2019-2021北京重點(diǎn)校高二（上）期中數(shù)學(xué)匯編：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

12/122019-2021北京重點(diǎn)校高二（上）期中數(shù)學(xué)匯編橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2021·北京八中高二期中）設(shè)是曲線上的點(diǎn)，，，則必有（

）A． B．C． D．2．（2021·北京八中高二期中）已知點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若△的面積為，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·匯文中學(xué)高二期中）已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，的周長為8，且直線，的斜率之積為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．（2021·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2021·北京一七一中高二期中）關(guān)于橢圓：，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：的焦距為6；?。旱慕裹c(diǎn)在軸上.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（2021·北京一七一中高二期中）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．7．（2021·北京·北師大二附中高二期中）過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．8．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知橢圓的焦點(diǎn)為，．過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．若的周長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．9．（2019·北京市第十三中學(xué)高二期中）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．二、雙空題10．（2020·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為______；最小值為_______．三、填空題11．（2021·北京四中高二期中）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)______．12．（2021·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則________.13．（2021·北京八十中高二期中）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B是圓心為C的圓（x﹣1）2+y2=16上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BC與點(diǎn)M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為______．14．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）設(shè)為橢圓：的左焦點(diǎn)，為橢圓上給定一點(diǎn)，以為直徑作圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值為________.15．（2019·北京·北師大二附中高二期中）橢圓的焦距為2，則__________．四、解答題16．（2021·北京·北師大二附中高二期中）已知橢圓：的離心率為，焦距為.直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，先用表示，然后求其最大值.17．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知以為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓方程.（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，線段的垂直平分線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.

參考答案1．A【解析】先將曲線方程化簡，可知其圖形在橢圓的內(nèi)部，且其頂點(diǎn)為，由橢圓的定義結(jié)合圖形，即可得到結(jié)果.【詳解】曲線，化為，它表示頂點(diǎn)分別為的菱形，以，為焦點(diǎn)，長軸長為10，短軸長為6的橢圓方程，在直角坐標(biāo)系中，作出曲線和橢圓的圖形，如下圖所示：由圖形以及橢圓的定義可知：若在橢圓上，又在曲線上時(shí)，即時(shí)，；若在橢圓內(nèi)部，又在曲線上時(shí)，則，綜上，.故選：A.2．C【解析】根據(jù)橢圓方程求出，設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用三角形面積公式求出m，進(jìn)而求出n的值，即可得出結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，則短軸，設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由的面積為6，得，解得，將代入橢圓方程，得，所以符合題意的點(diǎn)P為或，共4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P.故選：C3．C【解析】由△的周長為8，可得，解得．設(shè)，，可得，由于直線，的斜率之積為，可得，代入化簡可得．即可得出．【詳解】解：△的周長為8，，解得．設(shè)，，則，直線，的斜率之積為，，，化為，可得．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故選：C4．B【解析】由題意，且焦點(diǎn)在軸上，再由的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，且焦點(diǎn)在軸上，所以，故選：B5．A【解析】利用題中的條件，假設(shè)甲乙都對(duì)，根據(jù)邏輯關(guān)系可以推出矛盾，進(jìn)而可以確定選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)甲乙為真命題時(shí)，橢圓方程為，橢圓的焦距為：，且焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個(gè)是假命題．當(dāng)乙，丙和丁是真命題時(shí)，，，，此時(shí)橢圓方程為：，符合題意，故甲是假命題．故選：．6．D【解析】由面積最大得的位置，從而可求出三角形的三條邊，通過，即可求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】解析：因?yàn)闄E圓為，所以a=5，b=3，；當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，點(diǎn)M在橢圓C的短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形面積的兩種求法，得關(guān)于內(nèi)切圓半徑的方程，從而求出半徑.7．C【解析】將與橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓的方程設(shè)為，再將點(diǎn)代入，求得的值，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入，可得，解得（舍去），故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求與已知橢圓方程有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到；根據(jù)橢圓定義，由題中條件求出，得出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，，所以；又過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長為，則根據(jù)橢圓定義可得，，解得，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的方程，熟記橢圓的定義即可，屬于?？碱}型.9．D【解析】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故離心率e＝選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10．4，1【解析】主要考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系．解：由已知a=2,b=1，2c=2，在三角形中，由余弦定理得，即，所以=,從而=時(shí)，的最大值為4，=1時(shí)，的最小值為1．11．##【解析】由條件可得，橢圓的方程化為，然后即可求出答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓上，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，由可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立所以故答案為：12．【解析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得、的值，計(jì)算可得的值，由橢圓的定義可得的值，在△中，通過，，，由勾股定理分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，點(diǎn)在橢圓上，若，則，在△中，，，，則，則有，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意由橢圓的定義分析得到的值，是中檔題．13．=1．【解析】試題分析：利用橢圓的定義判斷點(diǎn)M的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．解：由題意得，圓心C（1，0），半徑等于4，連接MA，則|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故點(diǎn)M的軌跡是：以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴橢圓的方程為=1．故答案為=1．考點(diǎn)：軌跡方程．14．【解析】設(shè)，因?yàn)闉闄E圓：的左焦點(diǎn)，記起右焦點(diǎn)為，則，，記的中點(diǎn)為，得到為圓的圓心，圓的半徑為，再由圓的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉闄E圓：的左焦點(diǎn)，記起右焦點(diǎn)為，則，記的中點(diǎn)為，由題意可得，為圓的圓心，圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離最值時(shí)，一般先計(jì)算定點(diǎn)到圓心的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)，得到定點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)距離的最大值為，定點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)距離的最小值為（其中為圓的半徑）.15．3或5【解析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點(diǎn)在軸上以及焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故答案為：3或5．16．（1）；（2）；最大值為.【解析】（1）根據(jù)離心率以及焦距長，結(jié)合，解方程組，求得，則問題得解；（2）根據(jù)直線與橢圓相交，聯(lián)立方程組求得范圍；再利用弦長公式，即可用表示弦長，且求得其最大值.【詳解】（1）由題意得解得，.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，.由得，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，故可得，解得，又，.所以.故當(dāng)，即直線過原點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，以及弦長公式的應(yīng)用，涉及由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.17．(1)；(2)【解析】（1）設(shè)出橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓上的一點(diǎn)坐標(biāo)，列方程求解即可；（2）先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可求得.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為：，因?yàn)槠浣裹c(diǎn)為，則；

①又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程：

②結(jié)合：

③，由①②③可解得：，故橢圓方程為：.（2）由題意，作圖如下：由（1