專題18 恒成立問題-最值分析法

專18成問-最分法【熱點焦與擴(kuò)展】不等式恒成立問題常見處理方法：①分離參數(shù)

a

恒成立

amax

可或

a

恒成立（

afmin

即可數(shù)結(jié)(

f

上方即可)；③最法：討論最fmin

或max

恒成立；④討參數(shù)最法解恒成立問題是三種方法中最為復(fù)雜的一種，但往往會用在解決導(dǎo)數(shù)綜合題目中的恒成立問此方法考查學(xué)生對所給函數(shù)的性質(zhì)的了解，以及含參問題分類討論的基本功是數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的難點問題面通過典型例題總結(jié)此類問題的解-最分析.1、最值法的特點：（1）構(gòu)造函數(shù)時往往將參數(shù)與變量放在不等號的一側(cè)，整體視為一個函數(shù)，其函數(shù)含參（2）參數(shù)往往會出現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而參數(shù)不同的取值會對原函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響——可能經(jīng)歷分類討論2、理論基礎(chǔ)：設(shè)

f

的定義域為

D（1若（2若

，均有，均有

ff

（其中為常數(shù)（其中為常數(shù)

fmaxfmin

3、技巧與方法：（1最值法解決恒成立問題會致所構(gòu)造的函數(shù)中有參數(shù)，進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作：①觀函數(shù)

f

的零點是否便于猜出（注意邊界點的值）②縮參數(shù)與自變量的范圍：通過代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調(diào)性分析）觀察在定義域中是否包含一個恒成立的區(qū)間（即無論參數(shù)取何值，不等式均成立自量取值范圍（2首先要明確導(dǎo)函數(shù)對原函的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào).如果所構(gòu)造的函，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號的式子拿出來構(gòu)造一個新函數(shù)，再想法解決其符號.（3在考慮函數(shù)最值時，除了靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點的出處，即“只有邊界點與極值點才是最值點

的候選點以有的討論點就中在“極值點”是否落在定義域內(nèi)【經(jīng)典題】例1安徽高三三模）知函數(shù)

f(x)(xx

2(R)

，其導(dǎo)函數(shù)為

f

x

，若對任意的

，不等式

2

f

恒成立，則實數(shù)的值范圍（）A，）

B．

C．

D．

【答案】【解析】由題意得

f

xx

，所以

2

對任意的x恒立等價于

mxe

xx

對任意的恒立即

對意的

x

恒成立令

g

，當(dāng)m時

g

x

，所以

，符合題意；當(dāng)m時

，

,0

上單調(diào)遞增，所以

gmin

g

，不合題意所以實數(shù)的取值范圍為

.故選：例2柳州高級中學(xué)高三模）如果關(guān)于的等式x3﹣2+1≥0在﹣，恒立，則實數(shù)的值范圍是（）A．≤0

B．l

C．≤2

D．

【答案】【解析】當(dāng)時不等式成立，

R當(dāng)時關(guān)于x的等式x

3﹣2

+1在

x

即

x

x

在

x

1212令

x

，

3，3當(dāng)

x

時，

x

，x

x

.所以

遞增，在當(dāng)

x

min當(dāng)

x

min

所以

所以a故選：例3河平頂山高三模）已知函數(shù)

f

2

成立，則k的最小值為（）A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】由題意，函數(shù)

f

2

成立，當(dāng)

時，取

時，可得

f

，所以

不符合題意，舍去；當(dāng)

時，令

，則

k)]

，令

x

，可得

或

x

kk

，（）k

12

時，則

kk

，則

恒成立，因此

，從而對任意

，總有

，即對任意

，都有

f

2

成立，所以

k

12

符合題意；（）

k時，，于x(0,

1),g，此在)內(nèi)調(diào)遞增，k2所以當(dāng)

x(0,

kk

)

時，

0

不成立，

aa所以

不符合題意，舍去，綜上可得，實數(shù)

的取值范圍是

12

，即實數(shù)

的最小值為故選：例4定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校三三模）已知函數(shù)

f

，若不等式

f

上恒成立，則實數(shù)a的值范圍是

)A．

a

B．

a

C．

a

D．

0【答案】【解析】設(shè)

x則

，當(dāng)時

，所以

x在

所以當(dāng)

x

時，1x

恒成立若不等式

f

x

上恒成立，得函數(shù)

f

在

上遞減，即當(dāng)x時

f'

恒成立，所以

f

x即

x

，得axx

恒成立，因為

,所以，故選A

．例5全高三三模等【答案】

ax于任意正實數(shù)恒立實的值范圍______．【解析】由不等式ax對任意正實數(shù)恒成立，令

f

x

x

x

，求導(dǎo)得

f

x

x

，因為e

x

，以按與比分類討論：當(dāng)

時，

f

上是增函數(shù)，又

f

．當(dāng)a時，因為

f

是增函數(shù)，所以

f

有唯一正數(shù)解，設(shè)為

，所以在區(qū)間

f

是減函數(shù)，

aa所以在

，不合題意．綜上所述，實數(shù)的值范圍是

．例6寧銀川一中三對于任意實數(shù)xx恒成立，則實數(shù)的值范圍為.【答案】a

當(dāng)

xx時xxaxax11【解析】當(dāng)

0xx時，x121

恒成立等價于

lnx22

恒成立，等價于

()

lnx

在(0,)上單調(diào)遞增，所以

g

1x

x2

1x在e上成立，x所以

ln

在

)

上恒成立，因為當(dāng)

x(0,e)

時，

1

，所以a.

故答案為：.例7江南·高三三模若任意ae，+e為然對數(shù)的底數(shù)式對意R恒立，則實數(shù)b取值范圍為______．

【答案】﹣，

)【解析】當(dāng)x時，然成立，R；當(dāng)

時，

，

lnblnx令

f(x)=ln，f

，易知：當(dāng)

x

時，

f

，

f()

遞增，當(dāng)x

時，

f

，

f()

遞減，∴

f(x)

()

，故

；綜上，實數(shù)b的值范圍為﹣，

)．故答案為：﹣，

)．例8河南陽中學(xué)高三三）已知函數(shù)

f(x)lnx

2

，

g(x)

，若對R

，總有

f(x0或()

成立，則實數(shù)的值范圍________【答案】

a

g()x

x()

x

a

)

h)xlnx

h

1h

11xxxh

1

h()

[

h)

1

故答案為：

a【精選練】1重高三三模）已知函數(shù)f(f(3)成立，則（）

f(x)

（a，對任意x都A．C．

lnln

B．．

lnln【答案】【解析】若對任意

x

都有

f

成立，則說明函數(shù)在

x

時取得最小值對數(shù)

f

求導(dǎo)得fx

，則應(yīng)滿足

f

，即

b

，構(gòu)造函數(shù)g

，則

x

a，a)

時，

g

，函數(shù)g

1,1)，，數(shù)遞減，所以當(dāng)a時，函數(shù)6

g)lnln6

，所以

g

恒成立，即

laa，lna

恒成立，故選D.2河邢·高三三模函

f

2x

在的取值范圍）

A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】

f

2x

，f

e

2x

由于函數(shù)

f

2x

在等式

f

f

所以，

f

max

2

，解得

因此，實數(shù)m取值范圍是

故選：3青西·高三三模）若不等式2xln對x，＋∞)恒立，則實數(shù)取值范圍是()A．(－∞，0)

B．(∞，4]

C，＋∞)

D．[4，∞)【答案】B【解析】由題意x

ax

對

x

上恒成立所以

x2lnxx在x

上恒成立設(shè)

y2ln,x

，則

23x2

由

y

xx1

當(dāng)

x

所以

時，

y

min

4

，所以a即實數(shù)的取值范圍是

4河三模）已知函數(shù)

f

x

，若不等式

f

恒成立，則實數(shù)的值范圍是（）A．

B．

C．

D．

【答案】

【解析】因為不等式

f

對任意

x

恒成立，所以m

x

對任意

x

恒成立，設(shè)

x

x

，

，則

x

.設(shè)

x

，則

h

x

，因為

在

x

上單調(diào)遞減，所以

，則

上單調(diào)遞減，所以

，所以

上單調(diào)遞減，所以

，解得，所以的值范圍是

2,

.故選：5四省瀘縣第四中學(xué)高三三模）若對任意

x

，xe

x

2lnx2x恒立，則a的值范圍是（）A．

B．

C．

2ln2

．

2

【答案】【解析】設(shè)

f

x

2lnx，f

恒成立，設(shè)

tln則tR，且

f

，設(shè)

tt，g

，

所以

上是減函數(shù)，在

上是增函數(shù)，所以

g

2

，所以

的最小值為22，即

f

的最小值為2，所以

2ln

.故選：．6江泰州中學(xué)高三三模）若關(guān)于x的等式x3對意的實數(shù)x及意的實數(shù)b[2,4]恒立，則實數(shù)的取值范圍______【答案】

(【解析于x的等式3對任意的實數(shù)x[1,3]及任意的實b[2,4]恒成立等于x2對任的實數(shù)x恒成立，即

x

在x[1,3]恒成立，設(shè)()

x

x

，則

4(2)gxx

，令

g

，得

，令

g

，得

，所以所以

x在(1,2)遞增，在遞，又g)，min

g(3)

，所以

a

，即a的值范圍是

(

，故答案為：

(7廣佛山一中高三三模）已知函數(shù)

f

lnx

，若

f

恒成立，則m的值范圍為__________【答案】

【解析】

f則f

恒成立，等價于m令

()lnx0),g'()

1(x因此

g()在(0,1)調(diào)遞增，在

單調(diào)遞減，故

g(x0max

取最大值取最大值故答案為：

8河南陽中學(xué)高三三模）已知函數(shù)

f))ax，中e為然對數(shù)的底數(shù).若不等式

f

恒成立，則

的最小值為________【答案】【解析】首先

，f

(x)

ae,xe

，由

f

，得

x

1a

，f()

在

1上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，所以當(dāng)

時，f

111feln(eeaaa

，即

，則

a

(a0)

有解，令

F(a

ln

，F(xiàn)

(a)

lna

，令

)

，得(a)

在

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，故

的最小值為

F(1)

.

，即的小值為.故答案為：e.9江鹽·高三三模）若對任意實數(shù)

x，有

ex

成立，則實數(shù)a的值為________【答案】【解析】設(shè)f()

2

exax

，若x判式4a2，2ax有，設(shè)一解為，

則

x

時

|f(x)

，不滿足

|f(

恒成立，則

，此時

，因為

e

x

2

a

e

x

x1)(

，①

2a

即

時數(shù)

f()

在

(21,1)

單調(diào)遞減，f(0)(2a|f(2

，不滿足題意；②

即

時，記

較小值為

，則

f()

在

單調(diào)遞增，由

f(0)可f

，f

，不滿足題意；③

即a

時，

f()

在，遞減，則

f)(0)

，f()

2

ex

，則

|f(x

成立，綜上a.故答案為：.10安淮·三模已知函數(shù)

f

為奇函數(shù)，

g

為偶函數(shù)，對于任意均f

都成立數(shù)的值范圍_.【答案】

2

【解析】由已知得

f

……①，所以

f

，因為f

為奇函數(shù)，

g

所以

……②，①②聯(lián)立解得

g

，將

f

代入不等式得

mx

，對任意

都成立，即

lnxx

，對任意

都成立，設(shè)

lnx1lnxxxx，hxx2x

，令

，解得

x

，

2aa2aa所以

h

在區(qū)間

調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減，所以

的最大值為

h

131

e

，即

，e2所以實數(shù)的取值范圍是

.11南·天津二五中三模）．=

f)3

對于

x成，則【答案】4【解析】要使

f(x0

恒成立，只要

f()在min

上恒成立．f

2

ax

2

1當(dāng)時，，以

f()min

，不符合題意，舍去．當(dāng)a時f

ax

2

3(

2