北師大版選擇性必修第一冊3.4.3第1課時空間中的角作業(yè)

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時空間中的角1.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為2,則異面直線A1B與B1C夾角的余弦值是().(第1題)A.32 B.12 C.解析:如答圖,以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A1(0,-1,2),B(3,0,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),(第1題答圖)所以A1B=(3,1,-2),B1C=(-所以cos<A1B,答案:C2.把矩形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=3,AC=72,則平面ABD與平面BCD的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.90°解析:過點(diǎn)A作AE⊥BD,過點(diǎn)C作CF⊥BD(圖略),則AE=32,BE=1所以EF=1.因?yàn)锳C=所以|AC|2=|AE|2+|EF|2+|FC|2+2|AE||FC|·cos<AE,FC>,且|AE|=|FC|=32,|所以cos<AE,FC>=-所以平面ABD與平面BCD的夾角是60°,故選B.答案:B3.如圖,已知P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC.F為PC的中點(diǎn),則二面角C-BF-D的平面角的正切值為().(第3題)A.36 B.C.33 D.解析:設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O,連接OF,如答圖.(第3題答圖)∵四邊形ABCD為菱形,∴O為AC的中點(diǎn),AC⊥BD.∵F為PC的中點(diǎn),∴OF∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,∴B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,D-32,0,0.∴OC=0,12,0,且OC為平面BDF的一個法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可求得平面BCF的一個法向量為n=(1,3∴cos<n,OC>=217,從而sin<n,OC>=277,∴tan<n,OC由圖形知二面角C-BF-D的平面角為銳角,∴其正切值為23答案:D4.如圖,已知P是二面角α-AB-β棱上的一點(diǎn),分別在α,β平面內(nèi)引射線PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的平面角等于().(第4題)A.60° B.70° C.80° D.90°解析:如答圖,設(shè)PM=a,PN=b,過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作NF⊥AB于點(diǎn)F,則因∠BPM=∠BPN=45°,故PE=a2,PF=b(第4題答圖)于是EM·FN=(PM-PE)·(PN-PF)=PM·PN-PM·PF-PE·PN+PE·因?yàn)镋M,FN分別是α,β內(nèi)的與棱AB垂直的兩條直線,所以向量EM與FN的夾角就是平面α與β的夾角,即為答案:D5.在正四棱錐P-ABCD中,高為1,底面邊長為2,E為BC的中點(diǎn),則異面直線PE與DB的夾角為.?(第5題答圖)解析:如答圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).∴cos<DB,PE>=DB·PE|DB||∴PE與DB的夾角為π3答案:π6.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,平面α過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),若平面α與平面xOy的夾角為45°,則a=.?解析:平面xOy的一個法向量為n=(0,0,1).設(shè)平面α的法向量為u=(x,y,z),則有-從而3x=4y=az,取z=1,得u=a3,a4,1為平面α所以|cos<n,u>|=1a又因?yàn)閍>0,所以a=125答案:127.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的平面角大小為.?(第7題答圖)解析:如答圖,以C為原點(diǎn),BC,CD,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為a,則A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=設(shè)平面ABD1的法向量為n=(x,y,z),則n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=∵a≠0,∴y=0,x=z.取x=z=1,則n=(1,0,1)為平面ABD1的一個法向量.同理可得平面B1BD1的一個法向量為m=(1,1,0).∵cos<n,m>=n·∴<n,m>=60°.而二面角A-BD1-B1為鈍角,故為120°.答案:120°8.如圖,在多面體A-PCBE中,四邊形PCBE是直角梯形,且PC⊥BC,PE∥BC,平面PCBE⊥平面ABC,AC⊥BE,M是AE的中點(diǎn),N是PA上的點(diǎn).(第8題)(1)若MN∥平面ABC,求證:N是PA的中點(diǎn);(2)若PE=13BC,且AC=BC=PC,求二面角E-AB-C的平面角的余弦值(1)證明:∵PE∥BC,PE?平面ABC,BC?平面ABC,∴PE∥平面ABC.∵A∈平面ABC,A∈平面PEA,令平面ABC∩平面PEA=l,∴A∈l.∵PE?平面PEA,∴PE∥l.已知MN∥平面ABC,同理可證,MN∥l.∴MN∥PE.∵M(jìn)是AE的中點(diǎn),∴N是PA的中點(diǎn).(2)解:∵平面PCBE⊥平面ABC,平面PCBE∩平面ABC=BC,PC⊥BC,∴PC⊥平面ABC,從而PC⊥AC.∵在梯形PCBE中,PE∥BC,∴PC與BE相交.∵AC⊥BE,∴AC⊥平面PCBE.∵BC?平面PCBE,∴AC⊥BC.∴CA,CB,CP兩兩垂直.如答圖,以C為原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.(第8題答圖)設(shè)BC=3a,則E(0,a,3a),A(3a,0,0),B(0,3a,0),C(0,0,0),P(0,0,3a),∴EA=(3a,-a,-3a),EB=