相似三角形的性質 【教材精講精研】 九年級數(shù)學下冊 （人教版）

相似三角形的性質1.理解并掌握相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于相似比，相似三角形對應線段的比等于相似比;(重點)2.理解并掌握相似三角形周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方;(重點)3.利用相似三角形的性質解決簡單的問題.(難點)相似三角形的判定方法有哪幾種？?定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似.?平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構成的三角形與原三角形相似.?三邊成比例的兩個三角形相似.?兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.?兩角分別相等的兩個三角形相似.?一組直角邊和斜邊成比例的兩個直角三角形相似.

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？如圖，分別作△ABC和△A′B′C′的對應高AD和A′D′.∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠B=∠B′

又AD⊥BC，A′D′⊥B′C′

∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴△ABD∽△A′B′D′∴

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？

∴

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？

相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.一般地，我們有：相似三角形對應線段的比等于相似比.如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.∵△ABC∽△A′B′C′

∴∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′

∴相似三角形周長的比等于相似比.如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.相似三角形面積的比等于相似比的平方.相似三角形面積的比與相似比有什么關系？知識點一

相似三角形對應線段之比相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.知識點二

相似三角形的周長之比相似三角形周長的比等于相似比.類似地，相似多邊形周長的比等于相似比.知識點三

相似三角形的面積之比相似三角形面積的比等于相似比的平方.類似地，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.解：在△ABC和△DEF中∵AB=2DE，AC=2DF又∵∠D=∠A∴△DEF∽△ABC，相似比為1:2∴例1.如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE

，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為例2.如圖，D，E分別是AC，AB上的點，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且又∵△ABC的面積為100cm2，∴△ADE的面積為36cm2.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB∴△ADE∽△ABC,∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC又∵S△ADE:S△EFC=4:9∴AE:EC=2:3則AE:AC=2:5∴S△ADE:S△ABC=4:25∴S△ABC=25

A

C

C

B

D6.如圖，在△ABC中DE∥BC，AD=3BD,S△ABC=48.求S△ADE.解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴7.如圖，AD是△ABC的高，點P,Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=60cm,AD=40cm,四邊形PQRS是正方形.求正方形PQRS的邊長.解:四邊形PQRS是正方形∴SR∥BC∴△ASR∽△ABC∴設正方形PQRS的邊長為xcm,則AE=(40-x)cm.即，解得x=24正方形PQRS的邊長為24cm.8.如圖，點E是正方形ABCD的邊DC的中點，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接AQ.(1)求證:△ADE∽△ECQ;(2)設S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,求證:S1+S2=S3.證明:∵四邊形ABCD與四邊形AEHG是正方形∴∠ADE=∠ECQ=90°，∠AEH=90°∴∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠CEQ=90°∴∠DAE=∠CEQ∴△ADE∽△ECQ(2)設S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,求證:S1+S2=S3.證明:∵△ADE∽△ECQ∴∵DE=CE,∴∵∠AEG=∠ECQ=90°∴△AEQ∽△ECQ∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE∴(2)設S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,求證:S1+S2=S3.∴∵∴∴知識點一

相似三角形對應線段之比相似三角形對應高的比，