高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)（一）集合基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.集合的性質(zhì)：任何一個集合是它本身的子集，記為A匸A；空集是任何集合的子集，記為0匸A；空集是任何非空集合的真子集；如果A匸B，同時B匸A，那么A=B.如果A匸B，B匸C,那么A匸C.［注］:?Z=｛整數(shù)｝（V）Z=｛全體整數(shù)｝（X）已知集合S中A的補(bǔ)集是一個有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：S=N；A=N+，則CsA=｛0｝）空集的補(bǔ)集是全集.若集合人=集合B,則CBA=0，CAB=0CS（CAB）=D（注：CAB=0）.①殳（x，y）Ixy=0，x^R,y^R｝坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.殳（x，y）IxyVO,x^R,yGR>二、四象限的點(diǎn)集.殳（x,y）Ixy>0,xWR,y^R｝—、三象限的點(diǎn)集.［注］：①對方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例:|x*y=3解的集合｛（2,1）｝.2x—3y=1②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是0.（例：A=｛（x,y）Iy=x+1｝B=｛yIy=x2+1｝則AHB=0）①n個元素的子集有2n個.②n個元素的真子集有2n—1個.③n個元素的非空真子集有2n－2個.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.例：①若a+b豐5,貝I」a豐2或b豐3應(yīng)是真命題.解：逆否：a=2且b=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.②x豐1且y豐2,廿x+y豐3.解：逆否：x+y=3掃'x=1或y=2.x豐1且y豐2x+y豐3,故x+y豐3是x豐1且y豐2的既不是充分’又不是必要條件.⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.3-例:若x>5,nx》5或xY2.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).交：AQBo{xIxgA,且xgB}并：AUBo{xIxgA或xgB}補(bǔ)：CUAo{xgU,且x電A}主要性質(zhì)和運(yùn)算律包含關(guān)系：A匸A,①匸A,A匸U,C/匸U,A匸B,B匸CnA匸C;AQB匸A,AQB匸B；AUBnA,AUBnB.等價關(guān)系：A匸BoAQB=AoAUB=BoC/UB=U集合的運(yùn)算律：交換律：AAB=BAA;AUB=BUA.結(jié)合律：(AAB)AC=AA(BAC)；(AUB)UC=AU(BUC)分配律:.AA(BUC)=(AAB)U(AAC)；AU(BAC)=(AUB)A(AUC)0-1律：①p|A=①,①UA=A,Up|A=A,UUA=U等冪律：AAA=A,AUA=A.求補(bǔ)律：AgA"AUCuA=Ucqu“CC嚴(yán)u反演律：Cu(AAB)=(CuA)U(CuB)Cu(AUB)=(屮”(竿)有限集的元素個數(shù)定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(O)=0.基本公式：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AQB)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AQB)-card(BdC)-card(CdA)+card(ApIBplC)card(CUA)=card(U)-card(A)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸整式不等式的解法根軸法(零點(diǎn)分段法)將不等式化為a(X-X)(X-X)???(X-X)〉0(〈0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為012m了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“〈0”，則找“線”在X軸下方的區(qū)間.<3-&x1X<3-&x1X2X3——O￡++—xm「3-/Xm-2Xm-1rx>xm(自右向左正負(fù)相間)則不等式axn+ax"T+ax“-2++a>O(<O)(a>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號012n0確定.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+box〉0(a〉0)解的討論.A>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象*v-二一兀二次方程ax2+bx+c=0(a>0的根有兩相異實根x,x(x<x)1212有兩相等實根bx=x=122a無實根ax2+bx+c>0(a>0)的解集x<x或x>x}12JbI[2aJRax2+bx+c<0(a>0)的解集x<x<x}12002.分式不等式的解法f(x)f(x)f(x)f(x)(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項通分化為〉0(或<0)；20(或W0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)f(f(x)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)g(x)>0o/(x)g(x)>0；黑含絕對值不等式的解法公式法：|ax+b<c，與|ax+b>c(c>0)型的不等式的解法.定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(aZ0)(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之映射與函數(shù)1.映射與一一映射2?函數(shù)函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y二f(x)(xEA)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=P(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=9(y)，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么,x=p(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=p(y)(yeC)叫做函數(shù)y=f(x)(X&A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y),習(xí)慣上改寫成y=ft(x)函數(shù)的性質(zhì)i?函數(shù)的單調(diào)性定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值X],X2⑴若當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；⑵若當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間?此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).2?函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)的定氏如果對于函數(shù)w()的定文域內(nèi)任ftfx,都有那么倩數(shù)耳鶯)就叫做偶術(shù)數(shù).克工)是偶函數(shù)3托國二溝架匸K/兇工?fw奇曲數(shù)的定義：如果對「曲數(shù)f()t)的産義域內(nèi)任點(diǎn)-個瓦都右么南數(shù)明就叫做奮南數(shù).f(H)是奇函數(shù)Q/3=-/WO他"Q樂=-lt/W豐0)正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題：定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定義域上的恒等式。2．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增減性相反.如果f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(IxI),反之亦成立。若奇函數(shù)在x=0時有意義，貝yf(O)=0。奇函數(shù)，偶函數(shù)：⑴偶函數(shù)：f(-x)=f(x)設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a,b)也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足定義域一定要關(guān)于y軸對稱，例如：y=x2+1在［1,-1)上不是偶函數(shù).滿足f(-x)=f(x)，或f(-x)-f(x)=0，若f(x)豐0時，=1.f(-x)⑵奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，貝9(-a,-b)也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對稱，例如：y=x3在［1,-1)上不是奇函數(shù).滿足f(一x)=-f(x)，或f(一x)+f(x)=0，右f(x)豐0時，，=一1.f(-x)對稱變換：①y=f(x)y軸對稱>y=f(-x)y=f(x)—x軸對稱>y=-f(x)y=f(x)—原點(diǎn)對稱>y=-f(-x)判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：f(x1)-f(x2)=x2+b2-x2+b2=121丄耳+b2+、：年+b2在進(jìn)行討論.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.x例如：已知函數(shù)f(x)=1+的定義域為A,函數(shù)(x)］的定義域是B,則集合A與1-x集合B超間的關(guān)系是.解:f(x)的值域是f(f(x))的定義域B，f(x)的值域eR，故BeR，而A=&Ix豐1},故B二A.常用變換：f(x+y)=f(x)f(y)of(x-y)=?

證：f(y)證：f(x-y)=帀of(x)=f[(x-y"y]=f(x-y)f(y)f(:)=f(x)-f(y)of(x-y)=f(x)+f(y)證：f(x)=f(--y)=f(-)+f(y)yy12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：例：y=21-1—IxI關(guān)于y軸對稱.值域{yIy豐2,yeR}—值域豐x前的系數(shù)之比.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a豐J的圖象和性質(zhì)a>10〈a〈1圖象|7\\\\\__、y=1性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：(0,+b)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時，y=1(4)x〉0時，y〉1;x〈0時，0〈y〈1(4)x>0時，0〈y〈1;x〈0時，y>1.(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logac的圖象和性質(zhì):對數(shù)運(yùn)算：log(M-N)=logM+logN⑴aaaMlog=logM—logNaNaalogMn=nlogCtM)2)aa1lognM=_logMa^naalogaN=N換底公式：ogN=logbNalogab推論：ogb-logc-loga=1abc=loga-loga-...-loga=logaa12a23an—1na1n(以上M》0,N》0,a》0,a主1,b》0,b主1,c》0,c主1,a,a...a》0且主1)12n

a〉l0〈a〈l圖象yry=sgaxa>i一—-一-O/f11x=1.a<1-一…性質(zhì)(1)定義域：(0,+8)(2)值域:R(3)過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x=1時，y=0xe(0,1)y<0(4)時丿xe(1,+8)時y〉0xE(0,1)時y>0時xE(1,+8)y<0時(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)注⑴：當(dāng)a,by0時，log(a-b)=log(-a)+log(-b).⑵：當(dāng)mA0時，取“+”，當(dāng)n是偶數(shù)時且My0時，Mn>0，而MY0，故取“一”.例如：logx2豐2logx???(2logx中x>0而logx2中x￡R).aaaay=ax(aA0,a豐1)與y=logax互為反函數(shù).當(dāng)aa1時，y=logx的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0YaY1時，則相反.a方法總結(jié)(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.log(M-N)=logM+logN(1)aaaMlog=logM一logNaNaalogMn=nlog(±M)2)aalognM=^logMana⑴對數(shù)運(yùn)算：alogaN=N換底公式：logN-logbNalogab推論：logb-logc-loga=1abcnloga-loga-...-loga=logaa12a23an一1na1n(以上MA0,NA0,aA0,a豐1,b>0,b豐1,c>0,c豐1,a,a...a>0且豐1)12n注⑴：當(dāng)a,bY0時，log(a-b)=log(—a)+log(-b).⑵：當(dāng)mA0時，取“+”，當(dāng)n是偶數(shù)時且MY0時，Mna0，而MY0，故取“一”.例如：logx2豐2logx?/(2logx中x>0而logx2中x^R).aaaa(2)y=ax(aA0,a主1)與y=logx互為反函數(shù).當(dāng)aa1時，y=logax的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0YaY1時，則相反.(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域?常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等..函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法..單調(diào)性的判定法:①設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且xVx；②判定f(x)12121與f(x)的大?。虎圩鞑畋容^或作商比較.2.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)二0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)Ff(-x)=T為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象1.⑴等差、等比數(shù)列:等差數(shù)列等比數(shù)列定義a一a=d=q(q豐0)n+1na遞推公a=a+d；a=a+mdnn-1nm-na=aq；a=aqn一"式nn-1nm通項公式a=a+(n-1)dn1a一na1qn-1(a1，q豐0)中項a+a1A1'aaG一十(aa》0)2n一kn+kn一kn+k(n,keN*,n》k》0)(n,keN*,n》k》0)前n項小n/、S=_(a+a)naJq=11和n21nS=va1-qQa-aq(q>2)cn(n-1),ni1-=—1_—n—S一na+d1-q1-qn12重要性質(zhì)a+a=a+a(m,n,p,qeN*,a?a=a?a(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)mnpqmnpqm+n=p+q)等差數(shù)列等比數(shù)列定義{a}為人-Poa-a=d(常數(shù))nn+1na{a}%G-Po—吐1=q(常數(shù))nan通項公式a=a+(n-l)d=a+(n-k)d=dn+a-dn1k1a=aqn-1=aqn-kn1k求和公式n(a+a)n(n-1)rs=1—=na+dn212de/d.一一n2+(a)n212S=<nna(q=1)a(1—qn)a—aqz々一丄(q豐11-q1-q中項公式a+bA=推廣:2a=a+a2nn-mn+mG2=ab。推廣：a2=axann-mn+mi性1若m+n=p+q貝9a+a=a+amnpq若m+n=p+q，貝9aa=aa。mnpq

2若｛k｝成A.P（其中kgN）則｛a｝nnkn也為A.P。若｛k｝成等比數(shù)列（其中kgN），nn則｛a｝成等比數(shù)列。kn3.s,s—s,s—s成等差數(shù)列。n2nn3n2ns,s—s,s—s成等比數(shù)列。n2nn3n2n4,a—aa—az、d=1=n（m豐n）n—1m—naaqn—1=—n，qn—m=——n-aa1m（m豐n）5⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：a一a=d（n>2,d為常數(shù)）nn-12a=a,+a,（n>2）nn+1n-1a=kn+b（n,k為常數(shù)）.n⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：a=a1q（n>2,q為常數(shù)，且豐0）nn-1a2=a-a（n>2,aaa豐0）①nn+1n-1nn+1n-1注①：i.b=\；ac，是a、b、c成等比的雙非條件，即b=tach'a、b、c等比數(shù)列.ii.b=<ac（ac>0）f為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii.b=±\：ac—為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv.b=±<ac且acA0—為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個.a=cqn（c,q為非零常數(shù)）.ns1=a1（n=1）s-s（n>2）s1=a1（n=1）s-s（n>2）nn-1⑷數(shù)列｛a｝的前n項和S與通項a的關(guān)系：annnn［注］：①a=a+C一1）d（d可為零也可不為零—為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)n11列也是等差數(shù)列）一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）?（d、（d、d②等差｛a｝前n項和S=An2+Bn=—n2+a——n——可以為零也可不為零一為等差nn212V2丿V2丿2的充要條件一若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍Sk,SSk,Sk2k-Sk，S3k—S2kanan+1偶=anS偶aanan+1偶=anS偶a(1+r)[1—(1+r)12]1-(1+r)+x(1+r)m-2+a(1+r)m=x(1+r+xna1+rm=x(1+r)m-1nx=+r若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(gN+)則S偶—S奇=皿若等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(gN+)則S=(2n-11,2n-1nn代入n到2n-1得到所求項數(shù)?3.常用公式：①1+2+3…+斤=2②12+22+32+...n2=n(n+臨+1)6③13+23+33.n3=］n(2［注］：熟悉常用通項：9，99,999,…na=10n-1；5，55,555,…na=5(on-1)nn9等比數(shù)列的前n項和公式的常見應(yīng)用題：⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a，年增長率為r，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第n年產(chǎn)量為a(1+r)n-1，且過n年后總產(chǎn)量為：a+a(1+r)+a(1+r)2+...+a(1+r)n-1=.1-(1+r)⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存a元，利息為r，每月利息按復(fù)利計算，則每月的a元過n個月后便成為a(1+r)n元因此，第二年年初可存款：a(1+r)12+a(1+r)11+a(1+r)10+...+a(1+r)=⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；r為年利率.+rm-1數(shù)列常見的幾種形式：⑴a=pa+qa(p、q為二階常數(shù))T用特證根方法求解.TOC\o"1-5"\h\zn+2n+1n具體步驟:①寫出特征方程x2=Px+q(x2對應(yīng)a，對應(yīng)a)，并設(shè)二根x,x②若x豐xn+2n+11212可設(shè)a=cxn+cxn，若x=x=(c+cn)xn；③由初始值a,a確定c,c.n.112212n1211212⑵a=Paj+r(P、r為常數(shù))t用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)nnn-1轉(zhuǎn)化為a=Pa+qa的形式，再用特征根方法求a:④a=c+cPn-1(公式法)，c,cn+2n+1nnn1212由a,a確定.12

TOC\o"1-5"\h\z①轉(zhuǎn)化等差，等比：a+x=P(a+x)na=Pan+1nn+1r+Pxr+Px-xnx=P-1②選代法：a=Pa+r=P(Pa+r)+r=…na

nn-1n-2=(a+)Pn-1-=(a+x)Pn-1-xn1P-1P-11=Pn~1a1+Pn-2-r+…+Pr+r-..a=Pa+rInn-1③用特征方程求解：n+1n，相減,na-a=Pa-Pana=(P+1)nn-1a=Pa+rIn+1nnn-1n+1nn-1rPn-1+1-P④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：c=，c=a+，a=cPnrPn-1+1-P11-P21P-1n211P-1幾種常見的數(shù)列的思想方法：（1）等差數(shù)列的前n項和為S，在dY0時，有最大值.如何確定使S取最大值時的n值，有nn兩種方法：是求使an>0,齢Y0，成立的n值；二是由Sn=|n2+（勺-分利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前n項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：1?丄,3,...（2n-1）,...42n⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差d,d的最小公倍數(shù).122.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n±2的任意自然數(shù),驗證2an+1a驗證2an+1（-）為同一常數(shù)。（2）通項公式法。（3）中項公式法：驗證n-1an-1+a(a2=aa)neN都成立。n-2n+1nn+23.在等差數(shù)列｛a｝中，有關(guān)Sn的最值問題：（1）當(dāng)a>0,dv0時，滿足n1a>0m的項數(shù)ma<0m+1Ia<0使得s取最大值.⑵當(dāng)a<0,d>0a>0m的項數(shù)ma<0m+1m+1對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。的項數(shù)m使得s取最小值。在解含絕>0m2?的項數(shù)m使得s取最小值。在解含絕>0m2?裂項相消法:適用于1—其中｛a｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部nnn+1分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3?錯位相減法:適用于気b｝其中｛a｝是等差數(shù)列，缶｝是各項不為0的等比數(shù)列。nnnn

倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.常用結(jié)論n(n+1):l+2+3+...+n=-21+3+5+...+(2n-1)=n23)13+23+…+n3=2n(n+1)3)13+23+…+n3=2n(n+1)4)12+22+32hfn2=n(n+1)(2n+1)61_11n(nh1)nnh11n(n+2)2(丄2n6)丄=丄(--丄)(p<q)pqq-ppq三角函數(shù)知識要點(diǎn)1.①與a(0°<aV360°)終邊相同的角的集合(角a|I卩=kx360。+a,keZ(0°<終邊在x軸上的角的集合：|I卩=kx180。,keZ終邊在y軸上的角的集合：iIp=kx180。+90。,keZ終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|IP=kx90。,keZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：Ip=kx180。+45。,keZ與角p的終邊重合)：SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、四象限一半所在區(qū)域⑥終邊在y=-x軸上的角的集合:Ip=kx180。-45。,keZ若角a與角p的終邊關(guān)于x軸對稱，則角a與角p的關(guān)系：a=360。k-P若角a與角p的終邊關(guān)于y軸對稱，則角a與角p的關(guān)系：a=360。k+180。-p若角a與角p的終邊在一條直線上，則角a與角p的關(guān)系：a=180。k+卩⑩角a與角p的終邊互相垂直，則角a與角p的關(guān)系：a=360。k+p土90。2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2兀180°=k1。=0.017451=57.30。=57。18'注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式：1rad=180°心57.30°=57°18".1°=匹心0.01745(rad)1803、弧長公式：心-1?丫-扇形面積公式：s扇形二2ir=2^1-r24、4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個任意角，在a的終邊上任?。ó愑谡芯€：16.幾個重要結(jié)論::貝［Jsinx<x<tanx兀正切線：16.幾個重要結(jié)論::貝［Jsinx<x<tanx兀(3)若o<x<2正弦線：MP;余弦線：0M;AT.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域f(x)=sinxk1xer}f(x)=cosxa1xeR}f(x)=tanxVx1xeR且x豐k兀+丄兀,keZ「2.J1f(x)=cotxa1xeR且x工k冗,keZ}f(x)=secxVx1xeR且x豐kn+丄兀,keZ「2一J1f(x)=cscxtx1xeR且x豐k冗,keZ}8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sina=tanacosacosa=cotasinatana-cota=1csca-sina=1seca-cosa=1sin2a+cos2a=1sec2a—tan2a=1csc2a一cot2a=19、誘導(dǎo)公式：把嚴(yán)±詢?nèi)呛瘮?shù)化為a的三角函數(shù)，概括為:“奇變偶不變，符號看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系44444444sinx?cscx=1tanx=sinx.221sin2x+cos2x=1cosxcosx?secx=1■■■'"x=cosx221+tan2x=sec2xsinxtanx?cotx=1公式組四1+cot2x=csc2x公式組五sin（冗+x）=-sinxsin（2冗-x）=-sinxcos（冗+x）=-cosxcos（2k-x）=cosxtan（冗+x）=tanxtan（2K-x）=-tanxcot（冗+x）=cotxcot（2K-x）=-cotx公式組一二）角與角之間的互換cos（冗一x）=-cosxtan（冗一x）=-tanxcot（冗一x）=-cotx公式組二公式組三sin（2k冗+x）=sinxsin（-x）=-sinxcos（2k冗+x）=cosxcos（-x）=cosxtan（2k冗+x）=tanxtan（-x）=-tanxcot（2k冗+x）=cotxcot（-x）=-cotx公式組六sin（冗-x）=sinx公式組一公式組二cos（a+B）=cosacosB-sinasinBsin2a=2sinacosacos（a-B）=cosacosB+sinasinBcos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin（a+B）=sinacosB+cosasinBtan2a=321一tan2asin（a-B）=sinacosB-cosasinB.a1-cosasin=土21一tanatanBacos—21+cosa土1+tanatanBa

tan=土2sina1-cosa1+cosasina公式組三sina=2tanIsinacosB=1IsinCa+B）+sinCa-BM2公式組五cosa=1+tan2號1+tan2tana=2tan11-tan2-2cosasinB=—LinCx+B）-sinCx-2cosacosB=B）］IcosCx+B）+cosG-BM2sinasinB=一—LosG+B）-COsG-B）］2sina+sinB=2sincos口22a+B.a-卩sina-sinB=2cossin—22a+Ba-Bcosa+cosB=2coscos22a+B?a-Bcosa一cosB=-2sinsin—22cos（1-兀-a）=sinasin（2兀一a）=cosatan（1■兀-a）=cotacos（1■兀+a）=-sinatan（1■兀+a）=-cotasin（1■兀+a）=cosasin15。=cos75。=F一'2'sin75。=cosl5。='，tan15。=cot75。=2一3，tan75°=cotl5。=2+-3?y=sin（by=sin（bx+9）的對稱軸方程是x=kK+—對稱中心(k—,0)；y=cos(bx+9)10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asin6x+9)(A、b>0)定義域RRx1xeR且x豐k—+1—,keZ>lx1xeR且x豐k—,keZ}R值域[-1,+1][-1,+1]2JRRLA,A〕周期性2—2———2—b奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)—0,非奇非偶當(dāng)9=0,奇函數(shù)單調(diào)性—[——+2k—,2——+2k—]2上為增函數(shù)；[—+2k—,23—“—+2k—]2上為減函數(shù)(keZ)［（2k-lb,2k—］，上為增函數(shù)［2k—,（2k+1丄］上為減函數(shù)（keZ）G+k-,2+k-]（k—,（k+11）上為減函數(shù)（keZ）“—]2k—-—-92(A)上為增函數(shù)（keZ）(A),b…12k—+_—-92(A)(—A)_b」上為增函數(shù)；2k—+—-9(A),b“32k—+一—-9(-A)_b」上為減函數(shù)(keZ)注意：①y=-sinx與y=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若y=f（x）在［a,b］上遞增（減），則y=-f（x）在［a,b］上遞減（增）.y=tinJ與y=Icosxl的周期是兀.y=sin?x+9）或y=cos@x+屮）（0）的周期T=.y=tanx的周期為2兀（T=互_T=2兀，如圖，翻折無效）.2=bl=的對稱軸方程是x=k—（keZ），對稱中心（k—+丄—0）；y=tan（Qx+9）的對稱中心2，（k—,0）.2y=cos2x―原點(diǎn)對稱=—cos（-2x）=-cos2x——當(dāng)tana?tanp=1,a+B=k—+—(keZ)；tana?tanp=-1,a-B=k—+(keZ).22y=cosx與y=sinx+—+2k—是同一函數(shù)，而y=@x+9)是偶函數(shù)，則I2丿

y=伽)=血驅(qū)+kK+2冗)=±co知).函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域,y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的］.定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f（-x）=f（x），奇函數(shù)：f（-x）=-f（x））奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan（x+丄兀）是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若°wx的定義域，則f（x）一定有f（0）=o.（0電x的定義域，則無此性質(zhì)）|sinx|為周期函數(shù)（T=n）；y=|cosx|為周期函數(shù)（T=y=lcos2x+l/21圖象|sinx|為周期函數(shù)（T=n）；y=|cosx|為周期函數(shù)（T=y=lcos2x+l/21圖象y=coslxl圖象如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：y=f(x)=5=f(x+k),keR.有i：a2+b2>|y|=acosa+bsinB=、；a2+b2有i：a2+b2>|y|11、三角函數(shù)圖象的作法：1）、幾何法：2）、描點(diǎn)法及其特例一五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．函數(shù)y=Asin（sx+申）的振幅|A|,周期紅，頻率f=丄=皿，相位?x+9；初相*=IoIf=T=2兀（即當(dāng)x=0時的相位）.（當(dāng)A>0,s>0時以上公式可去絕對值符號），由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)IAI>1）或縮短（當(dāng)0VIAIVI）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用y/A替換y）由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0V|?|V1）或縮短（|?|>1）到原來的占倍，得到y(tǒng)=sin?x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.（用o替換x）由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)申>0）或向右（當(dāng)p<0）平行移動丨申丨個單位，

得到y(tǒng)=sin(x+申)的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+p替換x)由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上(當(dāng)b>0)或向下(當(dāng)bVO)平行移動丨b丨個單位,得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.(用y+(-b)替換y)由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin(sx+p)(A>0,3>0)(xWR)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù)函數(shù)y=sinx,(IxG匹疋j的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作函數(shù)y=sinx,(IxG2‘2[1]，值域是「圧圧2，2函數(shù)y=cosx,(xW[0,n])的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，它的定義域是[—1,1]，值域是[0,n].函數(shù)y=tanx,(IxG兀兀、)函數(shù)y=tanx,(IxG2遼JJOO函數(shù)y=ctgx,[xW(0,n)]的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y=arcctgx，它的定義域是(一8,+^)，值域是(0,n).II.競賽知識要點(diǎn)一、反三角函數(shù).1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(-x)=-arcsinx,xG[-1,1(定要注明定義域，若xG(-g,+J，沒有x與y一一對應(yīng)，故y二sinx無反函數(shù))注：sin(arcsinx)=x，x注：sin(arcsinx)=x，xG[—1,1]，arcsinxG—?2'2」⑵反余弦函數(shù)y=arccosx非奇非偶，但有arccos(—x)+arccos(x)=k+2k冗,xg[—1,1].注：①cos(arccosx)=x,xG[—1,1]，arccosxg(0,兀]?②y=cosx是偶函數(shù)，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx為奇函數(shù).兀兀⑶反正切函數(shù)：y=arctanx，定乂域(—^,+^)，值域(，)，y=arctanx是奇函數(shù),22arctan(—x)=—arctanx，xG(-g,+8).注：tan(arctanx)=x,xG(—?,+?).兀兀⑷反余切函數(shù)：y=arccotx，定義域(-?+Q，值域(—一,一)，y=arccotx是非奇非22偶.Garccot(—x)+arccot(x)=兀+2k兀,xG(—g,+8).注：①cot(arccotx)=x,xG(—8,+a).y=arcsinx與y=arcsin(1—x)互為奇函數(shù)，y=arctanx同理為奇而y=arccosx與y=arccotx非奇非偶但滿足arccos(—x)+arccosx=k+2E,xg[—1,1]arccotx+arccot(—x)=k+,xg[—1,1]-

⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:a的取值范圍解集①sinx=a的解集|a|>1|a|=1a<1Ix⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:a的取值范圍解集①sinx=a的解集|a|>1|a|=1a<1Ix=2k兀+arcsina,keZ}Ix=k兀+C1)karcsina,keZ}③tanx=a的解集:Ix=km+arctana,keZ③cotx=a的解集:x=km+arccota,ke二、三角恒等式.組^sin2n+1a先osacos2acos4a...cos2na=—2n+1sina組二a的取值范圍解集②cosx=a的解集|a|>10a=1<1{xIx=2km+arccosa,ke{Ix=km土arccosa,kesin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a一3cosasin2a-sin2B=sinxx+=cos2B一cos2aB)sinG-B)sinacos—=coscoscos…cos=—2k2482nak=12nk=12n工cos(x+kd)=cosx+cos(x+d)+…+cos(x+nd)=沁+蟲也蘭+加)sindk=o工sin(x+kd)=sinx+sin(x+d)+…+sin(x+nd)=sin((n+1)d)sin(x+nd)sindk=otana+tanB+tany一tanatanBtanytan(a+B+y)=1一tanatanB-tanBtany-tanytana組三三角函數(shù)不等式sinx<x<tanx,xe(0,色)f(x)=sinx在(0,m)上是減函數(shù)2x若A+B+C=m，則x2+y2+z2>2yzcosA+2xzcosB+2xycosC高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量2.向量的概念向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x,y).⑶向量的長度：即向量的大小，記作lai.

⑷特殊的向量：零向量a=OOIal=O.單位向量a為單位向量OIal=1.OOfx=x⑸相等的向量：大小相等，方向相同(x,y)=(x,y)O\121122Iy=y112相反向量：a二bOb二aOa+b=0平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作a〃b?平行向量也稱為共線向量.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1?平行四邊形法則2?三角形法則>■a+b=(x+x,y+y)1212—?—?—?—?a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)AB+BC=AC向量的減法三角形法則a—b=(x—x,y—y)1212—A—A—A—Aa—b=a+(—b)AB=—BA,OB—OA=AB數(shù)乘向量九a是一個向量，滿足：丨九a1=1九IIai—?—A九＞0時，九a與a同向；—?—A九＜0時，九a與a異向；—?—?九=0時，九a=0.九a=(九x,九y)九(卩a)=(九卩)a(九+卩)a=Xa+卩a九(a+b)=xa+xb—?—?—?—?a//bOa=Xb向量的數(shù)量積a?b是一個數(shù)1.a=0或b=0時，—?—?a?b=0.a豐0且b豐0時，2?一一一一a?b=IaIIbIcos(a,b)a?b=xx+yy1212—?—?—?—?a?b=b?a(Xa)?b=a?(Xb)=X(a?b)—?—A—A—?―A―A—A(a+b)?c=a?c+b?ca2=IaI2即lal=Jx2+y2Ia?bI<IaIIbI4?重要定理、公式(1)平面向量基本定理e,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)入「

入，使a=入e+入e.21122兩個向量平行的充要條件a^bOa=入bbH0)Oxy—xy=0./122丿1兩個向量垂直的充要條件a±bOa?b=0Oxx+yy=0.12丿1丿2線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為入，即PP=入PP，則12121——1——OP=亍OP1+-OP2(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)1+-11+-2x+—x(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)1+—(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)y+—y121+—.當(dāng)入=1時，得中點(diǎn)公式:OP(OP+OP)或＜OP12y=(5)平移公式設(shè)點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P'(x‘，y‘),fx'=x+h,則OP=OP+a或\Iy=y+k.曲線y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:y一k=f(x一h)(6)正、余弦定理正弦定理:a_b

sinAsinBsinC_2R.余弦定理：a2=b2+c2—2bccosA,b2=c2+a2—2cacosB,c2=a2+b2—2abcosC.(7)三角形面積計算公式：設(shè)△ABC的三邊為a,b，c，其高分別為h，hb，h，半周長為P,外接圓、內(nèi)切圓的半徑bc為R，r.S=1/2ah=1/2bhb=1/2ch②S=Pr③S=abc/4RSA=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA⑤S/JpG—a)P-b)P—c)［海倫公式］⑥S=1/2(b+c-a)r［如下圖］=1/2(b+a-c)r=1/2(a+c-b)rba^cb［注］：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.

如圖：I1圖圖2bOCa圖3F:Nc如圖：I1圖圖2bOCa圖3F:Nc圖1中的1為S^bc的內(nèi)心，S/pr圖2中的/為S&bc的一個旁心，］=〃2（b+c-a）r附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).⑸已知00是厶ABC的內(nèi)切圓，若BC=a,AC=b,AB=c［注：s為A4BC的半周長，即a+b+c］2貝則：①AE=s一a=1/2（b+c-a）BN=s—b=1/2（a+c-b）FC=s—c=1/2（a+b-c）綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.特例：已知在RtAABC,c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=a+b一c=ab（如圖3）.2a+b+c⑹在△ABC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.證明：因為A+B"-C,所以tan（A+B）=tanC-C），所以tanA+tanB=—tanC,a結(jié)論！1—tanAtanB（7）在△（7）在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則AD2=AC2BD+AB2BCBC—BD-DC.證明：在AABCD中，由余弦定理，有AD2=AB2+BD2—2-AB-BDcosB…①在△ABC中，由余弦定理有cosB=AB誰02…②，②代入①，化簡可得，AD2=AC2BD+可得，AD2=AC2BD+AB2BCBC①若AD是BC上的中線,②若AD是ZA的平分線,—BD-DC（斯德瓦定理）m=2b2+2c2一a2;a2=2Jbe?p(p-a)，其中③若AD是BC上的高，h=二1'p（p-a）0-b）$-c），其中p為半周長.aa^△ABC的判定：

c2=a2+b2O△ABC為直角△OZA+ZB=匹2ZB<IZB>-c2Va2+b2O△ABC為鈍角△OZZB<IZB>-c2>a2+b2O△ABC為銳角△OZA+附：證明：cosC=a2+b2_c2，得在鈍角△ABC中，cosCY0Oa2+b2-c2Y0,Oa2+b2yc22ab⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和tfr卡LI—a+b2+a一b2=2(a2+b2)空間向量1．空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量?注：⑴空間的一個平移就是一個向量⑵向量一般用有向線段表示+同向等長的有向線段表示同一或相等的向量+⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示?2．空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下OB=OA+AB=a+b>BA=OA—OB=a—bOP=九a(九eR)運(yùn)算律：⑴加法交換律：a+b=b+a(2)加法結(jié)合律：@+b)+c=a+(b+c)⑶數(shù)乘分配律：九(a+b)=Xa+九b'共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.a平行于b記作a〃b.當(dāng)我們說向量a、b共線(或a//b)時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．4．共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量a、b(b豐o),a//b的充要條件是存在實數(shù)久,可以證明麗的長度可以證明麗的長度II=IABIcos<a,e>=Ia?eI?推論：如果i為經(jīng)過已知點(diǎn)a且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點(diǎn)o,點(diǎn)p在直線i上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式op=oa+1a.其中向量a叫做直線i的方向向量.5?向量與平面平行：已知平面a和向量a,作OA=a,如果直線OA平行于a或在a內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面a，記作：a//a?通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的+?共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實數(shù)x,y使—Ap=xa+yb?推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使+xMA+yMB>>+xMA+yMBMP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OP=OM式叫做平面MAB的向量表達(dá)式.■空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組Ax,y,z，使p=xa+yb+zC+推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OP=xOA+yOB+zOC.+空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a,OB=b，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>；且規(guī)定0<<a,b><兀，顯然有<a,b>=<b,a>；若兀<a,b>=，則稱a與b互相垂直，記作：a丄b.2?向量的模：設(shè)OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：IaI.10?向量的數(shù)量積：a-b=iai-1bi?cos<a,b>.已知向量AB=a和軸1，e是i上與i同方向的單位向量，作點(diǎn)A在i上的射影A',作點(diǎn)B在i上的射影B，則麗叫做向量AB在軸i上或在e上的正射影.

11?空間向量數(shù)量積的性質(zhì):>>(1)a-e=iaicos<a,e>.(2)a丄boa-b-o.(3)ia12-a-a.12?空間向量數(shù)量積運(yùn)算律:（1）（九a）-b=九（a-b）=a-（kb）.（2）a-b-b-a（交換律）（3）a-（b+c）=a-b+a-c分配律）．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一．知識回顧：（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令a=(a1,a2,a3),b-(b,匕,々)，則a-b=a1b1+a2b2+a3b3a丄bOa1b1+a2b2+a3b3=0TOC\o"1-5"\h\za-b=a1b1+a2b2+a3b3a丄bOa1b1+a2b2+a3b3=0112233123a〃boa=kb,a-kb,a=kb(kgR)o1-2-3112233b1b2b3-廠a-bcos<a,b>=——-,1a1-1b1”a2+a2+a2,b2+b2+12312空間兩點(diǎn)的距離公式：d=￥‘(x2-X])2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面a，則稱這個向量垂直于平面a,記作a丄a,如果a丄a那么向量a叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條射線，其中AGa，則點(diǎn)B到平面a的距離為鼻B；也InI利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n,n分別是二面角a-1-P中平面a,P的法向量,12則n,n所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。╪,n方向相同，則為補(bǔ)角，n,n121212反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線azu平面a，A?Bga,C-DGa，且CDE三點(diǎn)不共線,鼻1■■■■■則a〃a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對k屮使AB=kCD+pCE.（常設(shè)AB=kCD+pCE求解k,卩若k,卩存在即證畢，若k,卩不存在，則直線AB與平面相交）.

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式（5）理解不等式丨a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|§06.不等式知識要點(diǎn)不等式的基本概念（1）不等（等）號的定義：a一b>0oa>b;a一b=0oa=b;a一b<0oa<b.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）同解不等式與不等式的同解變形.不等式的基本性質(zhì)（1）a>bob<a（對稱性）（2）a>b,b>cna>c（傳遞性）（3）a>bna+c>b+c（加法單調(diào)性）（4）a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）（5）a>b,c<dna一c>b一d（異向不等式相減）（6）a.>b,c>0nac>bc（7）a>b,c<0nac<bc（乘法單調(diào)性）（8）a>b>0,c>d>0nac>bd（同向不等式相乘）（9）a>b>0,0<c<dna>-（異向不等式相除）cd（10）a>b,ab>0n丄<-（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）a>b>0nan>bn（neZ,且n>1）（平方法則）（12）a>b>0nna>nb（ne乙且n>1）（開方法則）幾個重要不等式（1）若aeR,貝HIal>0,a2>0（2）若a、beR+,則a2+b2>2ab（或a2+b2>21abI>2ab）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么，亦<o±-（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）2°極值定理：若x,yeR+,x+y=S,xy=P,貝V：如果P是定值，那么當(dāng)x=y時，S的值最??；如果S是定值，那么當(dāng)x=y時，P的值最大.利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.（4）若a、b、ceR+,則a±b±c>3贏（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時取等號）3⑸若ab>0,則b+a>2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）ab(6)a>0時，IxI>aox2>a2ox<-a或x>a;IxI<aox2<a2o-a<x<a(7)若a、beR,則IIaI-1bll<la土bl<laI+1bI幾個著名不等式1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么211

+一

ab當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）即：平方平均上算術(shù)平均上幾何平均上調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）:特別地，ab<呼2<呼（當(dāng)a=b時，呼“寧=ab）2(a,b,ceR,a=b=c時取等）n幕平均不等式：a2+a2+...+a2>(a+a+...+a)212nn12n注：例如：(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2).常用不等式的放縮法：①丄-丄二111二丄-^(n>2)nn+1n(n+1)n2n(n-1)n-1n1<1<1<n+Jn+12和nn+7n-1=5-Jn-1(n>1)(2)柯西不等式：若a,a2,a,aeR,b?,b§…,beR;則ab+ab+ab+—+a'b\2<(a2+a2+a2++a2)(b2+b2+112a2a33anna123n12

當(dāng)且僅當(dāng)紹=^2=J=???=務(wù)時取等號b1b2b3bn3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點(diǎn)x,x(x豐x),有1212+…b2)x+xf(x)+f(x)f(齊2)<匸*或f(飛則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù).不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax卻bx+c>0（aH0）解的討論.2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x)g(x)>0of(x)g(x)>0;f(x)>0o|f(x)g(x)>0g(x)—Ig(x)主03）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解f((>0=定義域f(x)>g(x)（2）.f(x（2）.f(x)>0③Jf(x)<g(x)o<g(x)>0、f(x)<[g(x)]2對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式了(x)>0logf(x)>logg(x)(a>1)oJg(x)>0

aaf(x)>g(x)logaf(x)>0f(x)>logg(x)(0<a<1)oJg(x)>0af(x)<g(x),一f(x)>0v'f(x)>g(x)g(x)>0、f(x)>[g(x)]24）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x)>ag(x)(a>1)of(x)>g(x);af(x)>ag(x)(0<a<1)of(x)<g(x)af(x)>b(a>0,b>0)of(x)-lga>lgb6）含絕對值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想;應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化If(x)|<g(x)o[勺"g(x)<f(x)<g(x)If(x)卜g(x)og(x)<0(f(x),g(x)不同時為°)或｛f(x<1g(x)或f(x)>g(x)注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：43=-2711243=-273亠ny<叵279①x(1-x)2=—.2x(1-x)(1-x3亠ny<叵279②y=x(1-x2)ny2=2x"I-x2)(1-x2)<②y=x(1-x2)ny類似于y=sinxcos2x=sinx(l—sin2x)，③,x+丄|=“|+|丄心與1同號，故取等)>2xxx直線和圓的方程知識要點(diǎn)一、直線方程.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的范圍是0°<ay180°（0<ay兀）.注：①當(dāng)a=90°或x=x時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.21②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(diǎn)（a,0）,（0,b），即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b（a豐0,b豐0）時，直線方程是：-+工=1.ab

注：若y=-—x-2是一直線的方程，則這條直線的方程是y=-—x-2,但若33y=-■—x-2（x>0）則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程y=kx+b，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)b為定植，k變化時，它們表示過定點(diǎn)（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.⑴兩條直線平行：l〃/Ok=k兩條直線平行的條件是：①l和l是兩條不重合的直線.②在l和l的斜率12121212都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l,l，它們在y軸上的縱截距是b,b，則l〃lOk=k，12121212且b我或l,l的斜率均不存在，即AB=BA是平行的必要不充分條件，且C豐C）1212121212推論：如果兩條直線l,l的傾斜角為a,a則l〃loa=a?12121212⑵兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l和l的斜率分別為k和k，則有l(wèi)丄lokk=-1這12121212里的前提是l,l的斜率都存在?②l丄lok=0，且l的斜率不存在或k=0，且l的斜率不12121221存在.（即AB+AB=0是垂直的充要條件）1221直線的交角：⑴直線l到l的角（方向角）；直線l到l的角，是指直線l繞交點(diǎn)依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到12121k-k與l重合時所轉(zhuǎn)動的角6，它的范圍是（0,兀），當(dāng)090。時tan6=—1.21+W2⑵兩條相交直線l與l的夾角：兩條相交直線l與l的夾角，是指由l與l相交所成的四121212個角中最小的正角0，又稱為11和12所成的角，它的取值范圍是f0,日，當(dāng)°90。，則有tan0=tan0=k-k

—2——1—1+kk12過兩直線F1：A1x+B1y+C1=0的交點(diǎn)的直線系方程Ax+By+C+X（Ax+By+C）=0（九I12：A2x+B2y+C2=0111222為參數(shù)，Ax+By+C=0不包括在內(nèi)）222點(diǎn)到直線的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)P（x0,y0），直線l:Ax+By+C=0,P到l的距離為d，則有Ax+By+c|d=00.<A2+B2注：兩點(diǎn)P1（x1,y1）>P2（x2，y2）的距離公式：I片兮1=&x2-x1）2+（y2—y/2.特例：點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)0的距離：IOP*x2+y2定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P（x，y）分有向線段pp所成的比為即pp=Xpp，其中1212卩1儀1$1),卩2儀2$2).則x=][:2,y=[2特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。直線的傾斜角(0°Wa<180°)、斜率:k=tana過兩點(diǎn)P(x,y),P(x,y)的直線的斜率公式：k=y2—yi.(x豐x)111222x—x1221當(dāng)x1=x2,y1豐y2(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角a=90。，沒有斜率⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線11：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0(C1hC2)，C—CI它們之間的距離為d，則有d二亙.A2+B2注；直線系方程與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m^R,C#m).與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m^R)過定點(diǎn)(x1,y1)的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)過直線1]、12交點(diǎn)的直線系方程：(A^+Bj+Cj+A(A2x+B2y+C2)=0(朕R)注：該直線系不含l2.關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于某直線對稱：⑴關(guān)于點(diǎn)對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點(diǎn)到兩直線的距離相等⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對稱，用中點(diǎn)表示兩對稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對稱直線上(方程①)，過兩對稱點(diǎn)的直線方程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求對稱點(diǎn)注：①曲線、直線關(guān)于一直線(y=±x+b)對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x-2對稱曲線方程是f(y+2,x-2)=0.②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線方程是f(a-x,2b-y)=0.二、圓的方程.⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)建立了如下關(guān)系：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)=0的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)(x,y)是方程f(x,y)=0的解；反過來，滿足方程f(x,y)=0的解所對應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=0圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—a)2+(y—b)2=r2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2+y2=r2.[r=bI,圓心(a,b)或(a,—b)]注：特殊圓的方程：①與[r=bI,圓心(a,b)或(a,—b)][r=laI,圓心(a,b)或(—a,b)][r=|a|,圓心(土a,[r=laI,圓心(a,b)或(—a,b)][r=|a|,圓心(土a,土a)]與;軸y軸都相切的圓方程（x土a）2+（y土a）2=a23.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0./當(dāng)D2+E2—4F>0時，方程表示一個圓，其中圓心c〔-D，—，半徑r=<D2+E2—4F.（22丿2（DE、當(dāng)D2+E2—4F=0時，方程表示一個點(diǎn)-一，-一.I22丿當(dāng)D2+E2—4FY0時，方程無圖形（稱虛圓）.注：①圓的參數(shù)方程：F=a+rC0弓（9為參數(shù)）.y=b+rsin9②方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且A=C豐0且D2+E2—4AF>0.圓的直徑或方程：已知A(xi,y1)B(x2,y2)n(x—xi)(x—x2)+(y—兒)(y—y2)=0(用向量可征).JLJL厶厶JL厶JL厶4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(x—a)2+(y—b)2=r2.M在圓C內(nèi)o(x0—a)2+(y0—b)2Yr2M在圓C上o(x0—a)2+(y0—b)2=r2③M在圓C外o（x0—a）2+（y0—b）2》r2直線l直線l:Ax+By+C=0(A2+B2豐0)；設(shè)圓圓C:（x一a）2+（y一b）2=r2（r》0）；圓心C（a,b）到直線l的距離d=.A2+B2d=r時，l與C相切；附：若兩圓相切，則F2+y2+D1x+已iy+F1=0n相減為公切線方程.x2+y2+Dx+Ey+F=0222dYr時，l與C相交；附：公共弦方程：設(shè)x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0有兩個交點(diǎn)，則其公共弦方程為（D：-D2）x+（E1—E2）y+（F廠F2）=0.

③dAr時，l與C相離.附：若兩圓相離，相減為圓心0102的連線的中與線方程.x2+y2+D]x+Ei附：若兩圓相離，相減為圓心0102的連線的中與線方程.x2+y2+D2x+E2y+F2=0=由代數(shù)特征判斷：方程組］(x-a)2+(y-b)2=r2用代入法，得關(guān)于x(或y)的一元二次方Ax+Bx+C=0程，其判別式為a，貝y：A=0ol與C相切；Aa0ol與C相交；Ay0ol與C相離.注：若兩圓為同心圓則x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F亍0相減，不表示直線.6.圓的切線方程：圓x2+y2=r2的斜率為k的切線方程是y=kx±+k2r過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P(x上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為:+F=0.一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.C,b)①一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，貝臨-a)(x0-一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.C,b)②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則＜y1-②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則＜|b-y1-k(a-xi)，聯(lián)立求出kn切線方程.BR=vR2+17.求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知00的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0…①又以ABCD為圓為方程為(x-xA)(x-a)+(y-yA)(x-b)=k2…②R2=(xA-a)2+(yA-b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求4三、曲線和方程曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(純粹性)；方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上(完備性)。貝9稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。求曲線方程的方法：.1)直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡化檢驗;2)參數(shù)法;3)定義法，4)待定系數(shù)法.NN的軌跡是橢圓錐曲線方程知識要點(diǎn)一、橢圓方程.橢圓方程的第一定義：IpfJ+IPF2=2aR\FF21方程為橢圓IpfJ+IPF\=2ay2無軌跡Ipf1+Ipf1=2a=Iff以f,f為端點(diǎn)的線段121212⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：迅+止=1(aRbRo).ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上:a2b222一般方程：Ax2+By2=1(AR0,BR0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：匚+h=1的參數(shù)方程為a2b2x=x=acos0y=bsin0(一象限0應(yīng)是屬于0y0y號)?y軸；長軸長2a，短軸長2b.③⑵①頂點(diǎn)：(±a,0)(0,±b)或(0,±y軸；長軸長2a，短軸長2b.③]■2焦點(diǎn)：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).④焦距：|FF|=2c,c=\a2-b2.⑤準(zhǔn)線：x=±—或12cy=±.⑥離心率：e=—(0yey1).⑦焦點(diǎn)半徑：ca22設(shè)P(x,y)為橢圓匚+^—=1(aRbR0)上的一點(diǎn)，F(xiàn),F為左、右焦點(diǎn)，則+ex0,PfI=a—ex0='0fa2b2121020由橢圓方程的第二定義可以推出.22設(shè)P(x,v)為橢圓—+二=1(aRbR0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)F2為上、下焦點(diǎn),7則=a+ey」PFI=a-ey0n00b2a2121020由橢圓方程的第二定義可以推出.由橢圓第二定義可知：龐|=e(x+竺)=a+ex(xy0),IpF1=e嚴(yán)-x)=ex-a(xR0)歸結(jié)起來為10c002c000“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acos0,bsin0)t方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d=空(—c,竺)和(c,竺)a2aaTOC\o"1-5"\h\z⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓+—=1(aRbR0)的離心率是e=—(c=、：a2—b2),方a2b2a程圧+22=t(t是大于0的參數(shù)，aRbR0)的離心率也是e=￡我們稱此方程為共離心率的a2b2a橢圓系方程.⑸若P是橢圓：—+丘=1上的點(diǎn).F’,F2為焦點(diǎn)，若ZFPF=0，則APF’Fc的面積為a2b2121212b2tan-(用余弦定理與Ipf11+IpfJ=2a可得).若是雙曲線，則面積為b2.cot22二、雙曲線方程.

雙曲線的第一定義：IIpFJ-IpFJ|=2aYIf]F2方程為雙曲線||PFJ-IPFJ|=2aIff2無軌跡llPFJ-IpFJ|=2a=FF2以F],F2的一個端點(diǎn)的一條射線⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：般方程：x2y2y2⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：般方程：—=1(a,b>0),—=1(a,b>0)a2b2a2b2Ax2+Cy2=1（ACY0）.⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：2頂點(diǎn)：（a,0）,（-a,0）焦點(diǎn)：（c,0）,（-c,0）準(zhǔn)線方程x=±—漸近線方程：—土—=0或cab旦-丘=0a2b22ii.焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：（0,-a）,（0,a）.焦點(diǎn)：（0,c）,（0,-c）.準(zhǔn)線方程：y=±—.漸近線x=asecx=asec9y=btan9x=btan9y=asec9方程：丄±-=0或丘-蘭=0，參數(shù)方程:aba2b2②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e=—.a④準(zhǔn)線距2a2c（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑竺.⑤參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2,e=-.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲aa線方程蘭-21=i（f十F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）a2b212“長加短減”原則：Mf|=ex+Mf|=ex+a10MfI=ex-a20構(gòu)成滿足MfI-Mf1=2a12MF=-ex-a10MF|=-ex+a20與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算,MfI=ey-a10MfI=ey+a20MFI=-ey0+aMfI=-ey0-a20⑶等軸雙曲線：雙曲線x2-y2=±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x，離心率e-<2.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.竺-21八與竺-竺=-九互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：旦-丘=0.a2b2a2b2a2b2

例如：若雙曲線一條漸近線為y=丄x且過p（3,