江蘇省無錫市濱湖區(qū)太湖格致卓越教育聯(lián)盟 - 學(xué)年九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份） 含解析

太湖格致卓越教育聯(lián)盟2018-2019學(xué)年九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分）：1．下列說法中正確的是（）A．兩個平行四邊形一定相似 B．兩個菱形一定相似 C．兩個矩形一定相似 D．兩個等腰直角三角形一定相似2．如圖，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．BC2＝AB?BC C． D．4．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛．設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+4405．已知關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列說法正確的是（）A．當(dāng)k＝0時，方程無解 B．當(dāng)k＝1時，方程有一個實數(shù)解 C．當(dāng)k＝﹣1時，方程有兩個相等的實數(shù)解 D．當(dāng)k≠0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解6．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.287．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝158．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中與三角形①相似的是（）A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥9．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關(guān)系式是（）A．b＝a+c B．b＝ac C．b2＝a2+c2 D．b＝2a＝2c10．在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，點E、F分別為邊AB、BC上的兩個動點，E從點A出發(fā)以每秒5cm的速度向B運動，F(xiàn)從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向C運動，設(shè)運動時間為t秒．若∠AFD＝∠AED，則t的值為（）A． B．0.5 C． D．1二、仔細(xì)填一填（本大題共8小題，每空2分，共16分）：11．已知線段b是線段a、c的比例中項，且a＝2cm，b＝4cm，那么c＝cm．12．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨葹閙．13．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有人．14．對于實數(shù)a，b，定義運算“﹡”：a﹡b＝．例如4﹡2，因為4＞2，所以4﹡2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，則x1﹡x2＝．15．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝60cm，AB＝100cm，a、b、c…是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、O．則CP：AC＝．17．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2＝．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中O是原點，?OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別是（8，0），（3，4），點D，E把線段OB三等分，延長CD、CE分別交OA、AB于點F，G，連接FG．則下列結(jié)論：①F是OA的中點；②△OFD與△BEG相似；③四邊形DEGF的面積是；④OD＝其中正確的結(jié)論是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．三、精心做一做．（本大題共84分）19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣3x﹣2＝0（2）x2﹣2x+2＝0（3）3x（x﹣2）＝5（2﹣x）（4）x2﹣（2m+1）x+m2+m＝020．如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點．求證：△ABC∽△DEF．21．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，使AE＝CF，連接AF，BE相交于點P．（1）求證：AF＝BE，并求∠APB的度數(shù)；（2）若AE＝2，試求AP?AF的值．22．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？23．如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，AC＝2DF＝4．（1）判斷這兩個三角形是否相似并說明為什么？（2）能否分別過A，D在這兩個三角形中各作一條輔助線，使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應(yīng)相似？證明你的結(jié)論．24．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．25．如圖，已知△PAB的三個頂點落在格點上．（注：每個小正方形的邊長均為1）．（1）△PAB的面積為；（2）在圖①中，僅用直尺畫出一個以A為位似中心，與△PAB相似比為1：2的三角形；（3）在圖①中，畫一個以AB為邊且面積為6的格點三角形ABC，符合條件的點C共個；（4）在圖②中，只借助無刻度的直尺，在圖中畫出一個以AB為一邊且面積為12的矩形ABMN．26．如圖①，窗簾的褶皺是指按照窗戶的實際寬度將窗簾布料以一定比例加寬的做法，褶皺之后的窗簾更能彰顯其飄逸、靈動的效果．其中，窗寬度的1.5倍為平褶皺，窗寬度的2倍為波浪褶皺．如圖②，小莉房間的窗戶呈長方形，窗戶的寬度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某種窗簾的價格為120元/m2．如果以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元，求小莉房間窗戶的寬度與高度．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．（1）求線段CD的長；（2）當(dāng)t為何值時，△CPQ與△ABC相似？（3）是否存在某一時刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．28．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm．動線段DE（端點D從點B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當(dāng)端點E到達點C時運動停止．過點E作EF∥AC交AB于點F（當(dāng)點E與點C重合時，EF與CA重合），連接DF，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；（2）在這個運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列說法中正確的是（）A．兩個平行四邊形一定相似 B．兩個菱形一定相似 C．兩個矩形一定相似 D．兩個等腰直角三角形一定相似【分析】根據(jù)相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同進行分析即可．【解答】解：A、兩個平行四邊形一定相似，說法錯誤；B、兩個菱形一定相似，說法錯誤；C、兩個矩形一定相似，說法錯誤；D、兩個等腰直角三角形一定相似，說法正確；故選：D．2．如圖，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】本題主要掌握相似三角形的定義，根據(jù)已知條件判定相似的三角形．【解答】解：根據(jù)題意，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，可知B不正確，因為AE與EC不是對應(yīng)邊，所以B不成立．故選：B．3．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．BC2＝AB?BC C． D．【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC＝AC：BC，故A正確，不符合題意；AC2＝AB?BC，故B錯誤，，故C正確，不符合題意；≈0.618，故D正確，不符合題意．故選：B．4．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛．設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故選：A．5．已知關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列說法正確的是（）A．當(dāng)k＝0時，方程無解 B．當(dāng)k＝1時，方程有一個實數(shù)解 C．當(dāng)k＝﹣1時，方程有兩個相等的實數(shù)解 D．當(dāng)k≠0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解【分析】利用k的值，分別代入求出方程的根的情況即可．【解答】解：關(guān)于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，A、當(dāng)k＝0時，x﹣1＝0，則x＝1，故此選項錯誤；B、當(dāng)k＝1時，x2﹣1＝0方程有兩個實數(shù)解，故此選項錯誤；C、當(dāng)k＝﹣1時，﹣x2+2x﹣1＝0，則（x﹣1）2＝0，此時方程有兩個相等的實數(shù)解，故此選項正確；D、由C得此選項錯誤．故選：C．6．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)確定出代數(shù)式的值為0的x的取值范圍即可．【解答】解：由圖表可知，ax2+bx+c＝0時，3.24＜x＜3.25．故選：B．7．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15【分析】根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（4﹣0.5x）元，由題意得（x+3）（4﹣0.5x）＝15即可．【解答】解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得（3+x）（4﹣0.5x）＝15，故選：A．8．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中與三角形①相似的是（）A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥【分析】兩三角形三條邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，據(jù)此即可解答．【解答】解：設(shè)第個小正方形的邊長為1，則△ABC的各邊長分別為1、、．則②△BCD的各邊長分別為1、、2；③△BDE的各邊長分別為2、2、2（為△ABC對應(yīng)各邊長的2倍）；④△BFG的各邊長分別為5、、（為△ABC對應(yīng)各邊長的倍）；⑤△FGH的各邊長分別為2、、（為△ABC對應(yīng)各邊長的倍）；⑥△EFK的各邊長分別為3、、．根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到與三角形①相似的是③④⑤．故選：B．9．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關(guān)系式是（）A．b＝a+c B．b＝ac C．b2＝a2+c2 D．b＝2a＝2c【分析】因為Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a、b、c的三個正方形，所以圖中三角形都相似，且與a、b、c關(guān)系密切的是△DHE和△GQF，只要它們相似即可得出所求的結(jié)論．【解答】解：∵DH∥AB∥QF∴∠EDH＝∠A，∠GFQ＝∠B；又∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∠GFQ+∠FGQ＝90°；∴∠EDH＝∠FGQ，∠DEH＝∠GFQ；∴△DHE∽△GQF，∴＝∴＝∴ac＝（b﹣c）（b﹣a）∴b2＝ab+bc＝b（a+c），∴b＝a+c．故選：A．10．在矩形ABCD中，BC＝10cm、DC＝6cm，點E、F分別為邊AB、BC上的兩個動點，E從點A出發(fā)以每秒5cm的速度向B運動，F(xiàn)從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向C運動，設(shè)運動時間為t秒．若∠AFD＝∠AED，則t的值為（）A． B．0.5 C． D．1【分析】根據(jù)題意知AE＝5t、BF＝3t，由＝＝且∠DAE＝∠ABF＝90°證△ADE∽△BAF得∠2＝∠3，結(jié)合∠3＝∠4、∠1＝∠2得∠1＝∠4，即可知DF＝DA，從而得62+（10﹣3t）2＝102，解之可得t的值，繼而根據(jù)0≤5t≤6且0≤3t≤10取舍可得答案．【解答】解：如圖，根據(jù)題意知，AE＝5t，BF＝3t，∵BC＝10cm，DC＝6cm，∴＝＝，＝＝，∴，又∵∠DAE＝∠ABF＝90°，∴△ADE∽△BAF，∴∠2＝∠3，∵AD∥BC，∴∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4，∴DF＝DA，即DF2＝AD2，∵BF＝3t，BC＝10，∴CF＝10﹣3t，∴DF2＝DC2+CF2，即DF2＝62+（10﹣3t）2，∴62+（10﹣3t）2＝102，解得：t＝或t＝6，∵0≤5t≤6且0≤3t≤10，∴0≤t≤，∴t＝，故選：C．二．填空題（共8小題）11．已知線段b是線段a、c的比例中項，且a＝2cm，b＝4cm，那么c＝8cm．【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可求解．【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積，所以b2＝ac，即42＝2c，c＝8．故答案為：8．12．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨葹?.5m．【分析】根據(jù)在同一時物體的高度和影長成正比，設(shè)出手臂豎直舉起時總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨龋窘獯稹拷猓涸O(shè)手臂豎直舉起時總高度xm，列方程得：＝，解得x＝2.2，2.2﹣1.7＝0.5m，所以小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨葹?.5m．故填0.5．13．今年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到90個紅包，則該群一共有10人．【分析】設(shè)該群一共有x人，則每人收到（x﹣1）個紅包，根據(jù)群內(nèi)所有人共收到90個紅包，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該群一共有x人，則每人收到（x﹣1）個紅包，依題意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．故答案為：10．14．對于實數(shù)a，b，定義運算“﹡”：a﹡b＝．例如4﹡2，因為4＞2，所以4﹡2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，則x1﹡x2＝3或﹣3．【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根據(jù)a﹡b＝，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①當(dāng)x1＝3，x2＝2時，x1﹡x2＝32﹣3×2＝3；②當(dāng)x1＝2，x2＝3時，x1﹡x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案為：3或﹣3．15．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝60cm，AB＝100cm，a、b、c…是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是9．【分析】根據(jù)勾股定理可以求出每階臺階的寬，依據(jù)BC的長，即可解答．【解答】解：如圖，易證△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM，可得BD＝EF＝GK＝HL＝BC﹣DC＝﹣72＝8cm．根據(jù)此規(guī)律，共有80÷8﹣1＝9個這樣的矩形．故答案為：9．16．如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、O．則CP：AC＝1：4．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，可以得出AC∥DE，且AC＝DE，根據(jù)線段成比例即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴AC∥DE，BC＝AD＝CE，∴，∵＝，∴＝，∵點R為DE的中點，∴PC：DE＝1：4，即PC：AC＝1：4，故答案為：1：4．17．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2＝4：9．【分析】設(shè)大正方形的邊長為x，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進行計算即可得出答案．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為x，根據(jù)圖形可得：∵＝，∴＝，∴＝，∴S1＝S正方形ABCD，∴S1＝x2，∵＝，∴＝，∴S2＝S正方形ABCD，∴S2＝x2，∴S1：S2＝x2：x2＝4：9．故答案是：4：9．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中O是原點，?OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別是（8，0），（3，4），點D，E把線段OB三等分，延長CD、CE分別交OA、AB于點F，G，連接FG．則下列結(jié)論：①F是OA的中點；②△OFD與△BEG相似；③四邊形DEGF的面積是；④OD＝其中正確的結(jié)論是①③（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【分析】①證明△CDB∽△FDO，列比例式得：，再由D、E為OB的三等分點，則＝，可得結(jié)論正確；②如圖2，延長BC交y軸于H證明OA≠AB，則∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如圖3，利用面積差求得：S△CFG＝S?OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝12，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方進行計算并作出判斷；④根據(jù)勾股定理進行計算OB的長，根據(jù)三等分線段OB可得結(jié)論．【解答】解：①∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC∥OA，BC＝OA，∴△CDB∽△FDO，∴，∵D、E為OB的三等分點，∴＝，∴，∴BC＝2OF，∴OA＝2OF，∴F是OA的中點；所以①結(jié)論正確；②如圖2，延長BC交y軸于H，由C（3，4）知：OH＝4，CH＝3，∴OC＝5，∴AB＝OC＝5，∵A（8，0），∴OA＝8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②結(jié)論不正確；③由①知：F為OA的中點，同理得；G是AB的中點，∴FG是△OAB的中位線，∴FG＝，F(xiàn)G∥OB，∵OB＝3DE，∴FG＝DE，∴＝，過C作CQ⊥AB于Q，S?OABC＝OA?OH＝AB?CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ＝，S△OCF＝OF?OH＝×4×4＝8，S△CGB＝BG?CQ＝××＝8，S△AFG＝×4×2＝4，∴S△CFG＝S?OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG＝8×4﹣8﹣8﹣4＝12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴＝＝，∴＝，∴，∴S四邊形DEGF＝；所以③結(jié)論正確；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2，∴OB＝＝，∴OD＝，所以④結(jié)論不正確；故本題結(jié)論正確的有：①③；故答案為：①③．三．解答題（共10小題）19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣3x﹣2＝0（2）x2﹣2x+2＝0（3）3x（x﹣2）＝5（2﹣x）（4）x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0【分析】（1）根據(jù)配方法即可求出答案；（2）根據(jù)配方法即可求出答案；（3）根據(jù)因式分解法即可求出答案；（4）根據(jù)因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，∴x2﹣3x＝2，∴x2﹣3x+＝2+，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵x2﹣2x+2＝0，∴（x﹣）2＝0，∴；（3）∵3x（x﹣2）＝5（2﹣x），∴3x（x﹣2）﹣5（2﹣x）＝0，∴（x﹣2）（3x+5）＝0，∴x＝2或x＝；（4）x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0，∴（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，∴x＝m或x＝m+1；20．如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點．求證：△ABC∽△DEF．【分析】先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，則可利用三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到結(jié)論．【解答】證明：∵D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即＝＝，∴ABC∽△DEF．21．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，使AE＝CF，連接AF，BE相交于點P．（1）求證：AF＝BE，并求∠APB的度數(shù)；（2）若AE＝2，試求AP?AF的值．【分析】（1）依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠C＝∠CAB，然后依據(jù)SAS可證明△ABE≌△CAF，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABE＝∠CAF，最后，再依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）先證明△APE∽△ACF，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，從而可得到問題的答案．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°，∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°（2）∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AP?AF＝12．22．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？【分析】（1）設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，列方程求解．（2）根據(jù)（1）中所求數(shù)據(jù)，進而表示出經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x＝121解得x1＝10，x2＝﹣12（不符合題意舍去）（2）經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為：121+10×121＝1331（人）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人，經(jīng)過三輪傳染后共有1331人患流感．23．如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，AC＝2DF＝4．（1）判斷這兩個三角形是否相似并說明為什么？（2）能否分別過A，D在這兩個三角形中各作一條輔助線，使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應(yīng)相似？證明你的結(jié)論．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進行分析即可．【解答】解：（1）不相似．∵在Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4；在Rt△EDF中，∠D＝90°，DE＝3，DF＝2，∵＝，＝，∴≠，∴Rt△BAC與Rt△DFE不相似．（2）能作如圖所示的輔助線進行分割．證明：作∠BAM＝∠E，交BC于M；作∠NDE＝∠B，交EF于N．由作法和已知條件可知△BAM∽△DEN．∵∠BAM＝∠E，∠NDE＝∠B，∠AMC＝∠BAM+∠B，∠FND＝∠E+∠NDE，∴∠AMC＝∠FND．∵∠FDN＝90°﹣∠NDE，∠C＝90°﹣∠B，∴∠FDN＝∠C．∴△AMC∽△FND．24．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式△的正負(fù)來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得c的值，根據(jù)完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．【解答】（1）解：當(dāng)a＝3，b＝4，c＝5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4＝0；（2）證明：根據(jù)題意，得△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab∵a2+b2＝c2∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當(dāng)x＝﹣1時，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6∴3c＝6∴c＝2∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴ab＝2∴S△ABC＝ab＝1．25．如圖，已知△PAB的三個頂點落在格點上．（注：每個小正方形的邊長均為1）．（1）△PAB的面積為；（2）在圖①中，僅用直尺畫出一個以A為位似中心，與△PAB相似比為1：2的三角形；（3）在圖①中，畫一個以AB為邊且面積為6的格點三角形ABC，符合條件的點C共3個；（4）在圖②中，只借助無刻度的直尺，在圖中畫出一個以AB為一邊且面積為12的矩形ABMN．【分析】（1）利用分割法取三角形面積即可．（2）利用三角形中位線定理，分別取PA，AB的中點E，F(xiàn)即可．（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．（4）分別取格點J，I，連接JB，IA分別交直線C1C2于M，N，可得矩形ABMN．【解答】解：（1）S△PAB＝4×4﹣×1×4﹣×4×3﹣×1×3＝．故答案為（2）△PEF如圖①中所示．（3）滿足條件的點C如圖所示，有3個，故答案為3．（4）矩形ABMN如圖②中所示．26．如圖①，窗簾的褶皺是指按照窗戶的實際寬度將窗簾布料以一定比例加寬的做法，褶皺之后的窗簾更能彰顯其飄逸、靈動的效果．其中，窗寬度的1.5倍為平褶皺，窗寬度的2倍為波浪褶皺．如圖②，小莉房間的窗戶呈長方形，窗戶的寬度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某種窗簾的價格為120元/m2．如果以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元，求小莉房間窗戶的寬度與高度．【分析】設(shè)小莉房間窗戶的寬度為xm，則高度為（x+0.5）m．根據(jù)“以波浪褶皺的方式制作該種窗簾比以平褶皺的方式費用多180元”列出方程，求解即可．【解答】解：設(shè)小莉房間窗戶的寬度為xm，則高度為（x+0.5）m．根據(jù)題意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120＝180，解得x1＝﹣2，x2＝1.5．所以x＝1.5，x+0.5＝2．答：小莉房間窗戶的寬度為1.5m，則高度為2m．27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．（1）求線段CD的長；（2）當(dāng)t為何值時，△CPQ與△ABC相似？（3）是否存在某一時刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，進利用面積法求出CD；（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△CEQ∽△CDA，得出，進而表示出QE＝t，再分當(dāng)S△CPQ＝S△ACD時，和當(dāng)S△CPD＝S△ACD時，利用面積建立方程求解即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝10，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，∴CD＝＝＝，（2）由（1）知，CD＝，由運動知，CQ＝t，DP＝t，∴CP＝CD﹣DP＝﹣t，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵△CPQ與△ABC相似，∴①△CPQ∽△BCA，∴，∴，∴t＝3②△CPQ∽△BAC，∴，∴∴t＝，即：t為3秒或秒時，△CPQ與△ABC相似；（3）假設(shè)存在，如圖，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得，AD＝＝＝，過點Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴，∴，∴QE＝t，∵S△CPQ＝CP?QE＝（﹣t）?t，∴S△ACD＝AD?CD＝××，∵PQ分△ACD的面積為2：3，∴①當(dāng)S△CPQ＝S△ACD