醫(yī)用高等數(shù)學(xué)：二重積分

第五節(jié)二重積分一、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的計算柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂1.曲頂柱體的體積一、二重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體：以曲面z=f(x,y)為頂，

z=f(x,y)在D上連續(xù).以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準(zhǔn)線，母線平行于z軸.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂曲頂柱體

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示步驟如下：

用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積

先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域D

z

=f(x,y)yxz?(1)分割(2)近似(3)作和(4)取極限令存在,且此極限的取得與閉區(qū)域D的分法及點(diǎn)的取法無關(guān),則稱這個極限為f(x,y)在D上的二重積分，記為

定義4-7

設(shè)f(x,y)是有界閉域D上的二元連續(xù)函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成個小閉區(qū)域其中

表示第個小閉區(qū)域,也表示它的面積.在每個小閉區(qū)域上任意取一點(diǎn)

,作和式2.二重積分的定義令d表示中最大直徑,若極限積分區(qū)域積分變量積分和被積函數(shù)面積元素為積分表達(dá)式曲頂柱體體積

注意

二重積分存在,則積分值與的分法無關(guān).因此,為了方便計算,在直角坐標(biāo)系中我們用若干條平行于軸、軸的直線將分成個小區(qū)域.故二重積分可寫為則面積元素為積分變量Ddydx性質(zhì)4-1

為常數(shù)時性質(zhì)4-23.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)4-3對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4-4

若為D的面積，則性質(zhì)4-5

若在D上則性質(zhì)4-7

（二重積分中值定理）

性質(zhì)4-6

設(shè)、分別是在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù),為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn),使得

1.直角坐標(biāo)系下的計算

二重積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān),為此,先介紹積分區(qū)域D.二、二重積分的計算

(1)－型區(qū)域

的特點(diǎn)：平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)最多只有兩個.

－型區(qū)域

(2)－型區(qū)域

的特點(diǎn)：平行于軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)最多只有兩個.

－型區(qū)域(3)矩型域

－型區(qū)域下二重積分的計算:

由二重積分的幾何意義，若?(x,y)≥0，則

其中V為如圖所示的曲頂柱體的體積.下面用微元法來求曲頂柱體的體積

在區(qū)間上任取一點(diǎn),作平行于的平面,截曲頂柱體,得到一截面,此截面的面積

曲頂柱體在間距為的兩個截面間的體積微元

由微元法可得曲頂柱體的休積故(4)若?(x,y)≤0仍然適用.

注意

(1)二重積分可化為二次定積分計算;(3)為方便,公式也常記為：(2)－型區(qū)域的積分次序先后;－型區(qū)域的積分次序先后.或－型域下二重積分的計算同理:矩形域下二重積分的計算

特別地,若,則因為對積分是常數(shù),且是常數(shù).所以解法一先積再積

例4-32

計算二重積分,其中為矩形：解法二

先積再積

解［X－型］

例4-33

求,其中是由拋物線和所圍成的區(qū)域.例3-34-12解（如圖)將D看作Y型按先y后x的方法如何計算呢?

例4-35

計算,其中由直線、、所圍成.

解積分區(qū)域既是－型，又是－型的.若先對,再對積分

以上積分不容易求出,因為的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.換一種積分次序計算:先對,再對積分例4-36

交換下列二次積分的積分次序．(1)(2)

解:(1)按原積分的上下限,積分區(qū)域為-1更換積分次序,分為兩個－型區(qū)域因此

(２)按原積分的上下限,積分區(qū)域由和組成更換積分次序,為－型區(qū)域因此2.在極坐標(biāo)下的計算

當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,被積函數(shù)為、等用極坐標(biāo)表示比較簡單時,?？紤]利用極坐標(biāo)計算二重積分.從圖中可以看出所以下面討論面積元素在極坐標(biāo)下的表示用以極點(diǎn)為中心的一組同心圓，從極點(diǎn)出發(fā)一組射線，將區(qū)域分成小區(qū)域(1)極點(diǎn)O在積分區(qū)域內(nèi)部

:D(2)極點(diǎn)O在積分區(qū)域邊界上(3)極點(diǎn)O在積分區(qū)域外部

例4-37計算,其中區(qū)域解故2

例4-38計算,其中是由(的上方)及圓(的外部)和(的內(nèi)部)所圍成的閉區(qū)域.

解:圓的極坐標(biāo)方程為;圓的極坐標(biāo)方程為.由