2022考研數(shù)學(xué)一真題及答案

2021考研數(shù)學(xué)一真題及答案

一、選擇題1—8小題．每題4分，共32分．

１．以下曲線有漸近線的是

〔A〕yxsinx〔B〕yx2sinx

11

〔C〕yxsin〔D〕yx2sin

xx

【分析】只需要判斷哪個(gè)曲線有斜漸近線就可以．

1y1

【詳解】對(duì)于yxsin，可知lim1且lim(yx)limsin0，所以有斜漸

xxxxxx

近線yx

應(yīng)該選〔C〕

2．設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)f(0)(1x)f(1)x，那么在[0,1]上〔〕

〔A〕當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)g(x)〔B〕當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)g(x)

〔C〕當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)g(x)〔D〕當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)g(x)

【分析】此題考察的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．

【詳解1】假如對(duì)曲線在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義比擬熟悉的話，可以直接做出判斷．假如

對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1,x2及常數(shù)01，恒有

f(1)x1x2(1)f(x1)f(x2)，那么曲線是凸的．

x,x,x

顯然此題中1021，那么

fxfx

(1)(1)(2)f(0)(1x)f(1)xg(x)，而f(1)x1x2f(x)，

f(x)()()()()

故當(dāng)0時(shí)，曲線是凸的，即f1x1x21fx1fx2，也就

是f(x)g(x)，應(yīng)該選〔C〕

【詳解2】假如對(duì)曲線在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義不熟悉的話，可令

F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，那么F(0)F(1)0，且

1

F"(x)f"(x)，故當(dāng)f(x)0時(shí)，曲線是凸的，從而F(x)F(0)F(1)0，即

F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，應(yīng)該選〔C〕

11y

3．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，那么dyf(x,y)dy

01y2

1x101x2

〔Ａ〕dxf(x,y)dydxf(x,y)dy

0010

11x100

〔Ｂ〕dxf(x,y)dydxf(x,y)dy

0011x2

11

2cossincossin

(Ｃ〕df(rcos,rsin)drdf(rcos,rsin)dr

000

2

11

2cossincossin

〔Ｄ〕df(rcos,rsin)rdrdf(rcos,rsin)rdr

000

2

【分析】此題考察二重積分交換次序的問題，關(guān)鍵在于畫出積分區(qū)域的草圖．

【詳解】積分區(qū)域如下圖

假如換成直角坐標(biāo)那么應(yīng)該是

01x211x

dxf(x,y)dydxf(x,y)dy，〔A〕，〔B〕

1000

兩個(gè)選擇項(xiàng)都不正確；

假如換成極坐標(biāo)那么為

11

2cossincossin

df(rcos,rsin)rdrdf(rcos,rsin)rdr．

000

2

應(yīng)該選〔D〕

４．假設(shè)函數(shù)xaxbx2dxxaxbx2dx，那么

(1cos1sin)min(cossin)

a,bR

axbx

1cos1sin

〔Ａ〕2sinx〔Ｂ〕2cosx〔Ｃ〕2sinx〔Ｄ〕2cosx

2

【詳解】注意x2dx3，cos2xdxsin2xdx，

32

xcosxdxcosxsinxdx0，

2

xsinxdx2，

2

所以(xacosxbsinx)2dx3(a2b2)4b

32

所以就相當(dāng)于求函數(shù)a2b24b的極小值點(diǎn)，顯然可知當(dāng)a0,b2時(shí)獲得最小值，所

以應(yīng)該選〔A〕．

0ab0

a00b

5．行列式等于

0cd0

c00d

〔A〕(adbc)2〔B〕(adbc)2

〔C〕a2d2b2c2〔D〕a2d2b2c2

【詳解】

0ab0

a0ba0b

a00b

a0d0b0c0

0cd0

c0dc0d

c00d

abab

adbc

cdcd

ad(adbc)bc(adbc)(adbc)2

應(yīng)該選〔B〕．

6．設(shè)1,2,3是三維向量，那么對(duì)任意的常數(shù)k,l，向量1k3，2l3線性無關(guān)

是向量1,2,3線性無關(guān)的

〔A〕必要而非充分條件〔B〕充分而非必要條件

〔C〕充分必要條件〔D〕非充分非必要條件

【詳解】假設(shè)向量1,2,3線性無關(guān)，那么

10

(,,)(,,),

〔1k3，2l3〕12301123K，對(duì)任意的常數(shù)kl，矩

kl

陣K的秩都等于2，所以向量1k3，2l3一定線性無關(guān)．

3

100

,,k,lkl

而當(dāng)102130時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量13，23線性

000

無關(guān)，但1,2,3線性相關(guān)；應(yīng)選擇〔A〕．

7．設(shè)事件A，B想到獨(dú)立，P(B)0.5,P(AB)0.3那么P(BA)〔〕

〔A〕0.1〔B〕0.2〔C〕0.3〔D〕0.4

【詳解】

P(AB)0.3P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)0.5P(A)0.5P(A)．

所以P(A)0.6，P(BA)P(B)P(AB)0.50.5P(A)0.2．應(yīng)選擇〔B〕．

8．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1,X2互相獨(dú)立，且方差均存在，X1,X2的概率密度分別為

1

f(x),f(x)，隨機(jī)變量Y的概率密度為fY(y)(f(y)f(y))，隨機(jī)變量

1211212

1

Y(XX)，那么

2212

EYEYDYDY

〔A〕EY1EY2,DY1DY2〔B〕12,12

EYEYDYDYEYEYDYDY

〔C〕12,12〔D〕12,12

11

【詳解】EYy(f(y)f(y))dyEXEXE(Y)，

12122122

111

EY2y2(f(y)f(y))dyEX2EX2，

12122122

11111

DYE(Y2)E2(Y)EX2EX2E2(X)E2(X)E(X)E(X)

11121224142212

111211

D(X)D(X)EXXD(X)D(X)DY

414241241422

故應(yīng)該選擇〔D〕．

二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕

9．曲面zx2(1siny)y2(1sinx)在點(diǎn)(1,0,1)處的切平面方程為．

4

【詳解】曲面zx2(1siny)y2(1sinx)在點(diǎn)(1,0,1)處的法向量為

zz

x,y,1|(1,0,1)(2,1,1)，所以切平面方程為2(x1)(1)(y0)(1)(z1)0，

即2xyz10．

10．設(shè)f(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f'(x)2(x1),x0,2，那么

f(7)．

【詳解】當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，

即f(x)x22x；f(x)為周期為4奇函數(shù)，故f(7)f(1)f(1)1．

11．微分方程xy'y(lnxlny)0滿足y(1)e3的解為．

dyyyy

【詳解】方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ln，這是一個(gè)齊次型方程，設(shè)u，得到通解為

dxxxx

Cxx

yxe1，將初始條件y(1)e3代入可得特解為yxe21．

12．設(shè)L是柱面x2y21和平面yz0的交線，從z軸正方向往負(fù)方向看是逆時(shí)針方

向，那么曲線積分zdxydz．

L

dydzdzdxdxdy

【詳解】由斯托克斯公式PdxQdyRdz可知

Lxyz

PQR

zdxydzdydzdzdxdxdydxdy．

L

Dxy

yz0

其中:取上側(cè)，D(x,y)|x2y2．

22xy1

xy1

fxxxx2x2axxxxa

13．設(shè)二次型(1,2,3)12213423的負(fù)慣性指數(shù)是1，那么的取值

范圍是．

【詳解】由配方法可知

fxxxx2x2axxxx

(1,2,3)12213423

xax2xx2a2x2

(13)(223)(4)3

由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必需要求4a20，所以a的取值范圍是2,2．

5

2x

,x2

14．設(shè)總體X的概率密度為f(x,)32，其中是未知參數(shù)，

0,其它

n

X,X,,X是來自總體的簡單樣本，假設(shè)CX2是2的無偏估計(jì)，那么常數(shù)

12ni

i1

C=．

nn

222x522522

【詳解】E(X)xdx，所以ECXiCn，由于CXi是

2

32i12i1

52

2的無偏估計(jì)，故Cn1，C．

25n

三、解答題

15．〔此題總分值10分〕

1

x

(t2(et1)t)dt

求極限lim1．

x1

x2ln(1)

x

【分析】．先用等價(jià)無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達(dá)法那么求未定型極限．

【詳解】

11

xx

2t

(t(e1)t)dt(t2(et1)t)dt1

1

limlim1lim(x2(ex1)x)

x1xxx

x2ln(1)

x

1111

limx2(o()x

xx2x2x22

16．〔此題總分值10分〕

設(shè)函數(shù)yf(x)由方程y3xy2x2y60確定，求f(x)的極值．

【詳解】

解：在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)一次，得到

(3y22xyx2)y'(y22xy)0，〔１〕

即

dyy22xy

dx3y22xyx2

6

dy

令0及y3xy2x2y60，得到函數(shù)唯一駐點(diǎn)x1,y2．

dx

在〔１〕式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)一次，得到

〔(6yy'4y2xy'4x)y'(3y22xyx2)y"2y0

4

把x1,y2,y'(1)0代入，得到y(tǒng)"(1)0，

9

所以函數(shù)yf(x)在x1處獲得極小值y2．

17．〔此題總分值10分〕

22

xzzxx

設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，zf(ecosy)滿足(4zecosy)e2．假

x2y2

設(shè)f(0)0,f'(0)0，求f(u)的表達(dá)式．

【詳解】

xx

設(shè)uecosy，那么zf(u)f(ecosy)，

2

zxcosyzxx

f'(u)e,f"(u)e2cos2yf'(u)ecosy;

xx2

2

zxzxx

f'(u)esiny,f"(u)e2sin2yf'(u)ecosy；

yy2

22

zzxxx

f"(u)e2f"(ecosy)e2

x2y2

22

zzxx

由條件(4zecosy)e2，

x2y2

可知

f"(u)4f(u)u

這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程．

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：

f(u)Ce2uCe2u

12其中C1,C2為任意常數(shù)．

1

對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為y*u．

4

uu1

故非齊次方程通解為f(u)Ce2Ce2u．

124

7

11

將初始條件f(0)0,f'(0)0代入，可得C,C．

116216

1u1u1

所以f(u)的表達(dá)式為f(u)e2e2u．

16164

18．〔此題總分值10分〕

設(shè)曲面:zx2y2(z1)的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：

(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy

【詳解】

z1

設(shè):取下側(cè)，記由,所圍立體為，那么高斯公式可得

1221

xy1

(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy(3(x1)23(y1)21)dxdydz

1

(3x23y276x6y)dxdydz

(3x23y27)dxdydz

211

drdr(3r27)dz4

00r2

z1

在:取下側(cè)上，

122

xy1

(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy(11)dxdy0，

11

所以

(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy=

(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy4

1

19．〔此題總分值10分〕

設(shè)數(shù)列a,ba,bcosaacosbb

nn滿足0n0n，nnn且級(jí)數(shù)n收斂．

22n1

（1）證明liman0；

n

8

a

（2）證明級(jí)數(shù)n收斂．

n1bn

【詳解】

〔1〕證明：由cosanancosbn，及0an,0bn可得

22

0ancosancosbn，所以0anbn，

22

由于級(jí)數(shù)bn收斂，所以級(jí)數(shù)an也收斂，由收斂的必要條件可得liman0．

n

n1n1

〔2〕證明：由于0an,0bn，

22

ababbaba

所以sinnnnn,sinnnnn

2222

abba

sinnnsinnn

acosacosb2

nnn22

bnbnbn

anbnbnan

2b2a2b2b

22nnnn

bn2bn2bn2

a

由于級(jí)數(shù)bn收斂．

n收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比擬審斂法可知級(jí)數(shù)

n1n1bn

20．〔此題總分值11分〕

1234

設(shè)A0111，E為三階單位矩陣．

1203

（1）求方程組AX0的一個(gè)根底解系；

（2）求滿足ABE的所有矩陣．

【詳解】〔1〕對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)展初等行變換如下：

1234123412341001

A0111011101110102

1203043100130013

，

9

得到方程組AX0同解方程組

xx

14

xx

224

xx

334

1

2

得到AX0的一個(gè)根底解系．

13

1

xyz

111

xyz

222

〔2〕顯然B矩陣是一個(gè)43矩陣，設(shè)B

xyz

333

xyz

444

對(duì)矩陣(AE)進(jìn)展進(jìn)展初等行變換如下：

12341001234100

(AE)01110100111010

12030010431101

12341001001261

01110100102131

00131410013141

由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為

x21y61z11

111

xyz

212232212

c，c，c，

x113y423z133

333

xyz

401401401

即滿足ABE的所有矩陣為

2c6c1c

123

ccc

121322123

B

13c43c13c

123

ccc

123

ccc

其中1,2,3為任意常數(shù)．

21．〔此題總分值11分〕

10

111001

111002

證明n階矩陣與相似．

11100n

111001

111002

【詳解】證明：設(shè)A，B．

11100n

分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：

111

111

EA(n)n1，

111

所以A的n個(gè)特征值為1n,23n0；

0

而且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以一定可以對(duì)角化．且A~；

0

01

02

EB(n)n1

00n

所以B的n個(gè)特征值也為1n,23n0；

對(duì)于n1重特征值0，由于矩陣(0EB)B的秩顯然為1，所以矩陣B對(duì)應(yīng)n1

重特征值0的特征向量應(yīng)該有n1個(gè)線性無關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在n個(gè)線性無關(guān)的特

0

征向量，即矩陣B一定可以對(duì)角化，且B~

0

111001

111002

從而可知n階矩陣與相似．

11100n

22．〔此題總分值11分〕

11

1

設(shè)隨機(jī)變量X的分布為P(X1)P(X2)，在給定Xi的條件下，隨機(jī)變量Y服

2

從均勻分布U(0,i),i1,2．

（1）求Y的分布函數(shù)；

（2）求期望E(Y).

【詳解】〔1〕分布函數(shù)

F(y)P(Yy)P(Yy,X1)P(Yy,X2)

P(Yy/X1)P(X1)P(Yy/X2)P(X2)

1

P(Yy/X1)P(Yy/X2)

2

當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)(y)0；

11y3

當(dāng)0y1時(shí)，F(xiàn)(y)yy；

2224

11y11

當(dāng)1y2時(shí)，F(xiàn)(y)y；

22242

當(dāng)y2時(shí)，F(xiàn)(y)1．

所以分布函數(shù)為

0,y0

3

y,0y1

4

F(y)

1y

,1y2

24

1,y2

3

,0y1

4

1

〔2〕概率密度函數(shù)為f(y)F'(y),1y2，

4

,

其它

0

132y3

E(Y)ydydy．

04144

23．〔此題總分值11分〕

12

x2

e,x

設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x,)10，其中為未知的大于零的參數(shù)，

0,x0

XXX

1,2,,n是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，

〔1〕求E(X),E(X2)；〔2〕求的極大似然估計(jì)量．

^

〔３〕是否存在常數(shù)a，使得對(duì)任意的0，都有l(wèi)imPna0．

n

【詳解】〔１〕先求出總體X的概率密度函數(shù)

x2

2x