數(shù)學(xué)思想方法

專題復(fù)習(xí)專題一數(shù)學(xué)思想方法北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊中考復(fù)習(xí)平陰縣孝直中學(xué)賈傳福復(fù)習(xí)指導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法是揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略，是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁，是數(shù)學(xué)的精髓．在復(fù)習(xí)中一定要注重在解題中提煉數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)慣，達(dá)到觸類旁通的目的．中考常用到的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等．其中，轉(zhuǎn)化思想、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是中考中必考的思想．思維導(dǎo)圖整體分類討論轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合

函數(shù)/方程/不等式夯實(shí)基礎(chǔ)題型1整體思想1．

已知4a＋3b＝1，則整式8a＋6b－3的值為________．2．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是則關(guān)于a，b的二元一次方程組的解是__________．－1題型2分類討論思想3．

矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P

在BD的上，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE與△DBC相似，若△APD是等腰三角形，則PE的長為___________．夯實(shí)基礎(chǔ)分類討論思想就是當(dāng)一個(gè)問題用統(tǒng)一的方法不能繼續(xù)做下去的時(shí)候，需要對所研究的問題分成若干個(gè)情況分別進(jìn)行研究的思想方法。題型2分類討論思想4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝6cm，BC＝8cm．動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．問：若△BMN與△ABC

相似，求t的值；

夯實(shí)基礎(chǔ)題型2分類討論思想解：由題意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm．∴BN＝(8－2t)cm，BA＝＝10(cm)．當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，，∴，解得t＝．當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，∴，解得t＝．∴△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或．夯實(shí)基礎(chǔ)題型3轉(zhuǎn)化思想5．某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如下的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺CA的0刻度固定在半圓的圓心O處，刻度尺可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．從圖中所示的圖尺可讀出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．D夯實(shí)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化思想是說在解決實(shí)際問題時(shí)常常需要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目，通過特殊到一般，歸納出事物的規(guī)律，并能進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪阶冃?。題型3轉(zhuǎn)化思想6．

如圖所示，在某海域，一艘指揮船在C

處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號，經(jīng)確定，遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A，恰好位于B

處的正西方向．于是命令海監(jiān)船A前往搜救．已知海監(jiān)船

A的航行速度為30海里/小時(shí)，問漁船在B

處需要等待多長時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45．結(jié)果精確到0.1小時(shí))夯實(shí)基礎(chǔ)題型3轉(zhuǎn)化思想解：因?yàn)锳在B的正西方，延長AB交南北軸于點(diǎn)D，則AB⊥CD于點(diǎn)D，如圖所示．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝45°，∴CD＝BD＝BC·sin45°＝60×＝(海里)．∴在Rt△ADC中，

AD＝CD·tan60°＝(海里)．∴AB＝AD－BD＝

海里．∵海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時(shí)，∴答：漁船在B處需要等待1.0小時(shí)．夯實(shí)基礎(chǔ)題型4數(shù)形結(jié)合思想7．如圖，一次函數(shù)y＝－x－2與y＝2x＋m的圖象相交于點(diǎn)P(n，－4)，則關(guān)于x的不等式組的解集為______________．－2＜x＜2夯實(shí)基礎(chǔ)數(shù)形結(jié)合思想是說數(shù)的問題可以通過對圖形的分析來解決，形的問題也可通過對數(shù)的研究來思考。夯實(shí)基礎(chǔ)題型4數(shù)形結(jié)合思想8．

如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c

與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)

C，連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，連接OE，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點(diǎn)坐標(biāo)．夯實(shí)基礎(chǔ)題型4數(shù)形結(jié)合思想解：（1）將點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)代入y＝－x2＋

bx＋c，得解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．（2）C(0，3)，D(1，4)．夯實(shí)基礎(chǔ)題型4數(shù)形結(jié)合思想（3）由題意和（2），得AB＝OA＋OB＝1＋3＝4，OC＝3，拋物線的對稱軸為直線x＝1．設(shè)P(x，y)(x＞0，y＞0)．∵S△COE＝×1×3＝，

S△ABP＝×4y＝2y，S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×．∴y＝3．∴－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0(不合題意，舍去)，

x2＝2．∴P(2，3)．題型5方程思想9．

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)均參與某筑路工程，先由甲隊(duì)筑路60公里，再由乙隊(duì)完成剩下的筑路工程，已知乙隊(duì)筑路總公里數(shù)是甲隊(duì)筑路總公里數(shù)的倍，甲隊(duì)比乙隊(duì)多筑路20天．（1）求乙隊(duì)筑路的總公里數(shù)；（2）若甲、乙兩隊(duì)平均每天筑路公里數(shù)之比為5∶8，求乙隊(duì)平均每天筑路公里數(shù)．夯實(shí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)建模思想是說在具體的問題分析中，盡量通過觀察，抽象出主要的參量、參數(shù)與有關(guān)的定律、原理間建立起的某種關(guān)系。這樣，一個(gè)具體的實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為簡化明了的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。夯實(shí)基礎(chǔ)題型5方程思想解：（1）60×＝80(公里)．答：乙隊(duì)筑路的總公里數(shù)為80公里．（2）設(shè)乙隊(duì)平均每天筑路8x公里，則甲隊(duì)平均每天筑路5x公里．根據(jù)題意，得，解得x＝0.1．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝0.1是原方程的解．∴8x＝0.8．答：乙隊(duì)平均每天筑路0.8公里．題型5方程思想10．一個(gè)矩形周長為56厘米．（1）當(dāng)矩形面積為180平方厘米時(shí)，長、寬分別為多少？（2）能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由．解：（1）設(shè)矩形的長為x

厘米，則寬為(28－x)厘米．根據(jù)題意，得x(28－x)＝180，解得x1＝10(舍去)，x2＝18．∴28－x＝28－18＝10．答：長為18厘米，寬為10厘米．（2）不能．理由如下：設(shè)矩形的長為x厘米，則寬為(28－x)厘米．根據(jù)題意，得x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0．∴Δ＝(－28)2－4×200＝－16＜0，原方程無解．故不能圍成一個(gè)面積為200平方厘米的矩形．夯實(shí)基礎(chǔ)談?wù)勀愕氖斋@一、請閱讀下列解題過程．解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：設(shè)x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，則拋物線y＝x2－5x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和(5，0)．畫出二次函數(shù)y＝x2－5x的大致圖象(如圖所示)．學(xué)以致用由圖象可知：當(dāng)x＜0或x＞5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)y＞0，即x2－5x＞0，所以一元二次不等式x2－5x＞0的解為x＜0或x＞5.通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的()(只填序號)；①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想

(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解為()(3)用類似的方