廣東省揭陽市普寧國賢學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

答案第=page1919頁，共=sectionpages1919頁答案第=page2020頁，共=sectionpages11頁高三數(shù)學(xué)一、單選題(共40分)1．若集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．小明和李華在玩游戲，他們分別從1~9這9個(gè)正整數(shù)中選出一個(gè)數(shù)告訴老師，老師經(jīng)過計(jì)算后得知他們選擇的兩個(gè)數(shù)不相同，且兩數(shù)之差為偶數(shù)，那么小明選擇的數(shù)是偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)(其中)存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．(1，3] C．(2，3) D．(2，3]6．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A．B．C． D．7．現(xiàn)有下列五個(gè)結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)為（

）①若，則有；②對(duì)任意向量、，有；③對(duì)任意向量、，有；④對(duì)任意復(fù)數(shù)，有；⑤對(duì)任意復(fù)數(shù)，有．A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，已知正方體的棱長為分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)的軌跡是（

）A．一條線段B．一段圓弧C．一部分球面D．兩條平行線段二、多選題(共20分)9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其樣本平均數(shù)為.現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)，且，組成新的樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)可能（

）A．平均數(shù)不變B．眾數(shù)不變C．極差變小 D．第20百分位數(shù)變大10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，則（

）A．B．C．D．11．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則12．在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)于任意的，都有B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，三、填空題(共20分)13．中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.14．已知，則___________.15．已知為奇函數(shù)，則________．16．球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成，球的半徑為為球表面上兩動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).半徑為2的球在球的內(nèi)壁滾動(dòng)，點(diǎn)在球表面上，點(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，若，則三棱錐體積的最大值是___________.四、解答題(共70分)17．已知數(shù)列滿足，其中是的前項(xiàng)和.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)的重心為.(1)求證：平面(2)若，求二面角的正弦值.19．如圖，已知，平面內(nèi)任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.設(shè)（為單位向量）.(1)求的長；(2)在中，若，試求的取值范圍.20．某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測，認(rèn)為直徑在之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測，則這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是多少？21．已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若，求l的方程．22．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.參考答案：1．C【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得.【詳解】，.故選：C2．C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求得的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以.故選：C.3．B【分析】利用兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若直線與直線平行，則且，因?yàn)椤啊薄扒摇保啊薄扒摇?，因此，“”是“直線與直線平行”的必要不充分條件.故選：B.4．A【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：設(shè)兩數(shù)之差為偶數(shù)為事件，小明選擇的數(shù)是偶數(shù)為事件，由于他們選擇的兩個(gè)數(shù)不相同，且兩數(shù)之差為偶數(shù)，則小明選擇的數(shù)是偶數(shù)的概率為：.故選：A．5．C【分析】先判斷，再判斷指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】由函數(shù)的解析式可知，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上無零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由于單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有，從而所以實(shí)數(shù)的取值范圍是(2，3)，故選：C.6．C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可算出答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，．故選：C7．D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算法則判斷①，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷②③，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的定義判斷④⑤.【詳解】根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算法則正確，故①正確；對(duì)任意向量、，，故②不正確；對(duì)任意向量、，有，故③正確；對(duì)任意復(fù)數(shù)，不妨設(shè)，則，而，顯然不成立，故④錯(cuò)誤；對(duì)任意復(fù)數(shù)，不妨設(shè)，則，所以，，所以有，故⑤正確.故選：D8．B【分析】由題意，構(gòu)造直角三角形，利用其性質(zhì)求得的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得到中點(diǎn)的距離，可得答案.【詳解】由題意，連接，，，，取中點(diǎn)為，連接，如下圖：在正方體中，易知為直角三角形，為的中點(diǎn)，在中，；在中，，，且為的中點(diǎn)，，在中，，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，故選：B.9．BD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、眾數(shù)以及百分位數(shù)的定義判斷求解.【詳解】因?yàn)?，所以新的樣本?shù)據(jù)平均數(shù)減小，A錯(cuò)誤；加入一個(gè)新數(shù)據(jù)，則眾數(shù)仍有可能為原數(shù)據(jù)的眾數(shù)，B正確；若加入一個(gè)新數(shù)據(jù)不是最大值也不是最小值，則新數(shù)據(jù)極差等于原數(shù)據(jù)極差，C錯(cuò)誤；若為原數(shù)據(jù)從小到大排列的第20為后的數(shù)，因?yàn)闃颖緮?shù)增加，所以第20百分位數(shù)可能后移，則新數(shù)據(jù)第20百分位數(shù)可能變大.D正確，故選:BD.10．ABC【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示與旋轉(zhuǎn)角的定義推得是正三角形，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭钦切?，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．.11．【答案】CD【詳解】對(duì)于A：若，則.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)?，此時(shí)k=0，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD12．ACD【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.【詳解】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；C：由且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項(xiàng)，判斷是否與矛盾；對(duì)于C、D，將遞推式變形為，討論、時(shí)研究數(shù)列的單調(diào)性.13．【分析】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，再求出展開式中的系數(shù)，從而可求解.【詳解】，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，要得到，則，解得.的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.14．##【分析】先利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與倍角公式將等式轉(zhuǎn)化為，解之即可.【詳解】令，則，所以，因?yàn)?，所以，整理得，則，解得或（舍去），所以，即.故答案為：.15．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得，化簡即得，即可求得答案.【詳解】由題意可得滿足且，則有，即，故，即，因?yàn)闀r(shí)，定義域?yàn)?，滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，不合題意，故，則的自變量x可取到0，且函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不恒等于0，故，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽,滿足,即為奇函數(shù)，故答案為：15【分析】作出圖形，在球中求得三角形的面積的最大值為3，作出圖形，求得點(diǎn)為到平面的距離最大值為15，根據(jù)錐體的體積公式即可求得答案.【詳解】解：如圖一所示：在圓中，因?yàn)辄c(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，且，所以為直角三角形，且，又因?yàn)椋钥傻?，設(shè)，則有，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；如圖二所示：因?yàn)榍虻陌霃綖?，為線段的中點(diǎn)，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線且為如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)為到平面的距離最大，即此時(shí)三棱錐的高最大，此時(shí),所以此時(shí),即三棱錐體積的最大值是15.故答案為：15.17．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，根據(jù)此遞推關(guān)系即可根據(jù)等差中項(xiàng)求證，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】（1）由得：當(dāng)時(shí)，，兩式子相減得①，因此可得②，①②相減得：，由于，所以，所以是等差數(shù)列；（2）由（1）知是等差數(shù)列，，所以，因此，所以.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，然后利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【詳解】（1）因?yàn)榈闹匦臑?，為中點(diǎn)，所以，又，所以，即，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以二面角的正弦值.19．(1)(2)【分析】（1）利用向量的四則運(yùn)算結(jié)合單位向量的概念即可求解；（2）利用正弦定理邊角互化即可求解.【詳解】（1）連接，由題意，得，所以，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以.（2）因?yàn)樵谥校?，所以由正弦定理邊角互化得，即，由于，所以，又因?yàn)?，所以，在中由正弦定理得，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即所求的取值范圍?20．(1)見解析；(2)0.【分析】（1），故至少有1個(gè)次品的概率為，根據(jù)小概率事件說明即可；（2）次品的概率為，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測，至少有1個(gè)次品的概率為，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，至少有一個(gè)次品的概率約為，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題，即這一標(biāo)準(zhǔn)是合理的.（2）次品的概率為，抽取100個(gè)零件進(jìn)一步檢測，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，故，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，即，即，解得.因?yàn)?，所以，?故這100個(gè)零件中的次品數(shù)最可能是0.21．(1)(2)或【分析】（1）聯(lián)立方程利用運(yùn)算求解；（2）分析可得，設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，消去x得，∵拋物線C與直線相切，則，解得或（舍去）故拋物線的方程C