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文檔簡介
3.2.2函數(shù)的奇偶性
最新課程標準學科核心素養(yǎng)
1.了解函數(shù)奇偶性的概念.(數(shù)學抽象)
2.會利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性.(邏輯推
結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和
理)
幾何意義.
3.會利用奇、偶函數(shù)的圖象.(直觀想象)
4.能利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題.(邏輯推理)
―出—州,陶囪時陶?課前預習恤加州川"川川加州勿加加川州川加州勿川川勿州.
教材要點
要點
1.偶函數(shù)的概念
如果對一切使尸(X)有定義的X,尸(一王)也有定義,并且尺一%)=成立,則稱
尺X)為偶函數(shù).
2.奇函數(shù)的概念
如果對一切使網(wǎng)x)有定義的小尸(一x)也有定義,并且尺-x)=成立,則稱
尸(x)為奇函數(shù).
3.奇、偶函數(shù)的圖象特征
(1)奇函數(shù)的圖象關于成中心對稱圖形;反之,如果一個函數(shù)的圖象是以坐標
原點為對稱中心的中心對稱圖形,則這個函數(shù)是奇函數(shù).
(2)偶函數(shù)的圖象關于對稱;反之,如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱,則這
個函數(shù)是偶函數(shù).
狀元隨筆奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱,反之,若定義域不關于原點對稱,則這個
函數(shù)一定不具有奇偶性.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“J”,錯誤的畫“X”)
(1)已知/<x)是定義在R上的函數(shù).若f(—l)=f(l),則/Xx)一定是偶函數(shù).()
(2)偶函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)一定是偶數(shù).()
(3)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則A0)=0.()
(4)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù).()
2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()
A.y=|x\B.y=3~x
C.y=^D.y——f+14
3.若函數(shù)尸Ax),2,目是偶函數(shù),則a的值為()
A.-2B.2
C.OD.不能確定
4.下列圖象表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是________,是偶函數(shù)的是.(填序號)
環(huán)川川團勿川川川勿用勿勿勿勿勿勿川川川川川川田川川川川從周四陶1?I課I堂I解I透I-
題型1函數(shù)奇偶性的判斷
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1)/(%)=V1—x2+Vx2—1;
⑵/?=喑;
x+l
⑶3著
(4"(x)=「(l-x),x<0
1x(14-x),x>0.
方法歸納
判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.步驟如下:
①判斷函數(shù)Ax)的定義域是否關于原點對稱.若不對稱,則函數(shù)/Xx)為非奇非偶函數(shù),
若對稱,則進行下一步.
②驗證.F(—x)=—F(x)或f(—x)=F(x).
③下結(jié)論.若H—x)=-f(x),則/Xx)為奇函數(shù):
若/"(—x)=F(x),則f\x)為偶函數(shù);
若F(-X)W—f(x),且/X-x)Wf(x),則f(x)為非奇非偶函數(shù).
(2)圖象法:f(x)是奇(偶)函數(shù)的等價條件是/Xx)的圖象關于原點(y軸)對稱.
跟蹤訓練1(1)(多選)下列函數(shù)中,是偶函數(shù)的是()
A.y=Vl+x2B.
C.y—x尸X+X2
f-x2+1,x>0,
(2)函數(shù)f(x)=2是()
I-ix2-1,x<0
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
題型2函數(shù)奇偶性的圖象特征
例2已知函數(shù)尸f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當后0時,/"(x)=V+2x.現(xiàn)已知
畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.
(1)請補出完整函數(shù)y=f(x)的圖象.
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)尸fB的遞增區(qū)間.
(3)根據(jù)圖象寫出使y=f(x)<0的x的取值范圍.
方法歸納
1.巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟
(1)確定函數(shù)的奇偶性.
(2)作出函數(shù)在[0,+8)(或(一8,0])上對應的圖象.
(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關于原點(y軸)對稱得出在(-8,0](或[0,+8))上對應的函數(shù)
圖象.
2.奇偶函數(shù)圖象的應用類型及處理策略
(1)類型:利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題.
(2)策略:利用函數(shù)的奇偶性作出相應函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象直接觀察.
跟蹤訓練2設奇函數(shù)/"(X)的定義域為[-5,5],若當xW[0,5]時,F(xiàn)(x)的圖象如圖,
則不等式f(x)<0的解集是.
y=f(x)
題型3函數(shù)奇偶性的應用
角度1利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
例3(1)已知函數(shù)f(x)=<?—(2—而)x+3為偶函數(shù),則小的值是()
A.1B.2
C.3D.4
⑵函數(shù)F(x)=上瞽為奇函數(shù),則實數(shù)a=()
X2+8
A.-IB.1
C.--D.-
22
方法歸納
已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的三種思路
(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù),則可利用對稱性列出關于參數(shù)的方程.
(2)一般化策略:對x取定義域內(nèi)的任意一個值,利用/"(-X)與Hx)的關系式恒成立來
確定參數(shù)的值.
(3)特殊化策略:根據(jù)定義域內(nèi)關于原點對稱的特殊自變量值對應的函數(shù)值的關系列方
程求解,不過,這種方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗,看是否滿足條件,不滿足的要舍
去.
角度2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
例4(1)已知函數(shù)/■(“),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)—g(/)=
x+x+2,則/'(l)+g(l)=()
A.-2B.—1
C.ID.2
(2)已知函數(shù)/"(x)=af+"+3,且代一2)=10,則函數(shù)f(2)的值是.
方法歸納
利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法
已知函數(shù)的某一個值,求對應的函數(shù)值時,常利用函數(shù)的奇偶性或部分函數(shù)的奇偶性求
值.
角度3利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式
例5已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且xWO時,F(xiàn)(*)=*(x—1),求/Xx).
方法歸納
利用奇偶性求函數(shù)解析式的方法
已知函數(shù)的奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式,求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法
是:先設出未知解析式的定義區(qū)間上的自變量,利用奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱的特
點,把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上,代入己知的解析式,然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可.具體
如下:(1)求哪個區(qū)間上的解析式,x就設在哪個區(qū)間上;(2)將一“代入已知區(qū)間上的解析
式;(3)利用/,(x)的奇偶性把/"(一X)寫成一/Xx)或/Xx),從而解出對應區(qū)間上的f(x).
角度4奇偶性與單調(diào)性的簡單應用
例6(1)若對于任意實數(shù)x總有/"(—*)=汽”),且/'(*)在區(qū)間(-8,—1]上是增函
數(shù),則(
B./(2)</(-|)<A-l)
D.A-i)</(-|)<A2)
(2)定義在[—2,2]上的偶函數(shù)/'(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若/XI—而)</(而,求
實數(shù)0的取值范圍.
方法歸納
利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用己知的條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,把己知不等式轉(zhuǎn)化為flxS或f(為)
</(就的形式,再利用單調(diào)性脫掉求解.
(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致,偶函數(shù)的單調(diào)性相反,列出不等式或不等
式組,求解即可,同時要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.
跟蹤訓練3⑴設函數(shù)f(x)=(x+】)(x+a)為奇函數(shù),貝Ija=.
⑵若函數(shù)F(x)=3/+"+3&+6是偶函數(shù),定義域為[a—2,2a\,貝lja=,b
(3)已知/'(x)=x+ax+bx—?>f且f(—2)=10,則f(2)=_______.
⑷已知偶函數(shù)F(x),且當才£[0,+8)時,都有(小一及)?"(照)一/'(由)]V0成立,
令a=F(—5),b=,G),c=F(—2),則a,b,c的大小關系是(用“>”連接).
易錯辨析忽視函數(shù)的定義域致誤
例7關于函數(shù)f(x)=7x2-4+,4-X?與/?(x)=Vx-4+=4-x的奇偶性,下列說
法正確的是()
A.兩函數(shù)均為偶函數(shù)
B.兩函數(shù)都既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
C.函數(shù)/Xx)是偶函數(shù),爾x)是非奇非偶函數(shù)
D.函數(shù)/1(X)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),A(x)是非奇非偶函數(shù)
Y2—A.>Q
一即丁=4,因此函數(shù)/■(*)
{4-x2>0,
的定義域為{-2,2},關于原點對稱,此時f(x)=0,滿足/'(—X)=一f5),f(—x)=F(x),
所以函數(shù)/Xx)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),而函數(shù)從+的定義域為{4},不關
于原點對稱,因此函數(shù)小x)是非奇非偶函數(shù).故選D.
答案:D
易錯警示
易錯原因糾錯心得
根據(jù)函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性首先應確定函
數(shù)的定義域,只有在函數(shù)的定義域關于原點對稱的情
忽視了函數(shù)的定義域,直接利用函數(shù)
況下,才能根據(jù)解析式是否滿足f(—X)=—f(x),f(-
奇偶性的定義判斷,錯選了C.
x)=f(x)判斷函數(shù)的奇偶性.若函數(shù)的定義域不關于
原點對稱,則可以直接說明函數(shù)是非奇非偶函數(shù).
課堂十分鐘
1.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的有()
A.y=/+VxB.y=i(x>0)
C.y=d+lD.尸立i
2.函數(shù)尸券的圖象大致為()
AB
CD
3.設奇函數(shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù),且/'(1)=0,則不等式3與1)<0的解集
X
為()
A.(-1,O)U(1,+8)B.(-8,-I)U(o,1)
C.(-8,-l)u(1,+8)D.(-1,0)U(0,1)
X十x,XU,是奇函數(shù),則@=________.
ax2+x,x<0
5.已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f{x)=%(%—1),求函數(shù)/'(x)
的解析式.
抽象函數(shù)
沒有給出具體解析式的函數(shù),稱為抽象函數(shù).
題型1抽象函數(shù)的定義域
(1)函數(shù)f(x)的定義域是指X的取值范圍.
(2)函數(shù)f(6(x))的定義域是指x的取值范圍,而不是?(x)的取值范圍.
(3)f(t),f(6(x)),f(h(x))三個函數(shù)中的t,6(x),h(x)在對應關系f下的范圍相
同.
例1已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],求函數(shù)g(x)=f(x+m)+f(x—m)(m>0)的定
義域.
思路分析:由f(x)的定義域為[0,1]可知對應關系f作用的范圍為[0,1],而f(x+m)
+f(x—m)的定義域是指當x在什么范圍內(nèi)取值時,才能使x+m,x—m都在[0,1]這個區(qū)間
內(nèi),從而使f(x+m)+f(x—m)有意義.
解析:由題意得職<x+mWl,^(-m<x<1-m,
V—m<m,1—m<l+m,而m與1—m的大小不確定,
...對m與1-m的大小討論.
①若in=l-m,HPm=|,則x=m=/
②若m<l—m,即m<點則m<xWl—m;
③若m>l—m,即m>[,貝ijxG0.
綜上所述,當0<mW3寸,函數(shù)g(x)的定義域為{x|mWxWl-m},當m>[時,函數(shù)g(x)
的定義域為。.
題型2抽象函數(shù)的奇偶性
對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷,由于無具體的解析式,要充分利用給定的函數(shù)方程關系式,
對變量進行賦值,使其變?yōu)楹衒(x),f(—x)的式子.再利用奇偶性的定義加以判斷.其
解題策略為
(1)要善于對所給的關系式進行賦值.
(2)變形要有目的性,要以"六一*)與£6)的關系”為目標進行化簡和變形.
例2函數(shù)f(x),xeR,若對任意實數(shù)a,b,都有/1(a+6)=f(a)+F(6),求證:F(x)
為奇函數(shù).
證明:令a=0,則f(6)=f(0)+f(6),AO)=0.
又令a=-x,b=x,代入/'(a+6)=f(a)+F(6),
得/?(-x+x)=f(—x)+f(x).
即f(-x)+f(x)=0,
f(.—x)——f(x).
??.丹二為奇函數(shù).
題型3抽象函數(shù)的單調(diào)性
判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性,通常利用單調(diào)性的定義,但要注意充分運用所給條件,判斷出
函數(shù)值之間的關系.
常見思路:先在所證區(qū)間上任取兩數(shù)x?x2(x)<x2),然后利用題設條件向已知區(qū)間上
轉(zhuǎn)化,最后運用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問題.
例3已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x#0,xeR),對定義域內(nèi)任意的小,“2都有f(xiX2)
=f(,Xi)+f{x2),且當x>1時,f{x}>0.
(1)求證:Hx)是偶函數(shù);
(2)求證:f(x)在(0,+8)上是增函數(shù);
(3)試比較《一|)與/g)的大小.
思路分析:(1)利用賦值法證明f(-x)=F(x);(2)利用定義法證明單調(diào)性;(3)利用
函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
解析:(1)證明:由題意可知函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱.
;對定義域內(nèi)任意的X,彳2,都有F(XlX2)=F(X1)+F(X2),
???令為=照=1,得F(l)=2。⑴,Artl)=0.
令占=茲=一1,得五(一l)X(—1)]=人一1)+F(—1),
即F(l)=2F(—1),即2F(—1)=0,F(—1)=0.令Xi=-1,x2=xf
/.f{~x)=/[(—1)?x]=£(—1)+F(x)=F(x),
???F(x)是偶函數(shù).
(2)證明:任取小,x2e(0,+8),且X]Vx2,則/'(入2)=/Xi?")一/(汨)=〃汨)
+底)T?=喧),
???GQ。,吟>1,又?.?當x>l時,f(x)>。,二唁)〉。,
即f{x2)>0,
:vf(xD,
???F(x)在(0,+8)上是增函數(shù).
(3)由(1)知f(x)是偶函數(shù),則有《一|)=《|).
由(2)知/Xx)在(0,+8)上是增函數(shù),且
24
則/0?
?.?)>?
3.2.2函數(shù)的奇偶性
新知初探?課前預習
要點
1.尸(x)2.一尸(x)3.原點y軸
[基礎自測]
1.答案:(1)X(2)X(3)V(4)X
2.解析:A、D兩項,函數(shù)均為偶函數(shù),B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),而C項中函數(shù)為
奇函數(shù).
故選C.
答案:C
3.解析:因為偶函數(shù)的定義域關于原點對稱,所以-2+a=0,所以a=2.
故選B.
答案:B
4.解析:(1)(3)關于y軸對稱是偶函數(shù),(2)(4)關于原點對稱是奇函數(shù).
答案:(2)(4)(1)(3)
題型探究?課堂解透
例1解析:(1)函數(shù)/'(x)=Vr耳+的定義域為{-1,1},關于原點對稱,
此時f(x)=0,所以函數(shù)F(x)=71^3?+疹二I既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(2)函數(shù)f(x)的定義域是(一8,-l)u(-l,+8),不關于原點對稱,是非奇
非偶函數(shù).
(3)函數(shù)/.5)=與景的定義域為(一8,0)U(0,+8),關于原點對稱.又因為f(一”)
=上當二=至二=f(X),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
|-x|X|x|
(4)方法一:??,函數(shù)f(x)的定義域是(-8,0)u(0,+8),關于原點對稱.
當x>0時,一xVO,
工F(—x)=(-x)[1—(―x)]=-x(l+x)=—f(x).
當xVO時,一元>0,
/.f(—x)=-X(1—X)=-f(x).
???函數(shù)廣(X)為奇函數(shù).
方法二:作出函數(shù)的圖象,如圖所示的實線部分:由圖可知,該函數(shù)為奇函數(shù).
跟蹤訓練1解析:(1)由偶函數(shù)的定義可知AC是偶函數(shù).故選AC.
(2)函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,+8),關于原點對稱.當x>0時,一“<0,A-
X)—X)"—1=—(i%+1)=-f(x);
22
當x<0時,-x>0,/'(—x)=|(—x)2+l=|x2+l=—(—1)=-f{x).
f-x2+1,x>0.
綜上可知,函數(shù)/'(X)=<2
I--x2—1,x<0
是奇函數(shù).故選A.
答案:(1)AC(2)A
例2解析:(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖:
(2)據(jù)圖可知,單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),(1,+8).
(3)據(jù)圖可知,使/'(x)<0的x的取值范圍為(-2,0)U(0,2).
跟蹤訓練2解析:由奇函數(shù)的性質(zhì)知,其圖象關于原點對稱,則f(x)在定義域[-5,
5]上的圖象如圖,由圖可知不等式rUXO的解集為{x|-2<x<0或2〈啟5}.
例3解析:(1)f(—x)=(―A)'—'(2—卬)(一x)+3=x'+(2—必)x+3,由函數(shù)尸/'(x)
為偶函數(shù),知/"(—x)=『(*),即/+(2—ni)3—x-(2—m)x+3,;.2—rn=—(2一ni),
m=2.故選B.
⑵由題意/Xx)為奇函數(shù),則f(0)=0,即0+2a+3=0,...a=一:.此時/■⑺:會為
2xz+8
奇函數(shù).
故選C.
答案:(1)B(2)C
例4解析:(1)'?/'(X)—g(x)=*3+/+2,
由一x代入x得:f{~x)—g(—*)=—x+x+2
由題意知意一x)=F(x),g(—x)=—g(x),
/.f(x)+g(x)=~x+x+2,
所以Al)+g⑴=—l+l+2=2.故選D.
(2)令g(x)=ax+bx
?;g(—x)=a(—f)+力(一x)=—ax—bx=—{ax-\-bx)=-g(x),
?,.g(x)為奇函數(shù).???『(一x)=g(—x)+3=—g(x)+3,
VA-2)=io,
.??g(2)=-7,???f(2)=屋2)+3=—7+3=—4?
答案:(1)D⑵—4
例5解析:當x>0時,-KO,則F(—x)=-x(—x—1)=x(x+l),又函數(shù)F(x)是定
義在R上的偶函數(shù),所以當x〉O時,F(xiàn)(x)=1'(—x)=x(x+l).
所以f(x)=F(x+l)'X>0
lx(x-1),x<0
例6解析:(1”.?對任意實數(shù)x總有f(一力=F(x),,=x)為偶函數(shù),.*.f(2)=f(一
2).
又一又在區(qū)間(一8,-1]上是增函數(shù),一2〈一|<—1,.?"(2)<《一|)"(—1).
故選B.
(2)??-函數(shù)F(x)是偶函數(shù),???f(x)=f(Ix|).
:?=/(|1—m\),—=一(|%|).
-2<1-m<2,
-2<m<2,解得一1W嗎
{|1-m|>|m|,
...實數(shù)力的取值范圍是卜1,
答案:(DB(2)見解析
跟蹤訓練3解析:(1)方法一(定義法)由已知
/■(—*)=—F(x),
gp(-x+l)(-x+a)__(x+l)(x+a)
-XX.
顯然xWO得,x—(a+1)x+a=x~+(a+1)x+a,
故a+l=O,得a=-1.(經(jīng)檢驗滿足題意)
方法二(特值法)由f(x)為奇函數(shù)得
1)=—/?⑴,
p?j(-l+l)(~~l+a)___(l+l)(l+a)
-1-1
整理得a=-l.
(2)由/Xx)為偶函數(shù)知,其定義域關于原點對稱,
故有a—2+2a—0,解得a=|.
又因為f(x)為偶函數(shù),所以其圖象關于y軸對稱,
即一色=0,解得6=0.
2a
(3)令/⑼=系+且^+以,
則g(x)是定義在R上的奇函數(shù).
從而g(—2)=-g(2).
又/'
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