難點(diǎn)探究專題相似與特殊幾何圖形的綜合問題(選做)

難點(diǎn)探究專題：相似與特殊幾何圖形的綜合問題(選做)——突破相似中的綜合問題及含動(dòng)點(diǎn)的解題思路eq\a\vs4\al(◆)類型一相似與特殊三角形1．一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3，0)，∠B＝30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______________．第1題圖第2題圖2．(2022·黃岡中考)如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG、GI在同一直線上，且AB＝2，BC＝1，連接AI，交FG于點(diǎn)Q，則QI＝________．3．(2022·福州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.(1)通過計(jì)算，判斷AD2與AC·CD的大小關(guān)系；(2)求∠ABD的度數(shù)．eq\a\vs4\al(◆)類型二相似與特殊四邊形4．(2022·東營中考)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正確的結(jié)論有()A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，△ABC和△DBC是兩個(gè)具有公共邊的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.將△DBC沿射線BC平移一定的距離得到△D1B1C1，連接AC1，BD1.如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為________cm.6．(2022·濱州中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，點(diǎn)E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則eq\f(CF,CD)＝________．7．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是AD上的點(diǎn)，且AE＝EF＝FD.連接BE、BF，使它們分別與AO相交于點(diǎn)G、H.(1)求EG∶BG的值；(2)求證：AG＝OG；(3)設(shè)AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c的值．eq\a\vs4\al(◆)類型三運(yùn)用相似解決幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題8．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CD上，且CN＝eq\f(1,4)CD，若AB＝4，設(shè)BM＝x，當(dāng)x＝________時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似．第8題圖第9題圖9．(2022·宜春模擬)如圖，△ABC≌△DEF(點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對應(yīng))，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動(dòng)(點(diǎn)E不與B、C重合)，DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC邊交于點(diǎn)M，當(dāng)△AEM是等腰三角形時(shí)，BE＝________．10．(2022·梅州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒eq\r(3)cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤5)，連接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN與△ABC相似，求t的值；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈担?1．(2022·赤峰中考)如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，P，Q分別從B，A出發(fā)沿BC，AD方向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/秒，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是2cm/秒，連接AP并過Q作QE⊥AP垂足為E.(1)求證：△ABP∽△QEA；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，△ABP≌△QEA?(3)設(shè)△QEA的面積為y，用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t表示△QEA的面積y(不要求考慮t的取值范圍)．[提示：解答(2)(3)時(shí)可不分先后]eq\a\vs4\al(◆)類型四相似中的探究型問題12．(2022·寧波中考)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．(1)如圖①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖②，△ABC中，AC＝2，BC＝eq\r(2)，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．參考答案與解析(－3－eq\r(3)，3eq\r(3))解析：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E.易證△EBC∽△OCA，∴eq\f(EB,OC)＝eq\f(BC,CA)＝eq\f(EC,OA).∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(10).在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2eq\r(10)，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(30)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\r(3).∴BE＝3eq\r(3)，EC＝eq\r(3)，∴EO＝EC＋CO＝eq\r(3)＋3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3－eq\r(3)，3eq\r(3))．2.eq\f(4,3)解析：∵△ABC、△DCE、△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，∴eq\f(AB,BI)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AB,BI)＝eq\f(BC,AB).又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴eq\f(AC,AI)＝eq\f(AB,BI).∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴eq\f(QI,AI)＝eq\f(GI,CI)＝eq\f(1,3)，∴QI＝eq\f(1,3)AI＝eq\f(4,3).3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD＝eq\f(\r(5)－1,2)，DC＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝eq\f(5＋1－2\r(5),4)＝eq\f(3－\r(5),2)，AC·CD＝1×eq\f(3－\r(5),2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝AC·CD；(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC).又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ABC.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CB)＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.設(shè)∠A＝x，則∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.4．A解析：過D作DM∥BE交AC于N.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC.∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴eq\f(AE,BC)＝eq\f(AF,CF).∵AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(1,2)＝eq\f(AF,CF)，∴CF＝2AF，故②正確；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝eq\f(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確．5．7解析：作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝AC，BC＝2，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝1.∵四邊形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋∠AC1B＝90°，∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(AB,BC1).∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴eq\f(1,3)＝eq\f(3,BC1)，∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距離為7cm.6.eq\f(1,3)解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,BE)，即eq\f(DF,\r(3))＝eq\f(1.2,1.8)，解得DF＝eq\f(2\r(3),3)，則CF＝CD－DF＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(CF,CD)＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3).7．(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴eq\f(EG,GB)＝eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC).∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；(2)證明：∵GC＝3AG(已證)，∴AC＝4AG，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；(3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴eq\f(AH,HC)＝eq\f(AF,BC)＝eq\f(2AE,3AE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AH,AC)＝eq\f(2,5)，即AH＝eq\f(2,5)AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝eq\f(1,4)AC，b＝AH－AG＝eq\f(2,5)AC－eq\f(1,4)AC＝eq\f(3,20)AC，c＝AO－AH＝eq\f(1,2)AC－eq\f(2,5)AC＝eq\f(1,10)AC，∴a∶b∶c＝eq\f(1,4)∶eq\f(3,20)∶eq\f(1,10)＝5∶3∶2.8．2或eq\f(16,5)解析：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－x.∵CN＝eq\f(1,4)CD，∴CN＝1.當(dāng)△ABM∽△MCN時(shí)，eq\f(AB,CM)＝eq\f(BM,CN)，即eq\f(4,4－x)＝eq\f(x,1)，解得x＝2；當(dāng)△ABM∽△NCM時(shí)，eq\f(AB,CN)＝eq\f(BM,CM)，即eq\f(4,1)＝eq\f(x,4－x)，解得x＝eq\f(16,5).綜上所述，當(dāng)x＝2或eq\f(16,5)時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似．9．1或eq\f(11,6)解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；當(dāng)AE＝EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.當(dāng)AM＝EM時(shí)，則∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴eq\f(CE,AC)＝eq\f(AC,CB)，∴CE＝eq\f(AC2,CB)＝eq\f(25,6)，∴BE＝6－eq\f(25,6)＝eq\f(11,6)，∴BE＝1或eq\f(11,6).10．解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5eq\r(3).由題意知：BM＝2t，CN＝eq\r(3)t，∴BN＝5eq\r(3)－eq\r(3)t.∵BM＝BN，∴2t＝5eq\r(3)－eq\r(3)t，解得t＝eq\f(5\r(3),2＋\r(3))＝10eq\r(3)－15；(2)分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，則eq\f(MB,AB)＝eq\f(BN,BC)，即eq\f(2t,10)＝eq\f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3))，解得t＝eq\f(5,2)；②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，則eq\f(NB,AB)＝eq\f(BM,BC)，即eq\f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq\f(2t,5\r(3))，解得t＝eq\f(15,7).綜上所述，當(dāng)t＝eq\f(5,2)或t＝eq\f(15,7)時(shí)，△MBN與△ABC相似；(3)過M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴eq\f(MD,AC)＝eq\f(BM,AB)，即eq\f(MD,5)＝eq\f(2t,10)，解得MD＝t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y，∴y＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)－eq\f(1,2)(5eq\r(3)－eq\r(3)t)·t＝eq\f(\r(3),2)t2－eq\f(5\r(3),2)t＋eq\f(25\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75,8)eq\r(3).∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t＝eq\f(5,2)時(shí)，y的值最?。藭r(shí)，y最小＝eq\f(75,8)eq\r(3).11．(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAP＋∠QAE＝∠B＝90°.∵QE⊥AP，∴∠QAE＋∠EQA＝∠AEQ＝90°，∴∠BAP＝∠EQA，∠B＝∠AEQ，∴△ABP∽△QEA；(2)解：∵△ABP≌△QEA，∴AP＝AQ.在Rt△ABP與Rt△QEA中，根據(jù)勾股定理得AP2＝32＋t2，AQ2＝(2t)2，即32＋t2＝(2t)2，解得t1＝eq\r(3)，t2＝－eq\r(3)(不符合題意，合去)．即當(dāng)t＝eq\r(3)時(shí)△ABP≌△QEA；(3)解：由(1)知△ABP∽△QEA，∴eq\f(y,S△ABP)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AQ,AP)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(y,\f(1,2)×3t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\