新教材人教a版必修第二冊6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)案

6．4平面向量的應(yīng)用6．平面幾何中的向量方法6．向量在物理中的應(yīng)用舉例新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算、邏輯推理在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一桶水，兩人手臂夾角越小越省力．在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力．[問題]你能從數(shù)學(xué)的角度解釋上述現(xiàn)象嗎？知識點平面向量的應(yīng)用1．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2．向量在物理中的應(yīng)用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等；(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解中；(3)動量mv是向量的數(shù)乘運算；(4)功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積．用向量法如何證明平面幾何中AB⊥CD?提示：證明或計算eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，從而得出AB⊥CD.1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則直線AB與CD平行．()(3)物理學(xué)中的功是一個向量．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．非等腰梯形解析：選C∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up6(→))|，∵|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是等腰梯形．故選C.3．某人在無風(fēng)條件下騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\f(v1,v2)解析：選C題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實數(shù)．故逆風(fēng)行駛的速度的大小為|v1|－|v2|.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用角度一平行或共線問題[例1]如圖，在平行四邊形ABCD中，已知DE＝eq\f(1,3)AB，DF＝eq\f(1,4)DB，求證：A，E，F(xiàn)三點共線．[證明]因為DE＝eq\f(1,3)AB，DF＝eq\f(1,4)DB，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→)).于是eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(FA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AF,\s\up6(→))，因此eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，又因為eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))有公共點F，所以A，E，F(xiàn)三點共線．eq\a\vs4\al()證明A，B，C三點共線的步驟(1)證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線；(2)說明兩向量有公共點；(3)下結(jié)論，即A，B，C三點共線．角度二垂直問題[例2]如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，四邊形PECF是矩形，用向量證明：PA⊥EF.[證明]法一：設(shè)正方形邊長為a，由于P是對角線BD上的一點，可設(shè)eq\o(DP,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))(0<λ<1)．則eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－λeq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－λ(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(DA,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→)).又因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))－λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝[(1－λ)eq\o(DA,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))]·[(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))－λeq\o(CB,\s\up6(→))]＝(1－λ)2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))－(1－λ)λeq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))－λ(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－λ(1－λ)a2＋λ(1－λ)a2＝0，因此eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，故PA⊥EF.法二：以D為原點，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)正方形邊長為a，由于P是對角線BD上的一點，設(shè)DP＝λDB＝eq\r(2)λa(0<λ<1)，則A(0，a)，P(λa，λa)，E(a，λa)，F(xiàn)(λa，0)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－λa，a－λa)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(λa－a，－λa)，因此eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－λa(λa－a)－(a－λa)λa＝－λ2a2＋λa2－λa2＋λ2a2＝0，因此eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，故PA⊥EF.eq\a\vs4\al()向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法(1)①選擇一組向量作基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))；③證明eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為0；④給出幾何結(jié)論AB⊥CD；(2)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，先求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標(biāo)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x2，y2)，再計算eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為0，從而得到幾何結(jié)論AB⊥CD.角度三長度問題[例3]如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．[解]設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，①|(zhì)eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.∵由①得2a·b＝1，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).eq\a\vs4\al()利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).角度四夾角問題[例4]已知矩形ABCD，AB＝eq\r(3)，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點，求∠EAC的大?。甗解]如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C(eq\r(3)，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，∴cos∠EAC＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2×\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∵0<∠EAC<eq\f(π,2)，∴∠EAC＝eq\f(π,6).eq\a\vs4\al()平面幾何中夾角問題的求解策略利用平面向量解決幾何中的夾角問題時，本質(zhì)是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角，借助夾角公式進(jìn)行求解，這類問題也有兩種方向，一是利用基底法，二是利用坐標(biāo)運算．在求解過程中，務(wù)必注意向量的方向．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點D在線段BC上，且DC＝2BD.求：(1)AD的長；(2)∠DAC的大?。猓?1)設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)a2＋2×eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3，∴AD＝eq\r(3).(2)設(shè)∠DAC＝θ，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為θ.∵cosθ＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq\f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq\f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×cos120°,3\r(3))＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.平面向量在物理中的應(yīng)用角度一利用向量解決速度、位移問題[例5]在風(fēng)速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風(fēng)中，飛機正以150km/h的速度向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時飛機的飛行速度和航向．[解]設(shè)風(fēng)速為v0，有風(fēng)時飛機的飛行速度為va，無風(fēng)時飛機的飛行速度為vb，則va＝vb＋v0，且va，vb，v0可構(gòu)成三角形(如圖所示)，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|va|＝150，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|v0|＝75(eq\r(6)－eq\r(2))，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，則∠BAD＝45°，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝|eq\o(EA,\s\up6(→))|＝75eq\r(2)，∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|＋|eq\o(EA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＋|eq\o(EA,\s\up6(→))|＝75(eq\r(6)－eq\r(2))＋75eq\r(2)＝75eq\r(6)，從而tan∠CAD＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(75\r(2),75\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠CAD＝30°，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150eq\r(2)，|vb|＝150eq\r(2)，∴沒有風(fēng)時飛機的飛行速度為150eq\r(2)km/h，航向為北偏西60°.eq\a\vs4\al()速度問題的向量解法運用向量解決物理中的速度問題時，一般涉及速度的合成與分解，因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題，正確地作出圖形解決問題．角度二利用向量解決力與做功問題[例6]一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m．其中|F1|＝2N，方向為北偏東30°；|F2|＝4N，方向為北偏東60°；|F3|＝6N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．[解]如圖所示，以O(shè)為原點，正東方向為x軸的正方向、正北方向為y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則F1＝(1，eq\r(3))，F(xiàn)2＝(2eq\r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3，3eq\r(3))，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2，2＋4eq\r(3))．因為位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，所以合力F所做的功W＝F·s＝(2eq\r(3)－2，2＋4eq\r(3))·(4eq\r(2)，4eq\r(2))＝24eq\r(6)(J)．故合力F所做的功為24eq\r(6)J.eq\a\vs4\al()運用向量解決力的合成與分解時，實質(zhì)就是向量的線性運算，因此可借助向量運算的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行求解．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|，|F2|隨θ角的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時，求θ角的取值范圍．解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得－G＝F1＋F2，|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，|F2|＝|G|tanθ，當(dāng)θ從0°趨向于90°時，|F1|，|F2|都逐漸增大．(2)由|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，|F1|≤2|G|，得cosθ≥eq\f(1,2).又因為0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.1．一物體受到相互垂直的兩個力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5eq\r(3)N，則兩個力的合力的大小為()A．5N B．5eq\r(2)NC．5eq\r(3)N D．5eq\r(6)N解析：選D兩個力的合力的大小為|F1＋F2|＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2)＝5eq\r(6)(N)．2．以原點和點A(4，2)為頂點作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為____________________．解析：設(shè)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－4，y－2)．由已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))⊥\o(AB,\s\up6(→))，,|\o(OB,\s\up6(→))|＝|\o(AB,\s\up6(→))|))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－4）＋y（y－2）＝0，,x2＋y2＝（x－4）2＋（y－2）2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))故B(1，3)或B(3，－1)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，1)或(－1，