a,且1-aVO,

且x—+8時(shí)，H*(x)T+CO,貝歸XO￡(0,+oo),

使(xo)=0進(jìn)而H(x)在［0,xo)遞減,在(xo,—)遞增，

所以當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)H(x)<H(0)=0,

即當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)，f(x)>h(x),不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為(-8,1］.

(II)解：依題意得F(x)=h(x)-g(x)二巳"-1々^3+2乂&<0),則F(x)=ex-x2+a,

o

貝！JF"(x)=e、-2x>0在(-oo,0)上恒成立，故F(x)=e，-x2+a在(-8,0)遞增，

所以F，(x)<F*(0)=l+a,且x--oo時(shí)，F(xiàn)*(x)—>-oo；

①若1+aWO,即aW-1,則P(x)<Ff(0)=l+a<0,

故F(x)在(-8,0)遞減，所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(-oo,0)無零點(diǎn)；

②若l+a>0,即a>-L則mxjE(“0,0)使F'(x。')=0，

進(jìn)而F(x)在(—，xj)遞減，在(xj,0)遞增，F(xiàn)(xJ)<F(0)=0,

且XT-8時(shí)'F(x)=(eXT)^"x(x"-3a)f+8,

F(x)在(YO,x0’)上有一個(gè)零點(diǎn)，在［x(/,0)無零點(diǎn)，

故F(x)在(-8,0)有一個(gè)零點(diǎn).

綜合①②，當(dāng)aS-1時(shí)無零點(diǎn)；當(dāng)a>-l時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).

(HI)證明：由(I)知，當(dāng)a=l時(shí)，ex>l+ln(x+1)對x>0恒成立，

1_1_

鵬:1095即聽,曄

令則el°>l+lnl.1%1.°處3不好"e1000

由(II)知，當(dāng)a=-l時(shí)，eX>：x3+x+l對x<0恒成立,

T則3號七看I爵所以生勰

109510/—3000

故有〃<2699

1000

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能

力，屬于難題.對于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化;

在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些.

21.(1)詳見解析；(2)生8.

3

【解析】

(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;

(2)取。E中點(diǎn)為〃，則FH/^AD，證得FH，平面BCC.B,，利用等體積法VD_EFC=VF_DEG求解即可.

【詳解】

(1)因?yàn)锳B=AC=2夜，BC=4,

:.AB±AC,Q。是8c的中點(diǎn)，：.AD±BC,

?.?ABC—4AG為直三棱柱，所以平面A8C,

因?yàn)镈E為BC,中點(diǎn),所以。E//A4,

.,.?！阓1_平面48。，..?！?，8。，又ADcDE=D,

.?.BC_L平面ADE

(2),.?AB=AC=2后,BC=4,

又E,EG分別是8G，M，CG中點(diǎn)，

:.EF=FG=EG=2&

由(1)知AD_LBC,BB}LAD,

又BB[CBC=B