中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)相似和全等中的動點問題新人教版

相像和全等中的動點問題1.如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，AECF，連結(jié)AF，BE訂交于點P．(1)求證:AFBE，并求APB的度數(shù)；(2)若AE2，求AP·AF的值；當點E從點A運動到點C時，求點P經(jīng)過的路徑長．分析:(1)∵VABC是等邊三角形，∴ABAC，BACC60又AECF，∴VABE≌VCAF∴AFBE，ABECAF∴APEABEBAFCAFBAFBAC60∴APB180APE18060120(2)∵APE60，∴APEC又PAECAF，∴VAPE∽VACF∴APAE，∴AP·AFAC·AE6212ACAF(3)∵APB120，∴點P的運動路徑是一段圓弧，該圓弧所對的圓心角為120設(shè)圓心為O，連結(jié)OA、OB，作OHAB于則AH1AB3，AOH1AOB6022∴OAAH23sin602312043∴當點E從點A運動到點C時，點P經(jīng)過的路徑長為:18032.已知矩形

ABCD的一條邊

AD

8，將矩形

ABCD折疊，使極點

B落在CD邊上的

P點處．(1)如圖

1，已知折痕與邊

BC交于點

O

，連結(jié)

AP、OP、OA．①求證

:VOCP∽VPDA；②若

VOCP與VPDA的面積比為

1:4，求邊

AB的長；(2)若圖

1中的點

P恰巧是

CD邊的中點，求

OAB的度數(shù)；(3)如圖2，在(1)的條件下，擦去折痕OA、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上(點M與點P、A不重合)，動點N在線段AB的延伸線上，且BNPM，連結(jié)MN交PB于點F，作MEBP于點E．試問當點M、N在挪動過程中，線段EF的長度能否發(fā)生變化？若變化，說明原因；若不變，求出線段EF的長度．分析:(1)①∵四邊形ABCD是矩形，∴CD90∴APDDAP90∵VAOP是由VABO沿AO折疊，∴APOB90∴APD

CPO

90∴DAP

CPO，∴VOCP∽VPDA②∵VOCP∽VPDA，VOCP與VPDA的面積比為1:4SVOCP(CP)21，∴CP1SVPDAAD4AD2AD8，∴CP4設(shè)ABx即APx，則DPx4在RtVPDA中，AP2AD2DP2∴x282x4210，∴x即邊AB的長為10(2)∵折疊后VAOB與VAOP重合，∴APAB，OABOAP∵ABCD，∴APCD∵P是CD的中點，∴DP1AP2∵D90，∴PAD30又OABOAP，OABOAP90PAD60OAB30線段EF的長度不變作MHPBN交PB于點H∵APAB，∴APBABP∴MHPABP，MHFNBF∴MHPAPB，∴MPMH∵MPBN，∴BNMH∵NFBMFH，∴VNBF≌VMHF∴FHFB∵EFEHFH，∴EFEP1FBPB2由(1)得:AB10，AD8，∴DP6∴PC4，∴PB45，∴EF25P為正方形ABCD的邊CD上隨意一點，BEAP于EF為AP上一點，AEEF，連結(jié)BF、3.如圖1，，CF．(1)求證:BFBC；(2)如圖2，CBF的均分線交AP延伸線于點Q，連結(jié)DQ，則:BQDQ______AQ；若正方形的邊長為2．①當點P挪動時，點Q到CD的最大距離為__________；②當點P為CD的三均分點時，求CF的長．分析:(1)∵BEAF，AEEF，∴AEBBEF90,AEEF,BEBEVABE≌VBEFABBFABBCBFBC(2)連結(jié)BD交AP于G，作DHAQ于H∵BEAF，ABBF，BEBE∴VABE≌VFBE，∴1EBF∵23，1EBF2390∴EBF245，即EBQ45∴BQ2EQ，BQG45ADG又AGDBGQ，∴VAGD∽VBGQAGDGAGBDGQ∴，又BGQG∴VABG∽VDQG，∴DQGABG45∴DQ2DH∵1590，4590∴14又AEBDHA90，ABADVABE≌VDAH，∴AEDHDQ2AE∴BQDQ2EQ2AE2(AEEQ)2AQ即BQDQ2AQ(3)①21提示:取BD的中點O，連結(jié)OQ∵BQEDQE45，∴BQD90∴OQ1BD2AB222∴當點P挪動時，點Q的路徑是以O(shè)為圓心，以2為半徑的一段圓弧易知當點Q是?Q到CD的距離最大CD的中點時，點最大距離為21②作FM

CD于

M

，BN

CF

于N∵BF

BC

，∴CN

1CF2若DP1DC2，則APAD2DP2210333AEDP易證VABE∽VPAD，∴ABAPAE2103∴2，∴AE25103210210210410∴AF2AE5，PFAPAF3515FMPF由VPFM∽VPAD得:ADPAFM410415即210，∴FM253易證VBCN∽VCFM，∴

BCCNCFFM21CF452即4，∴CF5CF5若PC1DC2，同理可求CF2263313∴當點P為CD的三均分點時，45226CF的長為或5134.在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以同樣的速度在直線DC，CB上挪動．(1)如圖①，當點E自D向C，點F自C向B挪動時，連結(jié)AE和DF交于點P，請你寫出AE和DF的數(shù)量關(guān)系和地點關(guān)系，并說明原因；(2)如圖②，當E，F(xiàn)分別挪動到邊DC，CB的延伸線上時，連結(jié)AE和DF，(1)中的結(jié)論還建立嗎？(請你直接回答“建立”或“不建立”，不須證明)(3)如圖③，當E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延伸線上挪動時，連結(jié)AE和DF，(1)中的結(jié)論還建立嗎？請說明原因；(4)如圖④，當E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上挪動時，連結(jié)AE和DF交于點P．因為點E，F(xiàn)的挪動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD2，試求出線段CP的最小值．分析:(1)AE

DF

，AE

DF原因:∵四邊形

ABCD是正方形，∴

AD

DC

，

ADC

C90∵DECF∴AEDF∵CDF

，∴VADE≌VDCF．，DAECDFADF90，∴DAE

ADF

90AEDF建立建立原因:

∵四邊形

ABCD是正方形，∴

AD

DC

，

ADE

DCF

90∵DE∴AE延伸FD

CF，∴VADE≌VDCFDF，DAECDF交AE于點G，則CDF

．

ADG

90∴ADG

DAE

90AEDF草圖如圖因為點P在運動中保持APD90∴點P的路徑是一段以AD為直徑的弧設(shè)AD的中點為O，連結(jié)OC交弧于點P，此時CP的長度最小在RtVODC中，OCCD2OD222125∴CPOCOP515.如圖1，矩形ABCD中，AB4，AD3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連結(jié)DE．(1)求證:VDEC≌VEDA；(2)求DF的值；(3)如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作VAEC的內(nèi)接矩形，使其定點Q落在線段AE上，定點M、N落在線段AC上，當線段PE的長為什么值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．分析:(1)證明:由矩形的性質(zhì)可知VADC≌VCEA，∴ADCE，DCEA，ACDCAE，在VADE與VCED中ADCEDEEDDCEAVDEC≌VEDA（SSS）；(2)解:如圖1，∵ACDCAE，AFCF，設(shè)DF

x，則

AF

CF

4﹣x，在RtVADF

中，

AD2

DF

2

AF

2

，即32

x2

(4

x)2

，7解得；x，87即DF．8解:如圖2，由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CAPEPQCECA又∵CE3，ACAB2BC25設(shè)PEx(0＜x＜3)，則xPQ，即PQ5x353過E作EGAC于G，則PNPEG，CPPNCEEG又∵在RtVAEC中，EGAC12AECE，解得EG53xPN4(3x)∴5設(shè)矩形PQMN的面積為S則SPQPN4x24x4(x3)23(0＜x＜3)332因此當x33PQMN的面積最大，最大面積為3．，即PE時，矩形226.如圖，在梯形

ABCD中，

ADPBC，AB

DC

5，AD

6，BC

12，點

P從點

A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿

AD邊向點

D運動，同時點

Q從點

C出發(fā)，以每秒

3個單位的速度沿

CB邊向點

B運動，當其中一點抵達終點時運動停止，設(shè)運動時間為

t秒．當t為什么值時，四邊形PQCD是平行四邊形；PQ能否能均分對角線BD？若能，求出相應(yīng)的t的值；若不可以，請說明原因；若VPQD是等腰三角形，求t的值．分析：(1)若四邊形PQCD是平行四邊形，則PDCQ∴6t3t3，∴t2(2)能，當t3時，PQ均分對角線BD假定PQ均分對角線BD，設(shè)PQ與BD的交點為O，則OBOD∵ADPBC，∴PDOQBO又∵PODQOB，∴VPOD≌VQOB∴PDQB，即6t123tt3∴當t3時，PQ均分對角線BD(3)過D作DHBC于H∵梯形ABCD中，ABDC5，AD6，BC12∴CH3，DH4若PQDQ:過Q作QMAD于M，DM6tPM2∵QMAD，DHBC，∴QMPDH又∵ADPBC，∴四邊形MQHD為矩形∴HQDM，即3t6t32∴t127∵0t4，12＜4，∴t12切合題意77若PQPD:過P作PNBC于N，則PN4，PQ6t，QN123t3t94t在RtVPNQ中，PN2QN2PQ2，∴42(94t)2(6t)2整理得:15t260t6106024156160(6061)＜0∴方程無解若PDDQ過D作DRBC于R，則DR4，RC3假定點Q在點R的右邊，則0t＜14＜DQ5＜PD6PDDQ此時，，∴∴點Q在點R的左邊，∴QR3t3在RtVDQR中，QR2DR2DQ2∴(3t3)242(6t)2整理得:8t26t110解得:t397(舍去)或t38978∵0t4，3897＜4，∴t397切合題意8綜上所述，若VPQD是等腰三角形，則t12397或t877.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米(a＞3)．動點MN同時從B點出發(fā)，分別沿BA，，BC運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N抵達終點C時，點M也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)若a4厘米，t1秒，則PM________厘米；(2)若a5厘米，求時間t，使VPNB∽VPAD，并求出它們的相像比；若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；能否存在這樣的矩形:在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明原因．3分析：(1)4當t1時，BM1，BN1，AM413PMPBN，∴VAMP∽VABNPMAM，即PM3BNAB143∴PM4(2)當D、P、B三點在同向來線上時，有VPNB∽VPAD，∴ADAPBNPNAMAP∵PMPBN，∴BMPNADAM35t∴BM，即tBNt解得t10(舍去)，t22∴t2，使VPNB∽VPAD，相像比為2:3(3)∵VAMP∽VABN，∴PMAMBNAB即PMat，∴PMt(at)taa∴PQ3t(at)a(PM＋BN)BM(PQ＋AD)DQ當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等時，有22(t)][()]()[ta＋tt3－tat＋taa3a即226a解得ta6∵t3，∴6aa6a3，∴，又由已知a6＞3＜a6(4)∵3＜a6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則PQCNPMBNt(at)t(at)()∴33t3tt，∴aaa把t6a代入，整理得a212a6∴a23(舍去)或a23∴a23因此，存在這樣的矩形，當a23時，在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等8.如圖，在直角梯形ABCD中，ADPBC，C90，BC16，DC12，AD21．動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t(秒)．設(shè)VBPQ·的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；當t為什么值時，以B，P，Q三點為極點的三角形是等腰三角形？當線段PQ與線段AB訂交于點O，且2AOOB時，求BQP的正切值；(4)存在時刻t，使得PQBD，求出t的值；分析:(1)如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形，∴PMDC12∵BQ16t，∴S1(16t)12966t2(2)∵CMDP2t，CQt，∴MQt以B、P、Q三點為極點的三角形是等腰三角形，有三種狀況:①若PQBQ在RtVPMQ中，PQ2MQ2PM2，∴PQ2t2122由PQ2BQ2得:t2122(16t)2解得t

72②若BPBQ在RtVPMB中，BP2BM2PM2，∴BP2(162t)2122由BP2BQ2得:(162t)2122(16t)2整理得:3t232t1440(32)2431441621621216916(64108)＜0∴方程3t232t1440無解，∴BPBQ③若PBPQ由PB2PQ2得:(162t)2122t2122整理得:3t264t2560解得t11616(不合題意，舍去)，t23綜上所述:當t716B、P、Q三點為極點的三角形是等腰三角形秒或t秒時，以23(3)APAO1如圖2，由VOAP∽VOBQ，得BQOB2∵AP2t21，BQ16t，∴2(2t21)16t∴t

585過點

Q作QE

AD

，垂足為

E∵PD2t，EDQCt，∴PEtQE1230∴tanBQPtanQPEPEt29(4)假定存在時刻t，使得PQBD·如圖3，過點Q作QEAD，垂足為E∵PQEQPE90，DBCBQP90，QPEBQP∴PQEDBC，又∵PEQDCB90PEDC∴VQPE∽VBDC，∴EQBCt12，∴t9即1612因此，當t9秒時，PQBD9.題干:如圖，已知在RtVABC中，ABBC，ABC90，BOAC于點O，點P，D分別在AO和BC上，PBPD，PBPD于點E．求證:VBPO≌VPDE；(2)若BP均分ABO，其他條件不變，求證:APCD；(3)若點P是一個動點，當點P運動到OC的中點P時，知足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D，請直接寫出CD與AP的數(shù)目關(guān)系．分析:(1)證明:∵PBPD，∴PBDPDB∵ABBC，ABC90，∴C45∵BOAC于點O，∴OBC45∴OBCC45∵PBOPBDOBC，DPEPDBC∴PBODPE又∵

BO

AC，DE

AC，∴

BOP

PED

90∵PB

PD

，∴VBPO≌VPDE(2)由(1)可得PBODPE∵BP均分ABO，∴ABPPBO∴ABPDPE又∵AC，PBPD，∴VABP≌VCPDAPCD(3)CD與AP的數(shù)目關(guān)系是:CD2AP3分析過程以下:過點P作PFBC于點F設(shè)PFx，則PFx，ABBC4x，PC2x∴AP32x，BFFD3xCD2x∴CD2AP310.如圖，在梯形

ABCD中，ADPBC，AD

3，DC

5，AB

42，

B45

．動點

M

從B點出發(fā)沿線段

BC以每秒

2個單位長度的速度向終點

C運動；動點

N同時