第五講多目標(biāo)規(guī)劃模型

第五講多目標(biāo)規(guī)劃模型第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多,有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾,這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題.但由于客觀實(shí)際的需要,多目標(biāo)決策問題越來越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說,其基本途徑是,把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題.其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題,然后利用單目標(biāo)模型的方法,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解,以此作為多目標(biāo)問題的解.化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類,一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.下面,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日f1f212345678§10.1多目標(biāo)決策問題的特征在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量X，使目標(biāo)函數(shù)f(X)取得最大（或最?。?duì)于任意兩方案所對(duì)應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目標(biāo)f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)下共有8個(gè)解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，因?yàn)樗鼈冊(cè)趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因?yàn)檫@些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。一、解的特點(diǎn)第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日二、模型結(jié)構(gòu)多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要小；目標(biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日1、多目標(biāo)規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)為決策變量如對(duì)于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對(duì)最優(yōu)解：若對(duì)于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日2、多目標(biāo)優(yōu)選問題的模型結(jié)構(gòu)可用效用函數(shù)來表示。設(shè)方案的效用是目標(biāo)屬性的函數(shù)：并設(shè)且各個(gè)方案的效用函數(shù)分別為則多目標(biāo)優(yōu)選模型的結(jié)構(gòu)可表示如下：第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日§10.2多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解1、主要目標(biāo)法在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定f1(X)為主要目標(biāo)，其余p-1個(gè)為非主要目標(biāo)。這時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題1某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對(duì)資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤(rùn)和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤(rùn)和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？甲乙資源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產(chǎn)品的價(jià)格400600單位產(chǎn)品的利潤(rùn)70120單位產(chǎn)品的污染32第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日解：?jiǎn)栴}的多目標(biāo)模型如下對(duì)于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤(rùn)最大為主要目標(biāo)。另兩個(gè)目標(biāo)則通過預(yù)測(cè)預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000個(gè)單位，而污染控制在90個(gè)單位以下，即由主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)問題用單純形法求得其最優(yōu)解為第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)則分別給fi賦予相同的權(quán)系數(shù)ωi，作線性加權(quán)和評(píng)價(jià)函數(shù)則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日例如，某公司計(jì)劃購進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有如下4種類型：A1，A2，A3，A4?，F(xiàn)考慮6個(gè)方案屬性：維修期限f1，每100升汽油所跑的里數(shù)f2，最大載重噸數(shù)f3，價(jià)格（萬元）f4，可靠性f5，靈敏性f6。這4種型號(hào)的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先對(duì)不同度量單位和不同數(shù)量級(jí)的指標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。先將定性指標(biāo)定量化：第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日效益型指標(biāo)很低低一般高很高13579很高高一般低很低成本型指標(biāo)可靠性和靈敏性都屬于效益型指標(biāo)，其打分如下可靠性一般低高很高5379靈敏性高一般很高一般7595按以下公式作無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理其中：第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日變換后的指標(biāo)值矩陣為：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001設(shè)權(quán)系數(shù)向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則故最優(yōu)方案為選購A3型卡車第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日3、分層序列法：1.基本步驟：把(VP)中的p個(gè)目標(biāo)按其重要程度排序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2.過程：無妨設(shè)其次序?yàn)橄惹蠼獾米顑?yōu)值，記再解得最優(yōu)值，依次進(jìn)行，直到得最優(yōu)值則是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日3.性質(zhì)：，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè)，但，則必存在使即至少有一個(gè)j0

，使,由于，即，矛盾。得證。4.進(jìn)一步討論：上述方法過程中，當(dāng)某個(gè)問題(Pj)的解唯一時(shí)，則問題的求解無意義，因?yàn)榻舛际俏ㄒ坏?。?shí)際求解時(shí)，有較寬容意義下的分層序列法：取為預(yù)先給定的寬容值，整個(gè)解法同原方法類似，只是取各約束集合時(shí)，分別取為：第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日4、步驟法（STEM法）這是一種交互方法，其求解過程通過分析者與決策者之間的對(duì)話逐步進(jìn)行，故稱步驟法。步驟法的基本思想是，首先需要求出原多目標(biāo)問題的一組理想解(f1*,f2*,…,fp*)。實(shí)際上，這些解fi*(i=1,2,…,p)無法同時(shí)達(dá)到，但可以當(dāng)作一組理想的最優(yōu)值。以理想解作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，可以估計(jì)有效解，然后通過對(duì)話，不斷修改目標(biāo)值，并把降低要求的目標(biāo)作為新的約束條件加入原來的約束條件中去重新計(jì)算，直到?jīng)Q策者得到滿意的解。

步驟法算法如下：第一步：分別求解以下p個(gè)單目標(biāo)問題的最優(yōu)解第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日得到最優(yōu)解，其相應(yīng)的目標(biāo)值即為理想值，此最優(yōu)解處別的目標(biāo)所取的值用表示，即，把上述計(jì)算結(jié)果列入下表第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日在表中，確定每一列的最小值并記第i列的最小值為fip(i=1,2,…,p)第二步：求解其中：這里（1）第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日第三步：將上述模型（1）的解X0與相應(yīng)的目標(biāo)值f1(X0),f2(X0),…,fp(X0)交給決策者去判斷。決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，如果認(rèn)為其中某些目標(biāo)值太壞，另一些目標(biāo)值可以不要那么太好，可以把比較好的目標(biāo)值中的某一個(gè)修改得差一些，以使水平太壞的目標(biāo)得到改善。當(dāng)決策者減少了第j個(gè)目標(biāo)的值之后，約束條件S應(yīng)該改為S*在進(jìn)行下一次迭代時(shí)，對(duì)應(yīng)于降低了要求的那些目標(biāo)fj(j=1,2,…,k)的權(quán)系數(shù)πi應(yīng)該設(shè)為0。這種迭代繼續(xù)下去，直到?jīng)Q策者滿意為止。第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題：某公司考慮生產(chǎn)兩種光電太陽能電池：產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙。這種生產(chǎn)過程會(huì)在空氣中引起放射性污染。因此，公司經(jīng)理有兩個(gè)目標(biāo)：極大化利潤(rùn)與極小化總的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元。而放射性污染的數(shù)量，每單位甲產(chǎn)品是1.5個(gè)單位,每單位乙產(chǎn)品是1個(gè)單位.由于機(jī)器能力(小時(shí))、裝配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是目標(biāo)有兩個(gè):一是利潤(rùn)最大,二是污染最小.該問題的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下:第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日解:首先,分別求解兩個(gè)單目標(biāo)問題的最優(yōu)解,由它們得到的目標(biāo)函數(shù)值組成理想解.第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日由此,構(gòu)造支付表Xf1*f2*(7,13)(0,0)460-23.50由此計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)與理想值偏離的權(quán)重解下列線性規(guī)劃問題:第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日由此求得,分析者把計(jì)算結(jié)果交給決策者,決策者將目標(biāo)值與理想值(21.192,-7.064)與理想值(46,0)比較,如果認(rèn)為f2是滿意的,但利潤(rùn)太低,并認(rèn)為污染可接受到10個(gè)單位.于是,約束集修改成進(jìn)行下一輪迭代.首先設(shè)π2=0,并計(jì)算得π1=1.將模型修改為第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日由此求得:決策者把這一結(jié)果與前一輪的解及理想值作比較,認(rèn)為兩個(gè)目標(biāo)值都比較滿意,則迭代結(jié)束.第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日目標(biāo)規(guī)劃模型線性規(guī)劃問題都是處理單個(gè)目標(biāo)的情況，但是在現(xiàn)實(shí)世界中有許多問題具有多個(gè)目標(biāo)，這些目標(biāo)的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標(biāo)相互依賴，例如決策者既希望實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大，又希望實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值最大；有的相互抵觸，如決策者既希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。這就是目標(biāo)規(guī)劃所要解決的問題。當(dāng)所有的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性時(shí)，我們稱其為線性目標(biāo)規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標(biāo)規(guī)劃問題。一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立

第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日引例1：對(duì)于生產(chǎn)計(jì)劃問題：

甲乙資源限額材料2324工時(shí)3226單位利潤(rùn)43

現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場(chǎng)等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：（1）根據(jù)市場(chǎng)信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢(shì)，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢(shì)，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用工時(shí)，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計(jì)劃利潤(rùn)30元?，F(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計(jì)劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實(shí)現(xiàn)？第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日解：（1）決策變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2

偏差變量：對(duì)于每一目標(biāo)，我們引進(jìn)正、負(fù)偏差變量。如對(duì)于目標(biāo)1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對(duì)于目標(biāo)1，可將它表示為等式約束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目標(biāo)約束)

同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于可利用工時(shí)和高于可利用工時(shí)，即加班工時(shí)的偏差變量，則對(duì)目標(biāo)2，有3x1+2x2+d2--d2+=26

對(duì)于目標(biāo)3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于計(jì)劃利潤(rùn)30元和高于計(jì)劃利潤(rùn)30元的偏差變量，有：第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日4x1+3x2+d3--d3+=30

（2）約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束資源約束：2x1+3x2≤24

目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束（3）目標(biāo)函數(shù)：三個(gè)目標(biāo)依次為：

minZ1=d1-

，minZ2=d2++d2-

，minZ3=d3-

因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日

案例2（提級(jí)加新問題）某公司的員工工資有四級(jí)，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準(zhǔn)備招收部分新員工，并將部分員工的工資提升一級(jí)。該公司的員工工資及提級(jí)前后的編制表如下，其中提級(jí)后編制是計(jì)劃編制，允許有變化，其中1級(jí)員工中有8%要退休。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標(biāo)如下：（1）提級(jí)后在職員工的工資總額不超過550千元；（2）各級(jí)員工不要超過定編人數(shù)；（3）為調(diào)動(dòng)積極性，各級(jí)員工的升級(jí)面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%；（4）總提級(jí)面不大于20%，但盡可能多提；（5）4級(jí)不足編制人數(shù)可錄用新工人。第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標(biāo)？級(jí)別1234工資（千元）8643現(xiàn)有員工數(shù)10204030編制員工數(shù)10225230解：（1）決策變量：設(shè)x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級(jí)和新錄用的員工數(shù)。偏差變量：為各目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。（2）約束條件：1）

提級(jí)后在職員工的工資總額不超過550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1--d1+=550

第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日

2）各級(jí)員工不要超過定編人數(shù)1級(jí)有：10-108%+x1+d2--d2+=102級(jí)有：20-x1+x2+d3--d3+=223級(jí)有：40-x2+x3+d4--d4+=524級(jí)有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各級(jí)員工的升級(jí)面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%對(duì)2級(jí)有：x1+d6--d6+=2218%對(duì)3級(jí)有：x2+d7--d7+=4018%

對(duì)4級(jí)有：x3+d8--d8+=3018%

4）總提級(jí)面人數(shù)不大于20%，但盡可能多提

x1+x2+x3+d9--d9+=10020%第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日（3）目標(biāo)函數(shù)：minZ1=d1+minZ2=d2++d3++d4++d5+minZ3=d6-+d7-+d8-minZ4=d9++d9-案例3有三個(gè)產(chǎn)地向四個(gè)銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地Ai(i=1,2,3)的供應(yīng)量ai、銷地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各產(chǎn)銷地之間的單位物資運(yùn)費(fèi)Cij如表2所示。表中，ai和bj的單位為噸，Cij的單位為元/噸。編制調(diào)運(yùn)方案時(shí)要求按照相應(yīng)的優(yōu)先級(jí)依次考慮下列七個(gè)目標(biāo)：P1：B4是重點(diǎn)保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；P2：A3向B1提供的物資不少于100噸；P3：每個(gè)銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的80%；第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日P4：實(shí)際的總運(yùn)費(fèi)不超過當(dāng)不考慮P1至P6各目標(biāo)時(shí)的最小總運(yùn)費(fèi)的110%，這里的最小總費(fèi)用利用第三大題中第2小題求出的結(jié)果；P5：因路況原因，盡量避免安排A2的物資運(yùn)往B4；P6：對(duì)B1和B3的供應(yīng)率要盡可能相同；P7：力求使總運(yùn)費(fèi)最省。試建立該問題的運(yùn)籌學(xué)模型。CijBjAiB1B2B3B4aiA15267300A23546200A34523400bj200100450250解：用表上作業(yè)法可求得不考慮P1至P6各目標(biāo)時(shí)的最小運(yùn)費(fèi)調(diào)運(yùn)方案，相應(yīng)的最小運(yùn)費(fèi)為2950元第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）決策變量：設(shè)Ai運(yùn)往Bj的物資為xij噸（2）約束條件：產(chǎn)量約束B4銷量要滿足銷量80%的限制供應(yīng)率盡可能相同第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日二、目標(biāo)規(guī)劃的解法由于目標(biāo)規(guī)劃有多個(gè)目標(biāo)，各個(gè)目標(biāo)又有相對(duì)不同的重要性，求解時(shí)是首先滿足重要性權(quán)數(shù)大的目標(biāo)，再滿足重要性權(quán)數(shù)次大的目標(biāo)，所以并不能保證所有的目標(biāo)都能達(dá)到，所求的解也不一定是最優(yōu)解，而只能求出滿意解。（3）目標(biāo)函數(shù)第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日

求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純形法不同的是，此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)行不再是一行，而是變化為一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)矩陣。

例4

用單純形法求解如下線性目標(biāo)規(guī)劃模型

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24加入松馳變量化為標(biāo)準(zhǔn)形

2x1+3x2+x3=24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=30解（1）取x3，d1-，d2-，d3-為基變量，建立初始單純形表第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日-1-2-1123-13402630Z1Z2Z3000-100-100-10000010010010010003[1]232-1342402630x3d1-d2-d3-d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB迭代的步驟完全與線性規(guī)劃的單純形法一樣。（2）滿意解的判定：檢驗(yàn)數(shù)矩陣的每一列從上至下第一個(gè)非零元為負(fù)數(shù)，則解為滿意解。迭代的最優(yōu)表如下：第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日-2-1-1-11-1020Z1Z2Z3100000-106/5-2/5-13/5-10000010-6/52/51-3/57/51/5-11/50100000118/524/5224/5d3+x2d2-x1d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB因而滿意解為：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5其中第一、三目標(biāo)已達(dá)到最優(yōu)，第二個(gè)目標(biāo)未達(dá)最優(yōu)。目標(biāo)利潤(rùn)Z=4x1+3x2=168/5第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日層次分析法一、層次分析法的基本原理層次分析法，又稱AHP(AnalyticHirrarchyProcess)方法，是美國運(yùn)籌學(xué)家薩蒂(T.Saaty)提出的一種多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的決策分析方法。該方法被廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、政治、外交等領(lǐng)域，解決了諸如系統(tǒng)評(píng)價(jià)、資源分配、價(jià)格預(yù)測(cè)、項(xiàng)目選擇等許多重要問題，是一種定量分析與定性分析相結(jié)合的有效方法。用層次分析法作決策分析，首先要把問題層次化。根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互影響以及隸屬關(guān)系按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型。最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層（如決策方案）相對(duì)于最高層（總目標(biāo)）的相對(duì)重要性權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排序問題，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。41第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日

層次分析法大體分為六個(gè)步驟1）明確問題：為了運(yùn)用AHP進(jìn)行系統(tǒng)分析，首先要對(duì)問題有明確的認(rèn)識(shí)，弄清問題范圍、所包含的因素及其相互關(guān)系、解決問題的目的、是否具有AHP所描述的特征。2）建立層次結(jié)構(gòu)模型：將問題中所包含的因素劃分為不同層次。例如，對(duì)于決策問題，通?？梢詣澐譃橄旅鎺讉€(gè)層次：最高層：表示解決問題的目的，稱為目標(biāo)層。中間層：表示采取某種措施或政策實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)的涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、準(zhǔn)則層等。最低層：表示解決問題的措施或方案，稱為措施層或方案層。如下圖所示。第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日決策目標(biāo)準(zhǔn)則1準(zhǔn)則1準(zhǔn)則m子準(zhǔn)則1子準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則k方案1方案2方案n目標(biāo)層準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層方案層………………第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日3）構(gòu)造判斷矩陣針對(duì)上一層某元素，對(duì)每一層次各個(gè)元素的相對(duì)重要性進(jìn)行兩兩比較，并給出判斷。這些判斷用數(shù)值表示出來，寫成矩陣形式，即所謂的判斷矩陣。其中bij表示對(duì)于Ak而言，Bi對(duì)Bj的相對(duì)重要性，通常bij取1,2,…,9及它們的倒數(shù)，其含義為：第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日1表示Bi與Bj相比，兩者重要性相同3表示Bi比Bj稍重要5表示Bi比Bj重要7表示Bi比Bj強(qiáng)烈重要9表示Bi比Bj極端重要它們之間的數(shù)2，4，6，8及各數(shù)的倒數(shù)有相應(yīng)的類似意義。顯然，對(duì)判斷矩陣有因此，對(duì)于n階判斷矩陣，我們僅需對(duì)n(n-1)/2個(gè)元素給出數(shù)值。第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日4）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)所謂層次單排序，即把同一層次相應(yīng)元素對(duì)于上一層次某元素相對(duì)重要性的排序權(quán)值求出來。其方法是計(jì)算判斷矩陣A的滿足等式的最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量W，這個(gè)特征向量就是單排序權(quán)值?？梢宰C明，對(duì)于n階判斷矩陣，其最大特征根為單根，且，所對(duì)應(yīng)的特征向量均由正數(shù)組成。特別地，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，有，這里，所謂完全一致性是指對(duì)于判斷矩陣來說，存在第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日為檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，需要計(jì)算一致性指標(biāo)此外，還需要判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對(duì)于1至9階矩陣，RI的值如下表。階數(shù)123456789RI0.000.000.850.901.121.241.321.411.45在這里，對(duì)于1,2階判斷矩陣，RI只是形式上的，因?yàn)?，2階判斷矩陣總具有完全一致性，當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱謂隨機(jī)一致性比率，記為CR，CR=CI/RI<0.10時(shí)，即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日5）層次總排序計(jì)算同一層次所有元素對(duì)于最高層相對(duì)重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。若上一層次A包含m個(gè)元素A1,A2,…,Am，其層次總排序權(quán)值分別為a1,a2,…,am，下一層次B包含n個(gè)元素B1,B2,…Bn，它們對(duì)于元素Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,b2j,…,bnj（當(dāng)Bk與Aj無關(guān)系時(shí),bkj=0），此時(shí)，層次總排序權(quán)值為層次B層次總排序權(quán)重第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日6）層次總排序的一致性檢驗(yàn)。這一步也是從高到低逐層進(jìn)行的。如果B層次某些元素對(duì)于Aj單排序的一致性指標(biāo)為CIj，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RIj，則B層次總排序隨機(jī)一致性比率為類似地，當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日10.5層次分析法的計(jì)算問題層次分析法計(jì)算的根本問題是如何計(jì)算判斷矩陣的最大特征根其對(duì)應(yīng)的特征向量.一般來說,計(jì)算判斷矩陣最大特征根及其對(duì)應(yīng)特征向量,并不需要追求較高的精確定度.這是因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧硐喈?dāng)?shù)恼`差范圍.應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種元素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達(dá)某種定性的概念.因此,從實(shí)用性來看,往往希望使用較為簡(jiǎn)單的近似算法.下面介紹二種稱之為方根法和和積法的近似算法.1、方根法的步驟如下:(1)計(jì)算判斷矩陣B每一行元素的乘積Mi.第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日(2)計(jì)算Mi的n次方根Vi(3)對(duì)向量V=(V1,V2,…,Vn)T規(guī)一化,即則W=(W1,W2,…,Wn)T.即為所求的特征向量(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根式中(BW)i表示向量BW的第i個(gè)分量.第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日容易證明：當(dāng)正互反矩陣為一致性矩陣時(shí)，方根法可得到精確的最大特征值與相應(yīng)的特征向量。證明：設(shè)為一致性矩陣，為其最大特征值，為相應(yīng)的特征向量，且是歸一化的。由于令顯然，歸一化后，于是用公式求得的最大特征值為n第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題6某廠準(zhǔn)備購買一臺(tái)計(jì)算機(jī),希望功能強(qiáng),價(jià)格低,維護(hù)容易.現(xiàn)有A,B,C三種機(jī)型可供選擇.其中A的性能較好,價(jià)格一般,維護(hù)需要一般水平;B的性能最好,價(jià)格較貴,維護(hù)也只需一般水平;C的性能差,但價(jià)格便宜,容易維護(hù).首先構(gòu)成分析層次,如圖購置一臺(tái)滿意的計(jì)算機(jī)功能強(qiáng)價(jià)格低易維護(hù)CBA第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日對(duì)于三個(gè)準(zhǔn)則(S1,S2,S3)關(guān)于目標(biāo)G的優(yōu)先順序,根據(jù)討論,該廠在計(jì)算機(jī)應(yīng)用上首先要求功能強(qiáng),其次要求易維護(hù),再次才是價(jià)格低.其判斷矩陣如下表GS1S2S3S1153S21/511/3S31/331用方根法計(jì)算這三個(gè)準(zhǔn)則關(guān)于目標(biāo)的排序權(quán)值如下:第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日一致性檢驗(yàn)結(jié)果為:同樣,三個(gè)方案對(duì)于各個(gè)準(zhǔn)則的判斷矩陣以及運(yùn)算所得的結(jié)果分別見表S1ABCWA11/420.1818B4180.7272C1/21/810.0910對(duì)準(zhǔn)則S1(功能強(qiáng))來說:對(duì)準(zhǔn)則S2(價(jià)格低)來說:第五十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日S2ABCWA141/30.2559B1/411/80.0733C3810.6708對(duì)準(zhǔn)則S3(易維護(hù))來說:S3ABCWA111/30.1851B111/50.1562C3510.6587第五十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日層次總排序的結(jié)果:S3ABC總排序權(quán)值0.6370.1050.258A0.18180.25590.18150.1904B0.72720.07330.15620.5112C0.09100.67080.65870.2984從以上結(jié)果可知,B型計(jì)算機(jī)從綜合評(píng)價(jià)來看是最滿意的備選機(jī)型.第五十七頁，共六十二頁，2