新教材蘇教版必修第二冊9.3.1平面向量基本定理作業(yè)

第9章平面向量9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)過關(guān)練題組一基底的理解與判定1.下列說法中正確的是 ()①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量.A.①② B.②③ C.①③ D.①②③2.(2021江蘇沛縣中學(xué)高一月考)若e1,e2是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量能作為平面向量的基底的是 ()A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-12eC.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e23.如圖,點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心,其中可作為基底的一對向量是 ()A.OA,BC B.OA,CD C.AB,CF D.AB,DE4.已知向量e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使向量a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則實數(shù)λ的取值范圍為.

題組二用基底表示向量5.(2021江蘇響水中學(xué)高一月考)如圖所示,在矩形ABCD中,若BC=5e1,DC=3e2,則OC等于 ()A.12(5e1+3e2) B.12(5e1-3eC.12(2e2+5e1) D.12(5e2+3e6.(2020江蘇常州高一期末)如圖,在△ABC中,AD=13AB,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).設(shè)CA=a,CB=b,則AE=(用a,b表示7.如圖,已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC,CD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)G,若AB=a,AD=b,用基底a,b表示AG.題組三平面向量基本定理的應(yīng)用8.(2021山東淄博實驗中學(xué)高一階段測試)如圖,已知點(diǎn)C為△OAB邊AB上一點(diǎn),且AC=2CB,若存在實數(shù)m,n,使得OC=mOA+nOB,則m-n的值為 ()A.-13 B.0 C.13 D9.(2021江蘇省海州高級中學(xué)高一月考)如圖,在四邊形ABCD中,AB=2DC,E為線段AC上的一點(diǎn),若DE=λAB-35AD,則實數(shù)λ的值等于 (A.15 B.-15 C.25 D10.如圖,設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且OA+OC=-2OB,則△AOB與△AOC的面積之比為.

11.設(shè)a,b是平面內(nèi)的一組基底,AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線.能力提升練題組一用基底表示向量1.(2021廣東茂名一中高一期中,)已知點(diǎn)G為△ABC的重心,若AB=a,AC=b,則BG= ()A.23a+13b B.-23aC.23a-13b D.-23a2.()已知在△ABC中,點(diǎn)M在BC邊所在的直線上且滿足|CM|=3|MB|,設(shè)AB=a,AC=b,以{AB,AC}作為基底,則AM=.

3.()在平面四邊形ABCD中,|AB|=3,|BC|=7,|CD|=11,|DA|=9,則AC·BD=.

題組二平面向量基本定理的應(yīng)用4.()在△ABC中,P是BC邊的中點(diǎn),角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若cAC+aPA+bPB=0,則△ABC為 ()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形5.(2020江蘇省前黃高級中學(xué)高一期末,)如圖,已知△ABC與△AMN有一個公共頂點(diǎn)A,且MN與BC的交點(diǎn)O平分BC,若AB=mAM,AC=nAN,m,n∈R,則1m+2n的最小值為 ( B.3+22 C.326.(多選)(2021江蘇如皋中學(xué)高一月考,)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是 ()A.若AM=12AB+12AC,則點(diǎn)B.若AM=2AB-AC,則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C.若AM=-BM-CM,則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則△MBC的面積是△ABC面積的7.(2021山東壽光一中高一期中,)如圖,在△ABC中,D,E,F分別為邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且CD=35BC,EC=12AC,AF=13AB.設(shè)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(點(diǎn)P不在邊界上).若DP=-13DC+xDE,則實數(shù)8.(2021江蘇南通啟東中學(xué)高一月考,)如圖,在菱形ABCD中,BE=12BC,CF=2FD(1)若EF=xAB+yAD,求3x+2y的值;(2)若|AB|=6,∠BAD=60°,求AC·EF;(3)若菱形ABCD的邊長為6,求AE·EF的取值范圍.9.(2020福建泉州一中高一期中,)如圖所示,在△ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)OA=a,OB(1)試用向量a,b表示OM;(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過點(diǎn)M,設(shè)OE=λOA,OF=μOB,λ,μ∈R且均不為0,求證:1λ+3μ

答案全解全析第9章平面向量9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)過關(guān)練1.B一個平面內(nèi)只要是一對不共線的向量就可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底,故①錯誤;②③顯然正確.故選B.2.D對于A,因為e1-e2=-(e2-e1),所以兩向量共線,不能作為基底,故A不符合題意;對于B,因為2e1-e2=2e1-12e2,所以兩向量共線,對于C,因為2e2-3e1=-12(6e1-4e2),所以兩向量共線,不能作為基底,故C不符合題意對于D,因為e1+e2與e1-e2不共線,所以兩向量可作為基底,故D符合題意,故選D.3.B由基底的概念可知,作為基底的兩個向量不能共線.由題圖可知,OA與BC共線,AB與CF共線,AB與DE共線,均不能作為基底向量,OA與CD不共線,可作為基底向量,故選B.4.答案(-∞,4)∪(4,+∞)解析若a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線,設(shè)a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,∴λ≠4,∴實數(shù)λ的取值范圍為(-∞,4)∪(4,+∞).5.AOC=12AC=12(BC-BA)=12(BC+AB)=12(5e1故選A.6.答案16b-2解析因為點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),所以AE=12(AC+AD),又AD=13AB,且AB=CB所以AE=12化簡,得AE=16CB-又CB=b,CA=a,所以AE=16b-237.解析易知CF=12CD,CE=設(shè)CG=λCA(λ∈R),則由向量加法的平行四邊形法則可得CG=λ(CB+CD)=2λCE+2λCF.由于E,G,F三點(diǎn)共線,則2λ+2λ=1,即λ=14,從而CG=14CA,從而AG=34AC=34(a+b)=348.AOC=OB+BC=OB+13BA=OB+13BO+13OA=13OA+23OB,所以m=13,n=29.A由A,E,C三點(diǎn)共線,可設(shè)AE=μAC,則DE=DA+AE=μAC-AD=μ(AD+DC)-AD=μAD+12AB-AD=(μ-1)AD+又DE=λAB-35所以12μ=λ,10.答案1∶2解析如圖,設(shè)M是AC的中點(diǎn),連接OM,則OA+OC=2OM,又OA+OC=-2OB,∴OM=-OB,即O是BM的中點(diǎn),∴S△AOB=S△AOM=12S△AOC,即S△AOB∶S△AOC=1∶211.證明因為AD=AB+BC+CD=a+5b+(-2a+8b)+3(a-b)=2a+10b=2(a+5b)=2AB,所以AD與AB共線.又因為AD與AB有公共點(diǎn)A,所以A,B,D三點(diǎn)共線.能力提升練1.B設(shè)D是AC的中點(diǎn),則BD=12(BA+BC),又G為△ABC的重心,∴BG=23BD=23×12(BA+BC)=13(BA+BC)=13(-AB+AC-AB)=-23AB故選B.2.答案34a+14b或32a解析由|CM|=3|MB|,得CM=3MB或CM=-3MB,故點(diǎn)M在邊BC上或在CB的延長線上.當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上時,BC=AC-AB=b-a.因為CM=3MB,所以BM=14BC=14b-所以AM=AB+BM=a+14b-14a=當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時,CM=-3MB=3BM,故BM=12所以AM=AB+BM=AB+12CB=AB+12(AB-AC)=32AB-12AC綜上,AM=34a+14b或AM=32a-3.答案0解析如圖,AC·BD=AC·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB=(AD+DC)·AD-(AB+BC)·AB=AD2+DC·AD-AB2-BC=AD2+12(AD+DC)2-12(AD2+-12(AB+BC)2+12(AB2=AD2-12AD2-12DC2-AB2+12AB2+12BC4.C∵P是BC邊的中點(diǎn),∴AC=PC-PA=-PB-PA.∵cAC+aPA+bPB=0,∴c(-PB-PA)+aPA+bPB=0,即(a-c)PA+(b-c)PB=0.∵PA與PB不共線,∴a-c=0且b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等邊三角形.5.C因為O為BC的中點(diǎn),所以AO=12(AB+AC),又AB=mAM,AC=nAN,所以AO=m2AM+n2AN.又M,O,N三點(diǎn)共線,所以m2+n2=1,即m+n=2,易知m>0,n>0,所以1m+2n=1m+2n·m2+n2=12+n2m+mn+1=32+n2m+mn6.ACDA中,AM=12AB+12AC?12AM-即BM=MC,∴點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),故A正確;B中,AM=2AB-AC,AM-AB=AB-AC,∴BM=CB,∴點(diǎn)M在邊CB的延長線上,故B錯誤;C中,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AM=-BM-CM=MB+MC=2MD,∴點(diǎn)M是△ABC的重心,故C正確;D中,AM=xAB+yAC,且x+y=12?2AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1設(shè)AD=2AM,∴AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知B,C,D三點(diǎn)共線,∴△MBC的面積是△ABC面積的12,故D正確故選ACD.7.答案1解析在BD上取一點(diǎn)G,且DG=13設(shè)DC=3a,則DG=a,從而BC=5a,BG=a,則G為BD的中點(diǎn).過點(diǎn)G作GH∥DE分別交DF,AE于點(diǎn)K,H,并以KG,DG為鄰邊作平行四邊形KK'DG,以DG,GH為鄰邊作平行四邊形HH'DG,如圖.由題意及平行四邊形法則,易知點(diǎn)P必定在線段KH上(不含端點(diǎn)),則有|DK'|<|xDE|<|DH'|,|KG|<|xDE|<|HG即KG<xDE<HG.GH∥DE?HE=13EC?AH=23EC,HG=連接FH,因為AHHC=12=AFFB?FH∥BC?FH=所以FHDG=KHKG?KG=35HK?KG=38HG所以KG=12DE<xDE<43DE所以x∈128.解析(1)∵BE=12BC,CF=2∴EF=EC+CF=12BC-23DC=12AD-23AB,又EF=xAB+yAD,∴∴3x+2y=3×-23+2×1(2)∵AC=AB+AD,∴AC·EF=(AB+AD)·12AD-23AB=12∵四邊形ABCD為菱形,∴|AD|=|AB|=6,∴AC·EF=-16|AB|2-16|AB|2cos∠BAD=-16×36-16×36即AC·EF=-9.(3)∵AE=AB+12AD,EF=12∴AE·EF=AB+12AD·12AD-23AB=16AB·AD-23AB2+14AD2=16·|AB|·|∵-1<cos<AB,AD><1,∴AE·EF的取值范圍為(-21,-9).9.解析(1)不妨設(shè)OM=ma+nb(m,n∈R).由于A,D,M三點(diǎn)共線,所以存在實數(shù)α(α≠-1)使得AM=αMD,所以AO+OM=α(MO+OD),于是OM=OA+又OD=12OB,所以O(shè)M=OA+α2OB1