2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測（四十二）圓錐曲線的綜合問題-最值、范圍、證明理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高考達(dá)標(biāo)檢測（四十二）圓錐曲線的綜合問題—-最值、范圍、證明1．設(shè)F是橢圓C：eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a>b〉0）的左焦點，直線l為其左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸,已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF｜.（1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2)若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A,B，求證：∠AFM＝∠BFN。解：(1)∵｜MN｜＝8,∴a＝4,又∵|PM｜＝2｜MF|，得eq\f(a2,c)－a＝2(a－c),整理得2e2－3e＋1＝0?e＝eq\f(1，2)或e＝1(舍去）．∴c＝2，b2＝a2－c2＝12，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，16)＋eq\f（y2，12）＝1。(2）證明：當(dāng)AB的斜率為0時,顯然∠AFM＝∠BFN＝0。滿足題意．當(dāng)AB的斜率不為0時，點P（－8，0)，F(xiàn)（－2,0），設(shè)A（x1,y1)，B（x2，y2),直線AB的方程為x＝my－8,代入橢圓方程整理得：(3m2＋4）y2－48my則Δ＝(48m）2－4×144（3my1＋y2＝eq\f（48m,3m2＋4),y1·y2＝eq\f（144，3m2＋4)?！鄈AF＋kBF＝eq\f(y1,x1＋2)＋eq\f(y2，x2＋2）＝eq\f（y1,my1－6）＋eq\f（y2，my2－6)＝eq\f(2my1y2－6y1＋y2,my1－6my2－6)＝eq\f(2m×\f（144，3m2＋4)－\f(6×48m，3m2＋4),my1－6my2－6）＝0，∴kAF＋kBF＝0，從而∠AFM＝∠BFN。綜上可知：恒有∠AFM＝∠BFN。2．（2017·大慶模擬）已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．（1)若eq\o(AF，\s\up7（→）)＝2eq\o(FB,\s\up7(→）)，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．解：(1)依題意知F（1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2－4my－4＝0。設(shè)A(x1，y1），B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m,y1y2＝－4.因為eq\o（AF,\s\up7(→)）＝2eq\o(FB,\s\up7(→)），所以y1＝－2y2.②聯(lián)立①和②,消去y1，y2，得m＝±eq\f(\r(2),4）。所以直線AB的斜率是±2eq\r（2）.(2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.因為2S△AOB＝2·eq\f（1，2)·|OF|·｜y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq\r（1＋m2)，所以當(dāng)m＝0時，四邊形OACB的面積最小,最小值是4。3．（2017·貴陽適應(yīng)性考試）已知橢圓C1：eq\f(x2,a2）＋y2＝1（a＞1)的長軸長、短軸長、焦距分別為｜A1A2｜，|B1B2|,|F1F2|,且｜F1F2｜2是|A1A2｜2與｜B1B2|2(1)求橢圓C1的方程；(2)若曲線C2的方程為（x－t）2＋y2＝（t2＋eq\r（3)t）2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0＜t≤\f（\r（2）,2）)），過橢圓C1左頂點的直線l與曲線C2相切,求直線l被橢圓C1截得的線段長的最小值．解：(1)由題意得|B1B2|＝2b＝2，｜A1A2|＝2｜F1F2|＝2c，a2－b2＝c又2×（2c）2＝（2a）2＋22，解得a2＝3，c2故橢圓C1的方程為eq\f（x2,3)＋y2＝1.(2）由(1)知,可取橢圓C1的左頂點為A1(－eq\r(3），0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋eq\r（3))．由直線l與曲線C2相切得eq\f(|kt＋\r(3）｜,\r（k2＋1）)＝(t＋eq\r(3)）t，整理得eq\f（｜k|,\r（k2＋1）)＝t.又0＜t≤eq\f(\r(2）,2），所以0＜eq\f（|k｜，\r(k2＋1)）≤eq\f（\r（2),2)，解得0＜k2≤1。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x2，3)＋y2＝1，,y＝kx＋\r(3）)）消去y，整理得(3k2＋1）x2＋6eq\r（3)k2x＋9k2－3＝0.直線l被橢圓C1截得的線段一端點為A1（－eq\r（3），0），設(shè)另一端點為B，解方程可得點B的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（－3\r（3)k2＋\r（3），3k2＋1），\f(2\r（3）k,3k2＋1））），所以|A1B｜＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(－3\r（3)k2＋\r（3),3k2＋1）＋\r（3)））2＋\f(12k2，3k2＋12））＝eq\f(2\r（3）\r(k2＋1）,3k2＋1）.令m＝eq\r（k2＋1)（1＜m≤eq\r(2))，則｜A1B|＝eq\f（2\r（3）m,3m2－1＋1）＝eq\f（2\r（3）,3m－\f(2,m））。由函數(shù)y＝3m－eq\f（2，m）的性質(zhì)知y＝3m－eq\f(2,m）在區(qū)間（1,eq\r（2）]上是增函數(shù),所以當(dāng)m＝eq\r(2）時，y＝3m－eq\f(2，m)取得最大值2eq\r(2）,從而｜A1B｜min＝eq\f（\r（6)，2）.4．（2017·沈陽質(zhì)量監(jiān)測）已知橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2｜＝6，直線y＝kx與橢圓交于A，B兩點．(1）若△AF1F2的周長為16,（2）若k＝eq\f(\r（2），4），且A，B，F(xiàn)1,F2四點共圓，求橢圓離心率e的值;（3）在（2）的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點，且直線PA的斜率k1∈（－2，－1）,試求直線PB的斜率k2的取值范圍．解:(1)由題意得c＝3，根據(jù)2a＋2c＝16，得結(jié)合a2＝b2＋c2,解得a2＝25，b2＝16.所以橢圓的方程為eq\f（x2，25）＋eq\f（y2，16)＝1。(2）法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（x2，a2）＋\f（y2,b2)＝1，，y＝\f（\r(2)，4)x，）)得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(b2＋\f（1,8)a2）)x2－a2b2＝0.設(shè)A（x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f（－a2b2，b2＋\f（1,8）a2),由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓易知,AF2⊥BF2，因為eq\o(F2A，\s\up7(→））＝(x1－3，y1),eq\o(F2B,\s\up7(→))＝（x2－3，y2），所以eq\o(F2A，\s\up7(→）)·eq\o(F2B,\s\up7(→））＝（x1－3）(x2－3）＋y1y2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，8）)）x1x2＋9＝0。即x1x2＝－8，所以有eq\f（－a2b2,b2＋\f（1，8）a2)＝－8,結(jié)合b2＋9＝a2，解得a2＝12（a2＝6舍去)，所以離心率e＝eq\f(\r(3),2）.(若設(shè)A（x1，y1），B（－x1，－y1）相應(yīng)給分）法二:設(shè)A(x1，y1），又AB,F1F2互相平分且共圓所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝9，又由橢圓及直線方程綜合可得：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x\o\al(2，1)＋y\o\al（2，1)＝9，，y1＝\f(\r（2),4)x1,,\f（x\o\al(2,1）,a2）＋\f（y\o\al（2，1)，b2）＝1.）)由前兩個方程解得xeq\o\al（2，1)＝8，yeq\o\al(2,1）＝1，將其代入第三個方程并結(jié)合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝eq\f（\r（3)，2）。(3）由(2)的結(jié)論知，橢圓方程為eq\f（x2，12）＋eq\f（y2，3)＝1，由題可設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1），k1＝eq\f（y0－y1,x0－x1)，k2＝eq\f(y0＋y1,x0＋x1），所以k1k2＝eq\f（y\o\al(2，0)－y\o\al（2,1）,x\o\al(2，0）－x\o\al（2，1))，又eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1）,x\o\al(2,0）－x\o\al(2,1）)＝eq\f(3\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(x\o\al(2，0）,12)））－3\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（x\o\al(2,1)，12）)）,x\o\al（2,0）－x\o\al(2,1）)＝－eq\f(1,4),