高中物理競(jìng)賽模擬試題集（14有答案）

1.設(shè)法使邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形環(huán)圖52-2在任何情況下均以勻速度v沿著它的AB邊方向運(yùn)動(dòng)，在其運(yùn)動(dòng)的空間區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E垂直于環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度。運(yùn)動(dòng)期間，環(huán)始終在同一平面上，電場(chǎng)E相對(duì)于環(huán)平面的傾角為θ。設(shè)環(huán)上串有大量小球，這些小球象珠子串在項(xiàng)鏈上那樣被串在環(huán)上。小球的大小可忽略，各球都帶有電量q。今在相對(duì)于環(huán)不動(dòng)的參照系中設(shè)法讓這些小球均以勻速u(mài)沿環(huán)邊運(yùn)動(dòng)，各邊上相鄰兩球的間距均為a，且L遠(yuǎn)大于a（參見(jiàn)圖圖52-2考慮相對(duì)論效應(yīng)，在一個(gè)從其上看環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度為v的慣性參照系上計(jì)算以下各量：1、環(huán)路各邊上相鄰兩個(gè)小球之間的距離aAB,aBC,aCD和aDA；2、環(huán)路各邊凈電量（各邊上線(xiàn)電荷與小球電荷之和）QAB,QBC,QCD和QDA；3、使環(huán)與小球系統(tǒng)受到轉(zhuǎn)動(dòng)作用的電力矩模量M；4、環(huán)與小球系統(tǒng)和電場(chǎng)之間相互作用的電勢(shì)能W。所有解答均需用題中給定的量來(lái)描述。注意：物體的電荷量與測(cè)量參照系的選擇無(wú)關(guān)。圖52-2只畫(huà)出了各矢量之間的相對(duì)方向。略去電磁輻射。有關(guān)的相對(duì)論公式如下：（1）設(shè)慣性參照系以勻速度v相對(duì)另一參照系S運(yùn)動(dòng)。兩參照系對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸彼此平行，t=0時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)重合，速度v沿x軸正方向。若在系測(cè)得一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以速度沿軸運(yùn)動(dòng)，那么在S系測(cè)得該質(zhì)點(diǎn)的速度應(yīng)為其方向沿x軸正方向（相對(duì)論速度求和公式）。（2）如果一個(gè)物體的靜止長(zhǎng)度為，當(dāng)它以速度v沿其長(zhǎng)度方向相對(duì)某觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么該觀察者測(cè)得此物體長(zhǎng)度L為解：1、令S為觀察到環(huán)路以速度v運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)室參照系，為環(huán)路參照系（系的x軸與v同向，沿著DA邊的方向，軸則垂直于環(huán)路所在平面）。S系各軸平行于系各對(duì)應(yīng)軸，S與系的坐標(biāo)原點(diǎn)在t=0時(shí)重合。（1）AB邊建立與AB邊上的小球一起運(yùn)動(dòng)的參照系，它的各坐標(biāo)軸與S，系的坐標(biāo)軸平行。相對(duì)具有速度u。據(jù)洛侖茲收縮，測(cè)得的AB邊上相鄰兩個(gè)小球之間的距離為，（1）（只要是在相對(duì)小球靜止的參照系中測(cè)得的相鄰兩球間距，上式對(duì)任何一條邊均成立。）據(jù)相對(duì)論速度求和公式，S系中的觀察者認(rèn)為AB邊上諸球具有的速度為（2）再據(jù)洛侖茲收縮，此觀察者將測(cè)得AB邊上相鄰兩球的間距為，（3）將（1），（2）式代入到（3）式，可得：。（4）（2）CD邊對(duì)S系中的觀察者而言，CD邊上小球的速度為，（5）再據(jù)洛侖茲收縮有，（6）將（1），（5）式代入到（6）式，便得（7）（3）DA邊在系中，令DA邊上的某一小球在時(shí)刻位于處。在同一時(shí)刻鄰近的一個(gè)小球應(yīng)位于，，處。各球相對(duì)于S系的空—時(shí)坐標(biāo)可由洛侖茲變換式給出，，，（8）。據(jù)此，第一個(gè)小球在S系中有，，，（9）。第二個(gè)小球則為，，，（10）。由于，S系中這兩個(gè)小球之間的距離便為，（11）即得。（12）（4）BC邊重復(fù)上述相似的討論，可得（13）（其實(shí)，由于DA，BC邊與v垂直，無(wú)洛侖茲收縮，故。）2、在環(huán)路參照系中，每一條邊線(xiàn)上的電荷量為（14）在此已考慮到L/a為各邊上的小球數(shù)。由于電荷是運(yùn)動(dòng)不變量，在實(shí)驗(yàn)室參照系S中測(cè)得的各邊線(xiàn)電荷量也為此值。（1）AB邊在實(shí)驗(yàn)室參照系中，AB邊上各球電荷量之和為（15）此式系由AB邊上小球數(shù)乘以每一小球電荷量（運(yùn)動(dòng)不變量）來(lái)獲得。（15）式右邊第一項(xiàng)中的分子為S系中觀察者測(cè)得的運(yùn)動(dòng)收縮邊長(zhǎng)，分母則為相鄰小球的間距。將（4）式代入到（15）式中，可得：（16）將（14）式和（16）式相加，便得AB邊上總電荷量。（17）（2）CD邊用相同的方法可得（18）將（14）和（18）式相加，可得（19）（3）BC邊和DA邊S系中觀察者測(cè)得這兩條邊的邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)，相鄰兩球的間距也均為a，因此，（20）將（14）和（20）式相加，可得，（）圖52-3圖圖圖圖圖圖52-3圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖3、作用在AB邊上的電場(chǎng)力為，（22）作用在CD邊上的電場(chǎng)力為，（23）與形成一力偶。據(jù)力偶的力矩表達(dá)式，可得（參見(jiàn)圖52-3）（24）最后可表達(dá)成（25）4、令和分別為AB邊上各點(diǎn)和CD邊上各點(diǎn)的靜電勢(shì)（指場(chǎng)強(qiáng)為E的外電場(chǎng)的電勢(shì)——注），那么有，（26）圖52-4將電勢(shì)零位（U=0）選在與E垂直的一個(gè)平面上，此平面與AB邊的間距為某一任意量R（見(jiàn)圖52-4圖52-4（27）但，故，（28）將（17）式代入到（28）式，便得（29）d水平線(xiàn)圖11-1892.如圖11-189所示，一塊均勻的細(xì)長(zhǎng)木板以?xún)A角θ靜止地放在兩根水平的固定平行細(xì)木棒A和B之間。若兩棒相距為dd水平線(xiàn)圖11-189解：注意解答的完整性3.A、B兩點(diǎn)相距s，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向B做加速運(yùn)動(dòng)，但每過(guò)一個(gè)等分點(diǎn)，加速度都增加a/n。試求該物體到達(dá)B點(diǎn)的速度。解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)，經(jīng)過(guò)距離后的速度為V1、V2、V3、…Vn，則有(1)(2)(3)(n)將以上幾個(gè)式相加可得 4.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始，先以加速度a1作勻加速運(yùn)動(dòng)，后以大小為a2的加速度作勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，直至靜止，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t，則運(yùn)動(dòng)的總位圖圖12-32分析：本題要扣住了質(zhì)點(diǎn)分段運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)的速度為解題的切入點(diǎn)。加速過(guò)程中的末速度就是減速過(guò)程中的初速度，也是全程中的最大速度，而且全程中的平均速度為最大速度的一半。本題有兩種解法：一種是公式法，一種是圖像法。在圖12-32中質(zhì)點(diǎn)的速度-時(shí)間圖像中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的速度情況是十分直觀的。在圖像法中，圖像的斜率就是物體的加速度，圖像所圍的面積就是質(zhì)點(diǎn)的位移，再根據(jù)它們之間關(guān)系就可以達(dá)到求解的目的。解法一：質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的末速度為，由題意可知（1）（2）由（1）、（2）兩式解得質(zhì)點(diǎn)的總位移為解法二：作出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度-時(shí)間圖像如圖12-32所示，由圖像的物理意義可知，圖像所圍的面積就是質(zhì)點(diǎn)的位移5．如圖24-29所示，截面均勻，下端A封閉的細(xì)長(zhǎng)試管AB豎直放置，管下端A內(nèi)封有長(zhǎng)為L(zhǎng)0的空氣，管中間是長(zhǎng)為4L0的水銀柱，管上端B有長(zhǎng)為L(zhǎng)0的空氣。管中間有長(zhǎng)為L(zhǎng)=4L0的水銀柱管上端B有長(zhǎng)為L(zhǎng)0的空氣。開(kāi)始時(shí)，管上端B與大氣連通，大氣壓強(qiáng)為p0=2ρgL，其中ρ為水銀密度。大氣

水銀柱

空氣

圖24-29

（1）如果先將B端封閉，再將試管緩慢轉(zhuǎn)過(guò)180°，試問(wèn)管中A端空氣柱長(zhǎng)度大氣

水銀柱

空氣

圖24-29

（2）如果B端始終與大氣連通，不封閉，先將試管緩慢倒轉(zhuǎn)180°，再緩慢回轉(zhuǎn)180°復(fù)原。試問(wèn)最后管中A端空氣柱長(zhǎng)度與B端空氣柱長(zhǎng)度各為多少L0？設(shè)倒轉(zhuǎn)過(guò)程均在大氣環(huán)境下進(jìn)行，溫度不變。解：（1）倒轉(zhuǎn)前后，對(duì)于A、B氣體有

而，

所以求得（2）設(shè)倒轉(zhuǎn)后水銀不外泄，對(duì)于A端空氣柱有，

求得，說(shuō)明水銀外泄一部分。設(shè)倒轉(zhuǎn)后，剩下水銀柱長(zhǎng)度為，A端長(zhǎng)度為L(zhǎng)A，則有

，

解得?；剞D(zhuǎn)過(guò)程中，有，

求得。1m圖24-3370cm6．某水銀氣壓計(jì)的玻璃管頂端高出水銀槽液面1m。如圖24-33所示，因上部混入少量空氣，使其讀數(shù)不準(zhǔn)。當(dāng)氣溫為27oC，標(biāo)準(zhǔn)氣壓計(jì)讀數(shù)仍為76cmHg1m圖24-3370cm（1）在相同氣溫下，若用該氣壓計(jì)測(cè)量氣壓，測(cè)得讀數(shù)為68cmHg，則實(shí)際氣壓應(yīng)為多少厘米汞柱？（2）若在氣溫為-3oC時(shí)，用該氣壓計(jì)測(cè)得氣壓讀數(shù)仍為70cmHg，則實(shí)際氣壓應(yīng)為多少厘米汞柱？解：（1）以混入氣壓計(jì)內(nèi)氣體為研究對(duì)象，因溫度不變，有，

，

則

實(shí)際氣壓（2）因體積不變，有，

，

則

實(shí)際氣壓7．如圖24-61所示，有一個(gè)直立的氣缸，氣缸底到氣缸口的距離為L(zhǎng)0cm，用一厚度和質(zhì)量均可忽略不計(jì)的剛性活塞A，把一定質(zhì)量的空氣封在氣缸內(nèi)，活塞與氣缸間的摩擦可忽略。平衡時(shí)活塞上表面與氣缸口的距離很?。ㄓ?jì)算時(shí)可忽略不計(jì)），周?chē)髿獾膲簭?qiáng)為H0cmHg?，F(xiàn)把盛有水銀的一個(gè)瓶子放在活塞上（瓶子的質(zhì)量可忽略），平衡時(shí)活塞到氣缸底的距離為L(zhǎng)cm。若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶?jī)?nèi)水銀緩緩不斷地倒在活塞上方，這時(shí)活塞向下移，壓縮氣體，直到活塞不再下移，求此時(shí)活塞在氣缸內(nèi)可能的位置以及與之相對(duì)應(yīng)的條件（即題中給出量之間應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系），設(shè)氣體的溫度不變。圖24-61分析：設(shè)整瓶水銀放在活塞上后，使氣缸內(nèi)氣體增加的壓強(qiáng)為hcmHg；由玻意耳定律，得，這也是全部水銀倒在活塞上而無(wú)溢柱的高度。當(dāng)將水銀緩緩倒向活塞直到活塞不再下移時(shí)，對(duì)應(yīng)著兩種可能情況：（1）水銀能全部倒在活塞上而無(wú)溢出；（2）只有部分水銀倒在了活塞上水銀就開(kāi)始溢出。然后分別對(duì)這兩種進(jìn)行討論，找出活塞可能的位置和對(duì)應(yīng)的條件。圖24-61解一：設(shè)整瓶水銀放在活塞上后，使氣缸內(nèi)氣體增加的壓強(qiáng)為hcmHg；由玻意耳定律

得（1）式中L為此時(shí)活塞所在位置與缸底距離，h的大小反映了水銀質(zhì)量的大小。當(dāng)水銀注入后，活塞不再下移時(shí)，設(shè)活塞上水銀的深度為，活塞下移的距離為，則由玻意耳定律

解得（2）可能發(fā)生兩種情況：（1）水銀比較少，瓶?jī)?nèi)水銀全部注入后，尚未灌滿(mǎn)或剛好灌滿(mǎn)活塞上方的氣缸，這時(shí)有（3）

而且有由（1）（2）（3）式得活塞到氣缸底的距離

所以

若，則有（2）瓶?jī)?nèi)水銀比較多，當(dāng)活塞上方的氣缸灌滿(mǎn)水銀時(shí)，瓶?jī)?nèi)還剩有一定量的水銀，這時(shí)（4）

（5）由（2）（4）式得則活塞到氣缸底的距離

由（1）（4）（5）式得

可見(jiàn)，若，則解二：設(shè)整瓶水銀放在活塞上后，使氣缸內(nèi)氣體增加的壓強(qiáng)為hcmHg，由玻意耳定律得

這也是全部水銀倒在活塞上而無(wú)溢出時(shí)水銀柱的高度。當(dāng)將水銀緩緩倒向活塞直到活塞不再下移時(shí)，對(duì)應(yīng)著水銀能全部倒在活塞上而無(wú)溢出和只有部分水銀倒在了活塞上水銀就開(kāi)始溢出兩種可能情況。下面對(duì)這兩種情況分別討論：

（1）當(dāng)，即時(shí)，得，瓶中水銀可全部倒入而無(wú)溢出。此種情況與將整瓶水銀放在活塞上等效，故活塞到缸底的距離=L。

（2）當(dāng)，即，得，瓶中水銀只有部分倒在活塞上就開(kāi)始溢出。設(shè)此時(shí)活塞到缸底的距離為，由玻意耳定律有即此時(shí)水銀高度只有，此時(shí)壓強(qiáng)為求得由此可以得出：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：本題是1996年全國(guó)高考試題，其命題具有新意。當(dāng)年高考時(shí)本題得分率最低，只有。其原因是大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有考慮具有兩種可能性，特別是第（2）種情況討論更少。解法二創(chuàng)設(shè)新情景，把h包含的物理意義點(diǎn)出來(lái)，使隱含條件明顯地暴露出來(lái)，這樣做可使原問(wèn)題的難點(diǎn)得到化解，使問(wèn)題的解答以一種清新簡(jiǎn)明的面貌展現(xiàn)出來(lái)。

8.有一根玻璃管，它的內(nèi)、外半徑分別為r和R，充滿(mǎn)發(fā)光液，在射線(xiàn)的影響下，發(fā)光液會(huì)發(fā)出綠光。對(duì)于綠光，玻璃和液體的折射率分別為n1和n2。如果有人從外表面觀察，玻璃管的厚度似乎為零，請(qǐng)問(wèn)比值必須滿(mǎn)足何條件？分析：引起玻璃管壁厚度為零的感覺(jué)，是因?yàn)橛胁糠謥?lái)自液體的光線(xiàn)射出管外時(shí)，沿著玻璃管外表面的切線(xiàn)方向到達(dá)眼睛。圖33-97由于系統(tǒng)呈圓柱體對(duì)稱(chēng)，故只需考慮一條沿著管壁切線(xiàn)方向射出并與管軸垂直的光線(xiàn)就可以了（如圖33-97）。圖中，若光線(xiàn)由液體中射入玻璃中的折射角取值越大，則由玻璃射向空氣的入射角取值越大。而越大，則越容易出現(xiàn)光線(xiàn)沿管壁切線(xiàn)方向射出的情況?？梢?jiàn)，只需對(duì)和圖33-97解：如圖，設(shè)O為圓心，某一條光線(xiàn)自管內(nèi)壁之A點(diǎn)射向外壁之B點(diǎn)，則中，由正弦定理有 即（※）（1）若，則的最大值可取，此時(shí)由（※）式則有此時(shí)若要有光線(xiàn)能沿管壁切線(xiàn)方向射出，則應(yīng)不小于臨界角C，即應(yīng)有

綜合以上兩式知此時(shí)的條件為

（2）若，則由折射定律知的最大值應(yīng)滿(mǎn)足以此代入（※）式知此時(shí)的角將滿(mǎn)足同上道理，還應(yīng)不小于臨界角C，即綜合以上兩式知此時(shí)的條件為9.薄壁透明圓柱形玻璃容器浮于水面，容器的內(nèi)底面與容器外水面的高度差圖33-109為h，容器的內(nèi)直徑為D。在容器底正中放有一個(gè)小物體A（圖33-109）。實(shí)驗(yàn)證明，在水面上方容器外側(cè)存在一個(gè)看不見(jiàn)A的“盲區(qū)”。已知水的折射率為n=4/3，sin48°36ˊ圖33-109分析：從A點(diǎn)發(fā)出的一細(xì)束光AB，如圖33-110所示。B點(diǎn)在容器壁與水面的交界處。光束Ⅰ是直接從空氣中射出的光，光束Ⅱ是經(jīng)過(guò)水的折射后的折射光。這兩條光的中間區(qū)域看不到從物體A上發(fā)出的光，因此是看不見(jiàn)A的“盲區(qū)”。解：根據(jù)光的折射公式圖33-110而圖33-110所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，與容器壁的夾角為到的區(qū)域?yàn)槊^(qū)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)容器壁的夾角大于的區(qū)域?yàn)槊^(qū)。10.如圖33-119所示，一個(gè)附著有小珠的屏，當(dāng)入射光聚焦在小珠的后表面時(shí)會(huì)把入射光反射回光源。對(duì)在水中(n=4/3)穿緊身衣潛水者來(lái)說(shuō)，理想情況下小珠要用折射率多大的材料？解：如圖33-120所示，選擇平行于OP軸的近軸光線(xiàn)，會(huì)聚于P處則圖33-120又∵圖33-120且∴綜合解得11.一條窄的激光束在折射率為n1的媒質(zhì)中傳播，射向半徑為R的透明球。球心到光束的距離圖33-121為L(zhǎng)，光束寬度比球的半徑小得多，球是由折射率為n2的光疏媒質(zhì)制作的（圖圖33-121分析：由原題圖有，對(duì)于發(fā)生反射的臨界值I有。由此可得，如果，發(fā)生全反射所求的偏角為。圖33-122當(dāng)時(shí)，光路圖如圖33-122所示，有。因?yàn)閳D33-122，。所以當(dāng)時(shí)，所求的偏角為。解：如果，偏角為。如果，偏角為。12．兩個(gè)相距很遠(yuǎn)的銅球，已知其半徑和電勢(shì)分別是：r1=6cm，U1=300V；r2=4cm，U2=150V。將這兩個(gè)銅球用細(xì)銅絲連接達(dá)到靜電平衡后，問(wèn)此時(shí)電能損耗了多少？解：因?yàn)椋郧蛐螌?dǎo)體電容。兩球以導(dǎo)線(xiàn)相連后電勢(shì)相等，可認(rèn)為兩電容并聯(lián)，電荷總量守恒，即。得銅球連接有后總能量連接后總能量電流通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)，發(fā)熱損耗及由電磁波輻射損耗的能量13．真空中，有五個(gè)電量均為q的均勻帶電薄球殼，它們的半徑分別為、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此內(nèi)切于P點(diǎn)。球心分別為O1、O2、O3、O4、O5。求O5與O1間的電勢(shì)差。分析：均勻帶電球殼在球內(nèi)外的電勢(shì)是大家熟知的。利用電勢(shì)疊加原理可先分別求出球心與的電勢(shì)，再算與的電勢(shì)差。解：的電勢(shì)為 （1）的電勢(shì)為（2）與的電勢(shì)差14．有一帶正電的孤立導(dǎo)體A。另外，從無(wú)窮遠(yuǎn)處將不帶電的導(dǎo)體B移至A的附近，試證明：（1）σA≥0（2）UA?UB?0其中為導(dǎo)體A的電荷面密度，UA和UB為導(dǎo)體A和B的電勢(shì)。解：（1）用反證法，設(shè)導(dǎo)體A表面某處，則有電場(chǎng)線(xiàn)終止于該處。因此，該電場(chǎng)線(xiàn)只能來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處或?qū)wB。若來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處，則處的電場(chǎng)線(xiàn)只能終止于B的負(fù)電荷處。由于B的總帶電量為零。故在B表面某處必有6B>0，其發(fā)出的電力線(xiàn)只能伸向無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)性質(zhì)，有此式矛盾。若來(lái)自B，同理可推得也產(chǎn)生矛盾，因此原假設(shè)不成立，只能是。（2）由于靜電感應(yīng)，總帶電量為零的導(dǎo)體B上，有正有負(fù)，根據(jù)上面的討論，正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線(xiàn)只能伸向無(wú)窮遠(yuǎn)，因而負(fù)電荷吸收的電場(chǎng)線(xiàn)只能來(lái)自導(dǎo)體A?？紤]到電勢(shì)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向降低，所以有14．在半徑為R的導(dǎo)體球外，有一半徑為r的細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)的圓心與導(dǎo)體球心的連線(xiàn)長(zhǎng)為a(a>R)，且與環(huán)面垂直，如圖41-90所示。已知環(huán)上均勻帶電，總電量為q，問(wèn)：⑴當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，球上感應(yīng)電荷總電量是多少？⑵當(dāng)導(dǎo)體球不接地而所帶總電量為零時(shí)，它的電勢(shì)如何？⑶當(dāng)導(dǎo)體球的電勢(shì)為U0時(shí)，球上的總電荷是多少？⑷情況（3）與情況（1）相比，圓環(huán)受導(dǎo)體球的作用力改變量的大小和方向如何？⑸情況（2）與情況（1）相比，圓環(huán)受導(dǎo)體球的作用力改變量的大小和方向如何？解：（1）導(dǎo)體球是一個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體球接地時(shí)有導(dǎo)體球的電勢(shì)等于環(huán)上電荷q和導(dǎo)體球表面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。

⑵由于導(dǎo)體球不帶電，故導(dǎo)體球的電勢(shì)

⑶導(dǎo)體球的電勢(shì)為時(shí)

⑷比較和，導(dǎo)體球上多了的電荷。由于（1）中和q使導(dǎo)體球的電勢(shì)為零，所以電荷只有均勻分布在球面上，才能使導(dǎo)體球等勢(shì)。電荷與圓環(huán)的作用力就是圓環(huán)受力的改變量。均勻分布于球面上的電荷對(duì)環(huán)的作用力與球心處等量點(diǎn)電荷對(duì)環(huán)的作用力相等，力的改變量為

當(dāng)時(shí)，力的方向沿球心與環(huán)心的連線(xiàn)向右。⑸與情況（4）相比，情況（2）的相當(dāng)于情況（4）的，所以將（2）中的代替（4）中的就求得圓環(huán)受力的改變量，其值為

1.試證明：物體的相對(duì)論能量E與相對(duì)論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系：證明：讀者可試為之，從入手證明它等于。2.在用質(zhì)子轟擊固定鋰靶的核反應(yīng)中，（1）計(jì)算放出α粒子的反應(yīng)能。（2）如果質(zhì)子能量為1兆電子伏特，問(wèn)在垂直質(zhì)子束的方向觀測(cè)到α粒子的能量有多大？有關(guān)原子核的質(zhì)量如下：，；，；，圖51-21.圖51-21解：（1）核反應(yīng)方程如下：靜質(zhì)量動(dòng)能由總質(zhì)量和總能量守恒：由反應(yīng)能Q的定義得：（兆電子伏特）[其中：兆電子伏特=兆電子伏特]（2）設(shè)鋰靶是靜止的，根據(jù)動(dòng)量守恒，可知，反應(yīng)所產(chǎn)生的兩個(gè)相同的α粒子（核），應(yīng)沿入射質(zhì)子的方向?qū)ΨQ(chēng)分開(kāi)，如圖51-21所示。由動(dòng)量守恒定律有矢量合成的三角形，兩底角皆為θ，又因，因而有已知反應(yīng)能Q=兆電子伏特，且其中兆電子伏特，可得=（兆電子伏特）即反應(yīng)所生成的α粒子其能量為兆電子伏特。α粒子飛出方向與入射質(zhì)子的方向之間的夾角為θ，因此由于，得：代入反應(yīng)能Q的定義式：將上式中質(zhì)量數(shù)改為質(zhì)量比得其中，，代入上式：所以所以由此可知，在垂直于質(zhì)子束的方向上觀察到的能量近似就是兆電子伏特。3.一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問(wèn)可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。問(wèn)這種光的頻率與簡(jiǎn)正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為×10-27kg，電離能。解：處于基態(tài)的氫原子能量為，第二激發(fā)能量為被氫原子吸收的最小能量子為我們必須求出在碰撞中能量損失為以上數(shù)值的最小速度。如果碰撞是完全非彈性的，則碰撞中能量損失最大，碰撞后的速度將是初動(dòng)能和末動(dòng)能之差為這個(gè)值應(yīng)等于最小的能量子因此在非彈性碰撞后，兩個(gè)原子的速度為本題第二間的解答與多普勒效應(yīng)有聯(lián)系。對(duì)于比光速小很多的速度，相對(duì)速度之比給出頻率相對(duì)變化的極好近似。故有兩束光的頻率按此比率稍小于或稍大于簡(jiǎn)正頻率4.如圖11-136所示，光滑無(wú)底圓筒重W，內(nèi)放兩個(gè)重量均為G的光滑球，圓筒半徑為R，球半徑為r，且r<R<2r，試求圖11-136圖11-136分析：如果對(duì)兩個(gè)小球和無(wú)底圓筒分別隔離分析受力再列方程組，較復(fù)雜，采取整體法較好。解：根據(jù)物體平衡條件，列出以下方程：選擇兩個(gè)小球作為研究對(duì)象，則在豎直方向上有N-2G=0(1)以整體為研究對(duì)象，若翻倒必以A為軸逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在臨界態(tài)下對(duì)A的力矩和為零。此時(shí)，系統(tǒng)受力情況為：兩物體的重力，桌面對(duì)球支持力N，筒的重力W，它們對(duì)A的力矩不為零，桌面對(duì)筒的支持力過(guò)A點(diǎn)，力矩為零，故有(2)將1式代入2式有若該圓筒傾倒必須有。討論：（1）從答案中可以看出，當(dāng)G大W小，r與R很接近，就容易傾倒，這也符合重心高、支面小穩(wěn)度就小的結(jié)論。（2）如果是一個(gè)有底圓筒，則在沒(méi)有其他力推它的情況下，就絕不會(huì)傾倒。請(qǐng)同學(xué)們想一想，這是為什么？5.兩個(gè)完全相同的木板，長(zhǎng)均為L(zhǎng)，重力均為G，彼此以光滑鉸鏈A相連，并通過(guò)光滑鉸鏈與豎直墻相連，如圖11-245（甲）所示。為使兩木板達(dá)水平狀態(tài)保持平衡，問(wèn)應(yīng)在何處施加外力？所施加的最小外力為多大？分析：要使兩板均處于平衡狀態(tài)，外力只能作用在板2上，作用點(diǎn)應(yīng)位于鉸鏈A與板2的重心之間，以便使板1的右端受到向上的作用力，方可使板1也處于平衡狀態(tài)。為使作用力最小，外力應(yīng)與木板垂直。解：如圖11-245（乙）、（丙）所示。為使板1達(dá)水平平衡狀態(tài)，其右端A應(yīng)受到向上的作用，的施力物體是板2左端。根據(jù)力矩平衡條件有12L12L，GL，G（甲）1G（乙）B2FG（丙）圖11-245隔離木板2，其左端受到（與為作用力的反作用力）及重力mg作用，為使板2呈水平且平衡，外力F的作用點(diǎn)應(yīng)在和G的作用點(diǎn)之間。設(shè)F作用點(diǎn)距A為x，選F作用點(diǎn)B為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件有將代入上式得解之得板2所受合力應(yīng)為0，有點(diǎn)評(píng)：本題著重領(lǐng)會(huì)由結(jié)果或效果反推原因的思想方法，和F的方向及作用點(diǎn)均由此方法推出。本題兩次使用隔離法。圖11-5056.如圖11-505所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無(wú)重桿絞接而成，各絞接點(diǎn)依次為1、2……9，其中絞接點(diǎn)8、2、5、7、9位于同一水平直線(xiàn)上，且9可以無(wú)摩擦地水平滑動(dòng)。各絞接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點(diǎn)3承受有豎直向下的壓力P/2，點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力P，求絞接點(diǎn)3和圖11-505解：由于點(diǎn)9可沿水平方向無(wú)摩擦滑動(dòng)，故屋架在點(diǎn)9處所受外力只可能沿豎直方向，設(shè)為N9。由于屋架所受外力N9、P/2和P均沿豎直方向，則屋架在點(diǎn)8所受的外力也只可能沿豎直方向，設(shè)其為N9。以整個(gè)屋架為對(duì)象，列各外力對(duì)支點(diǎn)8的力矩平衡方程，有圖11-506圖11-506所以N9的方向豎直向上。又由整個(gè)屋架的受力平衡關(guān)系應(yīng)有所以N8的方向豎直向上。假設(shè)將絞接點(diǎn)5、6、7、9這部分從整個(gè)屋架中隔離出來(lái)，則這部分受到桿15、桿47、桿36的作用力，這幾個(gè)作用力均沿與桿15平行的方向，設(shè)其以一個(gè)力T表示，則這個(gè)力T也必與桿15方向平行。此外，這部分還受到桿25的作用，設(shè)其為T(mén)25，顯然T25的方向應(yīng)沿水平方向；這部分還受到支持力N9的作用。這樣，這部分就等效為受T、T25和N9三個(gè)力的作用而平衡。則表示此三力的矢量構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，由前述此三力的方向關(guān)系可以確定，這一三角形只能是如圖11-506所示的三角形，由此三角形可見(jiàn)，圖11-507圖11-507桿25對(duì)點(diǎn)5的作用力方向水平向左，可見(jiàn)桿25中的內(nèi)力為張力。又假設(shè)取絞接點(diǎn)8為研究對(duì)象，它受到支持力N8和桿82對(duì)它的作用力T82和桿81對(duì)它的作用力T81，由于此三力平衡，則N8與T82的合力必沿桿81的方向，可見(jiàn)應(yīng)有圖11-508圖11-508且T82的方向應(yīng)水平向右，即桿82的內(nèi)力為張力。再假設(shè)取絞接點(diǎn)2為研究對(duì)象，由以上分析知，其左、右兩水平桿對(duì)它的作用力均為拉力，其大小分別為P和P/2。而另外只有桿24能對(duì)點(diǎn)2提供水平方向的分力，則為使點(diǎn)2在水平方向受力平衡，桿24作用于點(diǎn)2的力必沿由2指向點(diǎn)4的方向，進(jìn)而為使點(diǎn)2在豎直方向上受力平衡，則桿12對(duì)點(diǎn)2的作用力必沿豎直向下的方向。綜合上述可得點(diǎn)2的受力如圖11-507所示。由圖知故得即桿24中的內(nèi)力為張力，其大小為最后以點(diǎn)4為研究對(duì)象，它受到與之相連的三根桿的三個(gè)力的作用。此三力應(yīng)互相平衡?，F(xiàn)以T42、T47、T43表示這三個(gè)力，由于T42的方向是確定的（桿42的內(nèi)力為張力，則T42必沿由點(diǎn)4指向點(diǎn)2的方向），而T47、T43又只能沿對(duì)應(yīng)桿的方向，則此三力只可能取如圖11-508所示的方向。由點(diǎn)4在水平方向的受力平衡，應(yīng)有所以由點(diǎn)4在豎直方向的平衡，應(yīng)有=P即桿43中的內(nèi)力為張力，大小為P。7.一平直的傳送帶以速度v=2m/s勻速運(yùn)行，傳送帶把A點(diǎn)處的零件運(yùn)送到B點(diǎn)處，A、B兩點(diǎn)之間相距L=10m，從A點(diǎn)把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=6s，能送到B點(diǎn)，如果提高傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率，零件能較快地傳送到B點(diǎn)，要讓零件用最短的時(shí)間從A點(diǎn)傳送到B點(diǎn)處，說(shuō)明并計(jì)算傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍，則零件傳送時(shí)間為多少（）？分析：零件在傳遞帶上加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)零件與傳送帶的速度相等時(shí)，就與傳送帶一起作勻速運(yùn)動(dòng)，這就說(shuō)明了傳送帶的速度大，它加速的時(shí)間長(zhǎng)，由于傳送帶的長(zhǎng)度一定，只要零件在這有限的長(zhǎng)度內(nèi)一直是加速的，在此加速過(guò)程中得到的最大速度也就是傳送帶要使零件一直加速具有的最小速度，若傳送帶的速度再加大，也不能使零件運(yùn)送的時(shí)間變短。反過(guò)來(lái)看，若是零件以一定的初速度滑上傳送帶，它在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有一個(gè)最大值和最小值，顯然，最小值就是它在傳送帶一直是加速的，而最大值就是零件在傳送帶上一直是減速的，同樣地，減速過(guò)程中對(duì)于傳送帶的速度也有一個(gè)臨界值，當(dāng)傳送帶小于這個(gè)臨界值時(shí)，零件到達(dá)傳送帶另一端的時(shí)間不會(huì)變。這兩個(gè)臨界值是值得注意的。解：零件的初速度為零，放在傳送帶上，受到傳送帶對(duì)它的滑動(dòng)摩擦力，提供它作加速運(yùn)動(dòng)所需要的外力，即。若零件一直是加速，到達(dá)B點(diǎn)的速度為，由題意可知，。顯然這是不可能的，當(dāng)零件與傳送帶的速度相等時(shí)，它們之間的滑動(dòng)摩擦力消失，零件與傳送帶一起作勻速運(yùn)動(dòng)，由題意可知，代入數(shù)據(jù)后解得。要使零件能較快地從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，則零件在A、B之間應(yīng)該一直加速，也就是零件到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，而，。故最短的時(shí)間若傳送帶的速率提高一倍，則零件傳送的時(shí)間不變，這是因?yàn)榱慵恢笔羌铀俚?，由于加速度和加速的距離一定，故運(yùn)行的時(shí)間也就一定了，還是s。8.一物體以某一初速度v0開(kāi)始做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)直至停止，其總位移為s，當(dāng)其位移為2/3s時(shí)，所用時(shí)間為t1；當(dāng)其速度為1/3v0時(shí)，所用時(shí)間為t2，則t1、t2有什么樣的關(guān)系？解法一：設(shè)物體的加速度為a（大?。?，由速度公式得有（1）根據(jù)位移公式得且此兩式聯(lián)立得解之得因?yàn)樵撐矬w運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，因此有，由此知只能取（2）比較（1）、（2）式可知解法二：物體在時(shí)間內(nèi)的位移為（3）物體在時(shí)間內(nèi)的位移為（9）比較（3）、（4）式可知，因而其對(duì)應(yīng)的時(shí)間應(yīng)滿(mǎn)足。解法三：根據(jù)題意作出物體的-t圖像如圖12-31所示，顯然，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)間時(shí)，發(fā)生的位移早已超過(guò)。原因是，根據(jù)圖中，由此可知，表示的位移為，即在時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為，所以，。9．一根長(zhǎng)為1m具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開(kāi)口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后，把玻璃管提升起來(lái)并取出水面。問(wèn)玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。解：埋入水中后，玻璃管中水柱為。取出水面時(shí)，有一小部分水流出。如留下的水柱高度為h，水管內(nèi)的空氣壓強(qiáng)可用玻意耳-馬略特定律算出：（1）式中L=1m，A為玻璃管的截面。玻璃管外的壓強(qiáng)等于玻璃管內(nèi)水柱和空氣的壓強(qiáng)之和。（2）其中為水的密度。解此方程，得出這從物理上看是可接受的數(shù)值。10．靜止的原子核衰變成質(zhì)量為m1,m2,m3的三個(gè)裂片，它們的質(zhì)量損為Δm。若三裂片中每?jī)善g速度方向的夾角都是120°，求每個(gè)裂片能量。解：由題建立如下坐標(biāo)系圖（51-1）原子核衰變釋放能量：由能量守恒知：yxyxmmm圖51-1∴又由y軸方向動(dòng)量守恒得：∴∴又∴∴∴11.玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線(xiàn)照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對(duì)綠光的折射率為n1，液體對(duì)綠光的折射率為n2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r:R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？分析：所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點(diǎn)處沿容器外壁的切線(xiàn)方向射出，即本題所描述為折射角為90°的臨界折射，因?yàn)轭}中未給出、的大小關(guān)系，故需要分別討論。圖33-104解：（1）當(dāng)時(shí) 圖33-104因?yàn)槭且蟮淖钚≈?，所以?dāng)<時(shí)，應(yīng)考慮的是圖33-104中ABCD這樣一種臨界情況，其中BC光線(xiàn)與容器內(nèi)壁相切，CD光線(xiàn)和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為，在直角三角形BCO中，。當(dāng)時(shí)，C處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)時(shí)，熒光液體中很多點(diǎn)發(fā)出的光都能在C處發(fā)生臨界折射，所以只要滿(mǎn)足即可看到壁厚為零。（2）當(dāng)=時(shí)圖33-105此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線(xiàn)將直線(xiàn)穿過(guò)容器內(nèi)壁，只要在CB及其延長(zhǎng)線(xiàn)上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的條件仍然是圖33-105（3）當(dāng)>時(shí) 因?yàn)?gt;，所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為的臨界折射，因此當(dāng)時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了，當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖33-105中ABCD這樣一種臨界情況，其中AB光線(xiàn)的入射角為90°，BC光線(xiàn)的折射角為，此時(shí)應(yīng)該有在直角三角形OBE中有因?yàn)閳D33-104和圖33-105中的角是相同的，所以，即將代入，可得當(dāng)時(shí)，可看到容器壁厚為零。上面的討論，圖33-104和圖33-105中B點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意的。故所得條件對(duì)眼的12.（1）用折射率為的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑分別為a、b的空ba圖33-114心球，b遠(yuǎn)大于ba圖33-114（2）如果外半徑b趨于a時(shí)，第（1）問(wèn)中的答案還能成立？為什么？分析：（1）如圖33-115所示，不被球吸收的極限光線(xiàn)是與球相切的光線(xiàn)AB，因此被吸收掉的光束橫截面積應(yīng)該是以R圖33-115為半徑的一個(gè)圓盤(pán)，面積為。利用折射定律和相關(guān)幾何關(guān)系式不難求出R圖33-115（2）在b趨于的過(guò)程中，當(dāng)b減小到一定程度時(shí)，入射到b球面上的所有光線(xiàn)折射后可能都會(huì)與球面相交，此時(shí)如果b再度減小，則依據(jù)第（1）問(wèn)計(jì)算出的結(jié)果就不能成立。解：（1）如圖33-115所示，CO為穿過(guò)球心的光線(xiàn)，與CO相距為R的光線(xiàn)在b球面折射后折射光線(xiàn)AB恰好與球相切，則有由折射定律所以圖33-116又因?yàn)?，圖33-116所以即被吸收掉的光束橫截面積為。（2）在b趨于達(dá)到一定程度時(shí)，從第（1）問(wèn)的結(jié)果可知，當(dāng)b減小到時(shí)，，即入射到此空心球上的全部光線(xiàn)都將被吸收掉，此時(shí)極限光線(xiàn)的入射角，而R=b，如圖33-116所示。如果b再減小，則入射到此空心球上的全部光線(xiàn)仍將被吸收掉，此時(shí)極限入射光線(xiàn)（即入射角）的折射圖33-117線(xiàn)并不與內(nèi)球表面相切，所以被吸收光束截面積為的結(jié)論不再成立。被吸收光束截面積此時(shí)為，參見(jiàn)圖33-117所示。圖33-117討論：（1）本題第（1）問(wèn)可以改為求經(jīng)過(guò)空心球折射后的光束在球右邊形成的出射光束的截面積大小是多少的問(wèn)題。從左邊平行入射到空心球的光束只有AE區(qū)域間的光線(xiàn)經(jīng)外球面折射后能夠從右半球折射出來(lái)，如圖33-115所示。與球相切的光線(xiàn)AB光b球于D，過(guò)E點(diǎn)的光線(xiàn)入射角為，因折射率為，所以該折射光線(xiàn)的折射角為，即折射光線(xiàn)剛好交于b球于F點(diǎn)。設(shè)，D到直線(xiàn)OF的距離為，且，而出射光束截面積。由幾何關(guān)系易知，即，所以可求出。圖33-118（2）如果把問(wèn)題改為空心球的內(nèi)表面沒(méi)有涂上吸光物質(zhì)，而要求進(jìn)入球內(nèi)空心部分的光束在球殼外的截面積大小是多少。因?yàn)榫嘀行墓饩€(xiàn)CO越遠(yuǎn)的光線(xiàn)，在兩球面上的入射角越大，因此抓住經(jīng)外球面折射后的光線(xiàn)在內(nèi)球面上的入射角剛好等于光從介質(zhì)進(jìn)入空氣的臨界角這條特殊光線(xiàn)來(lái)考慮，如圖33-118所示。設(shè)角為光由介質(zhì)射入空氣的臨界角，在ΔABO圖33-118，又由，由圖可知。利用以上幾個(gè)關(guān)系式可得，故所求射入球內(nèi)空心部分的光束在球外的截面積點(diǎn)評(píng)：從本例的解答中可看出，正確分析和作出邊界光線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。邊界光線(xiàn)是隨著具體問(wèn)題的不同而改變的，要注意針對(duì)具體問(wèn)題靈活把握。13.真空中有一個(gè)半徑為R的均勻透明球，今有兩束相距為2d(d≤R)對(duì)稱(chēng)地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討論（1）n取何值時(shí)兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時(shí)兩束光一定在球外相交？圖33-123（3）如果n、d、R圖33-123分析：設(shè)當(dāng)球的折射率為n0時(shí)，兩束光剛好交于球面上，如圖33-123所示。令光線(xiàn)射入球中時(shí)的入射角為i，折射角為r，則由圖中的幾何關(guān)系有又由折射定律有由上兩式解得又由圖中的幾何關(guān)系可以得到由上式可見(jiàn)，對(duì)于某一個(gè)確定的比值，為使兩光線(xiàn)剛好交于球面，球的折射率有一個(gè)確定的值n0與之對(duì)應(yīng)。這樣，我們可以假想，若球的實(shí)際折射率n不等于n0時(shí)，則兩光線(xiàn)進(jìn)入球內(nèi)時(shí)的情況與前面圖示的情況有所不同，即兩光線(xiàn)不是交于球面上。當(dāng)時(shí)，兩光線(xiàn)將比圖示情況偏折得更厲害（圖中角r將更?。?，兩光線(xiàn)的交點(diǎn)必在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線(xiàn)將比圖示情況偏折得少一些（圖中的角r將大一些），兩光線(xiàn)的交點(diǎn)必在球外。若以作為一個(gè)變量來(lái)討論上述問(wèn)題，由于，故由此確定的n0的范圍是。解：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任何來(lái)說(shuō)，都有，即不管球的半徑和兩光線(xiàn)間的距離如何，兩光線(xiàn)都必定在球內(nèi)相交。（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任何來(lái)說(shuō)，都有，即不管球的半徑和兩光線(xiàn)間的距離如何，兩光線(xiàn)都必定在球外相交。（3）對(duì)于任意給定的n、R和d，則只需比較n與n0的大小即可確定兩光線(xiàn)的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外：當(dāng)時(shí)，兩光線(xiàn)的交點(diǎn)在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線(xiàn)的交點(diǎn)在球面上；當(dāng)時(shí)，兩光線(xiàn)的交點(diǎn)在球外；14．一點(diǎn)電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢(shì)分布。圖41-85（圖41-85（a）解：在導(dǎo)體球面上，電力線(xiàn)與球面正交，從電力線(xiàn)會(huì)聚的趨勢(shì)（如圖41-85（a））來(lái)看，感應(yīng)電荷與-電荷相當(dāng)。據(jù)對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)在z軸上，設(shè)其距球心。如圖41-85（b）。點(diǎn)電荷+q與像電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)為由球面上U=0，即r=a處。U=0，有

上式含有參量與，因而問(wèn)題化成能否找到兩個(gè)參量和，使上式對(duì)于任意的都能滿(mǎn)足。兩邊平方

要使此式對(duì)任意都成立，必須

得出和

圖41-85（b）圖41-85（b）

其中第一組解像電荷在球內(nèi)，其對(duì)球外空間作用與感應(yīng)電荷相同。第二組解像電荷就在q處，其對(duì)球內(nèi)空間作用與感應(yīng)電荷相同（第二組解并非其他書(shū)上所說(shuō)的毫無(wú)意義，這一結(jié)果有很好的應(yīng)用。雖然它看起來(lái)顯而易見(jiàn)）。球外空間電勢(shì)為球內(nèi)空間電勢(shì)為零。討論：若導(dǎo)體球絕緣，并且原來(lái)不帶電，則當(dāng)導(dǎo)體球放在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中時(shí)，球?qū)⒏袘?yīng)等量的正負(fù)電荷，球外空間的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷q及球面上的感應(yīng)正負(fù)電荷共同產(chǎn)生。這時(shí)感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)，除了負(fù)電荷根據(jù)上面的討論可由球內(nèi)Z軸上的象代替外，還應(yīng)有一個(gè)感應(yīng)正電荷的像，為了保持球面等勢(shì)，這個(gè)像的位置位于球心。那么對(duì)于球面上任意一點(diǎn)

而，所以從上式可以看出球面的電勢(shì)相當(dāng)于單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)電荷q在球心的電勢(shì)。實(shí)際上，由于球表面帶電總量為零，這一點(diǎn)是顯而易見(jiàn)的。如果q移到無(wú)限遠(yuǎn)，即，同時(shí)增大q，使在球心處的電場(chǎng)保持有限。這時(shí)，像電荷的無(wú)限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個(gè)電偶極子，其偶極矩為。無(wú)限遠(yuǎn)的一個(gè)帶無(wú)限多電量的點(diǎn)電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場(chǎng)可看作是均勻的。因此一個(gè)絕緣的金屬球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到感應(yīng)后，它的感應(yīng)電荷在球外空間的作用相當(dāng)于一個(gè)處在球心，電偶極矩為的偶極子。

15．電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)C與球心O的軸線(xiàn)，如圖41-91。P、Q為CD軸線(xiàn)上在O點(diǎn)兩側(cè)，離O點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為Up，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ。分析：本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為空間對(duì)稱(chēng)情形，而后用電勢(shì)疊加原理求解。解：設(shè)想一勻勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個(gè)完整的均勻帶電球面，由對(duì)稱(chēng)性可知，右半球在P點(diǎn)的電勢(shì)等于左半球在Q點(diǎn)的電勢(shì)，即

(1)

所以(2)

而正是兩個(gè)半球同時(shí)存在時(shí)P點(diǎn)的電勢(shì)。因?yàn)榫鶆驇щ娗驓?nèi)部各處電勢(shì)都相等，其值等于，k為靜電力恒量，所以得(3)

由(2)、(3)兩式得

1.設(shè)法使邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形環(huán)圖52-2在任何情況下均以勻速度v沿著它的AB邊方向運(yùn)動(dòng)，在其運(yùn)動(dòng)的空間區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E垂直于環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度。運(yùn)動(dòng)期間，環(huán)始終在同一平面上，電場(chǎng)E相對(duì)于環(huán)平面的傾角為θ。設(shè)環(huán)上串有大量小球，這些小球象珠子串在項(xiàng)鏈上那樣被串在環(huán)上。小球的大小可忽略，各球都帶有電量q。今在相對(duì)于環(huán)不動(dòng)的參照系中設(shè)法讓這些小球均以勻速u(mài)沿環(huán)邊運(yùn)動(dòng)，各邊上相鄰兩球的間距均為a，且L遠(yuǎn)大于a（參見(jiàn)圖圖52-2考慮相對(duì)論效應(yīng)，在一個(gè)從其上看環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度為v的慣性參照系上計(jì)算以下各量：1、環(huán)路各邊上相鄰兩個(gè)小球之間的距離aAB,aBC,aCD和aDA；2、環(huán)路各邊凈電量（各邊上線(xiàn)電荷與小球電荷之和）QAB,QBC,QCD和QDA；3、使環(huán)與小球系統(tǒng)受到轉(zhuǎn)動(dòng)作用的電力矩模量M；4、環(huán)與小球系統(tǒng)和電場(chǎng)之間相互作用的電勢(shì)能W。所有解答均需用題中給定的量來(lái)描述。d水平線(xiàn)圖11-1892.如圖11-189所示，一塊均勻的細(xì)長(zhǎng)木板以?xún)A角θ靜止地放在兩根水平的固定平行細(xì)木棒A和B之間。若兩棒相距為dd水平線(xiàn)圖11-1893.A、B兩點(diǎn)相距s，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向B做加速運(yùn)動(dòng)，但每過(guò)一個(gè)等分點(diǎn)，加速度都增加a/n。試求該物體到達(dá)B點(diǎn)的速度。4.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始，先以加速度a1作勻加速運(yùn)動(dòng)，后以大小為a2的加速度作勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，直至靜止，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t，則運(yùn)動(dòng)的總位移是多少？5．如圖24-29所示，截面均勻，下端A封閉的細(xì)長(zhǎng)試管AB豎直放置，管下端A內(nèi)封有長(zhǎng)為L(zhǎng)0的空氣，管中間是長(zhǎng)為4L0的水銀柱，管上端B有長(zhǎng)為L(zhǎng)0大氣

水銀柱

空氣

圖24-29

的空氣。管中間有長(zhǎng)為L(zhǎng)=4L0的水銀柱管上端B有長(zhǎng)為L(zhǎng)0的空氣。開(kāi)始時(shí)，管上端大氣

水銀柱

空氣

圖24-29

（1）如果先將B端封閉，再將試管緩慢轉(zhuǎn)過(guò)180°，試問(wèn)管中A端空氣柱長(zhǎng)度LA與B端空氣柱長(zhǎng)度LB各為多少？（2）如果B端始終與大氣連通，不封閉，先將試管緩慢倒轉(zhuǎn)180°，再緩慢回轉(zhuǎn)180°復(fù)原。試問(wèn)最后管中A端空氣柱長(zhǎng)度與B端空氣柱長(zhǎng)度各為多少L0？設(shè)倒轉(zhuǎn)過(guò)程均在大氣環(huán)境下進(jìn)行，溫度不變。1m圖24-3370cm6．某水銀氣壓計(jì)的玻璃管頂端高出水銀槽液面1m。如圖24-33所示，因上部混入少量空氣，使其讀數(shù)不準(zhǔn)。當(dāng)氣溫為27oC，標(biāo)準(zhǔn)氣壓計(jì)讀數(shù)仍為76cmHg1m圖24-3370cm（1）在相同氣溫下，若用該氣壓計(jì)測(cè)量氣壓，測(cè)得讀數(shù)為68cmHg，則實(shí)際氣壓應(yīng)為多少厘米汞柱？（2）若在氣溫為-3oC時(shí)，用該氣壓計(jì)測(cè)得氣壓讀數(shù)仍為70cmHg，則實(shí)際氣壓應(yīng)為多少厘米汞柱？7．如圖24-61所示，有一個(gè)直立的氣缸，氣缸底到氣缸口的距離為L(zhǎng)0cm，用一厚度和質(zhì)量均可忽略不計(jì)的剛性活塞A，把一定質(zhì)量的空氣封在氣缸內(nèi)，活塞與氣缸間的摩擦可忽略。平衡時(shí)活塞上表面與氣缸口的距離很?。ㄓ?jì)算時(shí)可忽略不計(jì)），周?chē)髿獾膲簭?qiáng)為H0cmHg?，F(xiàn)把盛有水銀的一個(gè)瓶子放在活塞上（瓶子的質(zhì)量可忽略），平衡時(shí)活塞到氣缸底的距離為L(zhǎng)cm。若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶?jī)?nèi)水銀緩緩不斷地倒在活塞上方，這時(shí)活塞向下移，壓縮氣體，直到活塞不再下移，求此時(shí)活塞在氣缸內(nèi)可能的位置以及與之相對(duì)應(yīng)的條件（即題中給出量之間應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系），設(shè)氣體的溫度不變。8.有一根玻璃管，它的內(nèi)、外半徑分別為r和R，充滿(mǎn)發(fā)光液，在射線(xiàn)的影響下，發(fā)光液會(huì)發(fā)出綠光。對(duì)于綠光，玻璃和液體的折射率分別為n1和n2。如果有人從外表面觀察，玻璃管的厚度似乎為零，請(qǐng)問(wèn)比值必須滿(mǎn)足何條件？9.薄壁透明圓柱形玻璃容器浮于水面，容器的內(nèi)底面與容器外水面的高度差為h，容器的內(nèi)直徑為D。在容器底正中放有一個(gè)小物體A（圖33-109）。實(shí)驗(yàn)證明，在水面上方容器外側(cè)存在一個(gè)看不見(jiàn)A的“盲區(qū)”。已知水的折射率為n=4/3，sin48°36ˊ=，假定水面與玻璃表面垂直，試確定此盲區(qū)的范圍。10.如圖33-119所示，一個(gè)附著有小珠的屏，當(dāng)入射光聚焦在小珠的后表面時(shí)會(huì)把入射光反射回光源。對(duì)在水中(n=4/3)穿緊身衣潛水者來(lái)說(shuō)，理想情況下小珠要用折射率多大的材料？11.一條窄的激光束在折射率為n1的媒質(zhì)中傳播，射向半徑為R的透明球。球心到光束的距離為L(zhǎng)，光束寬度比球的半徑小得多，球是由折射率為n2的光疏媒質(zhì)制作的。試求光束與原方向的偏角。12．兩個(gè)相距很遠(yuǎn)的銅球，已知其半徑和電勢(shì)分別是：r1=6cm，U1=300V；r2=4cm，U2=150V。將這兩個(gè)銅球用細(xì)銅絲連接達(dá)到靜電平衡后，問(wèn)此時(shí)電能損耗了多少？13．真空中，有五個(gè)電量均為q的均勻帶電薄球殼，它們的半徑分別為、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此內(nèi)切于P點(diǎn)。球心分別為O1、O2、O3、O4、O5。求O5與O1間的電勢(shì)差。14．有一帶正電的孤立導(dǎo)體A。另外，從無(wú)窮遠(yuǎn)處將不帶電的導(dǎo)體B移至A的附近，試證明：（1）σA≥0（2）UA?UB?0其中為導(dǎo)體A的電荷面密度，UA和UB為導(dǎo)體A和B的電勢(shì)。物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬卷1.試證明：物體的相對(duì)論能量E與相對(duì)論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系：2.在用質(zhì)子轟擊固定鋰靶的核反應(yīng)中，（1）計(jì)算放出α粒子的反應(yīng)能。（2）如果質(zhì)子能量為1兆電子伏特，問(wèn)在垂直質(zhì)子束的方向觀測(cè)到α粒子的能量有多大？有關(guān)原子核的質(zhì)量如下：，；，；，圖51-21.圖51-213.一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問(wèn)可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。問(wèn)這種光的頻率與簡(jiǎn)正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為×10-27kg，電離能。4.如圖11-136所示，光滑無(wú)底圓筒重W，內(nèi)放兩個(gè)重量均為G的光滑球，圓筒半徑為R，球半徑為r，且r<R<2r，試求圖11-136圖11-13612L12L，GL，G（甲）1G（乙）B2FG（丙）圖11-5056.如圖11-505所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無(wú)重桿絞接而成，各絞接點(diǎn)依次為1、2……9，其中絞接點(diǎn)8、2、5、7、9位于同一水平直線(xiàn)上，且9可以無(wú)摩擦地水平滑動(dòng)。各絞接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點(diǎn)3承受有豎直向下的壓力P/2，點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力P，求絞接點(diǎn)3和圖11-5057.一平直的傳送帶以速度v=2m/s勻速運(yùn)行，傳送帶把A點(diǎn)處的零件運(yùn)送到B點(diǎn)處，A、B兩點(diǎn)之間相距L=10m，從A點(diǎn)把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=6s，能送到B點(diǎn)，如果提高傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率，零件能較快地傳送到B點(diǎn)，要讓零件用最短的時(shí)間從A點(diǎn)傳送到B點(diǎn)處，說(shuō)明并計(jì)算傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍，則零件傳送時(shí)間為多少（）？圖12-318.一物體以某一初速度v0開(kāi)始做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)直至停止，其總位移為s，當(dāng)其位移為2/3s時(shí)，所用時(shí)間為t1；當(dāng)其速度為1/3v0時(shí)，所用時(shí)間為t2，則t1、t圖12-319．一根長(zhǎng)為1m具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開(kāi)口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后，把玻璃管提升起來(lái)并取出水面。問(wèn)玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。10．靜止的原子核衰變成質(zhì)量為m1,m2,m3的三個(gè)裂片，它們的質(zhì)量損為Δm。若三裂片中每?jī)善g速度方向的夾角都是120°，求每個(gè)裂片能量。11.玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線(xiàn)照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對(duì)綠光的折射率為n1，液體對(duì)綠光的折射率為n2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r:R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？12.（1）用折射率為的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑分別為a、b的空ba心球，b遠(yuǎn)大于a，內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)。問(wèn)當(dāng)一束平行光射向此球時(shí)被吸收掉的光束橫截面積為多大？（注意：被吸收掉的光束的橫截面積，指的是原來(lái)光束的橫截面積，不考慮透明物質(zhì)的吸收和外表面的反射。）圖ba（2）如果外半徑b趨于a時(shí)，第（1）問(wèn)中的答案還能成立？為什么？13.真空中有一個(gè)半徑為R的均勻透明球，今有兩束相距為2d(d≤R)對(duì)稱(chēng)地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討論（1）n取何值時(shí)兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時(shí)兩束光一定在球外相交？（3）如果n、d、R均已給定，如何判斷此時(shí)兩束光的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外。、14．一點(diǎn)電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢(shì)分布。15．電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)C與球心O的軸線(xiàn)，如圖41-91。P、Q為CD軸線(xiàn)上在O點(diǎn)兩側(cè)，離O點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為Up，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ。物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬卷1.μ子的電量q=-e(e=×10-19C)，靜止質(zhì)量m0=100MeV/c2，靜止時(shí)的壽命τ0=10-6s。設(shè)在地球赤道上空離地面高度為h=104m處有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下運(yùn)動(dòng)。

1）、試問(wèn)此μ子至少應(yīng)有多大總能量才能到達(dá)地面？2）、若把赤道上空104m高度范圍內(nèi)的地球磁場(chǎng)看作勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=10-4T，磁場(chǎng)方向與地面平行。試求具有第1問(wèn)所得能量的μ子在到達(dá)地面時(shí)的偏離方向和總的偏轉(zhuǎn)角。

2.熱中子能有效地使鈾235裂變，但裂變時(shí)放出的中子能量代謝較高，因此在核反應(yīng)堆中石墨作減速劑。若裂變放出的中子動(dòng)能為，欲使該中子慢化為熱中子（動(dòng)能約為），問(wèn)需經(jīng)過(guò)多少次對(duì)撞？3.半徑為R、質(zhì)量為M1的均勻圓球與一質(zhì)量為M2的重物分別用細(xì)繩，AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A，并處于平衡，如圖11-205所示，已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng)，不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD與豎直方向AB的夾角θ。4.火車(chē)以速度v1向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車(chē)為s處有另一輛火車(chē)，它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運(yùn)動(dòng)，于是他立即使車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，要使兩車(chē)不致相撞，則a應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)____________________。5．如圖所示，有一個(gè)一端開(kāi)口、一端封閉的長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)熱容器，將其開(kāi)口向上豎直放置。在氣溫為27℃、氣壓為760mmHg、相對(duì)濕度為75%時(shí)，用一質(zhì)量可不計(jì)的光滑薄活塞將開(kāi)口端封閉。已知水蒸氣的飽合蒸氣壓為，在0℃時(shí)為。（1）若保持溫度不變，想通過(guò)在活塞上方注入水銀加壓強(qiáng)的方法使管內(nèi)開(kāi)始有水珠出現(xiàn)，那么容器至少為多長(zhǎng)？（2）若在水蒸氣剛開(kāi)始凝結(jié)時(shí)固定活塞，降低容器溫度，當(dāng)溫度降至0℃時(shí)，容器內(nèi)氣體壓強(qiáng)為多大？6．一個(gè)靜止的豎直放置的玻璃管，長(zhǎng)為H=23cm，粗細(xì)均勻，開(kāi)口向下，其內(nèi)有一段長(zhǎng)為h=10cm的水銀柱，把長(zhǎng)為L(zhǎng)0=10cm的空氣柱封閉在管的上端。設(shè)外界大氣壓強(qiáng)p0=×105Pa，求當(dāng)管以20m/s2的加速度上升時(shí)，管中封閉的氣柱長(zhǎng)為多少厘米？（取g=10m/s2，水銀密度ρ=×104kg/m3）7．如圖所示，用導(dǎo)熱材料制成的兩端開(kāi)口的U型管ABCD，其中AB高h(yuǎn)=24cm，CD高L2=20cm，截面積分別為SAB=1cm2，SCD=2cm2，開(kāi)始時(shí)兩管均有高h(yuǎn)=16cm的水銀柱，現(xiàn)用兩個(gè)橡皮帽將兩個(gè)管口封閉，打開(kāi)下方的閥門(mén)K，用注射器從底部緩慢抽出水銀，當(dāng)其中的一個(gè)管內(nèi)的水銀被抽干時(shí)立即關(guān)閉閥門(mén)K。（已知大氣壓強(qiáng)為p0=75cmHg）（1）請(qǐng)你判斷首先被抽干的是哪一管中的水銀？（2）另一只管中剩余的水銀柱高度為多少？（a）8．如圖（a）所示，水平固定的圓筒由足夠長(zhǎng)粗筒和細(xì)筒相接而成，筒中有直徑不同的兩個(gè)活塞A、B用一根細(xì)繩相連，活塞B通過(guò)水平細(xì)繩、定滑輪與一個(gè)質(zhì)量為m=的重物C連接，A、B兩活塞的橫截面積分別為S1=20cm2，S2=10cm2。當(dāng)兩活塞封閉的空氣柱溫度為t=327℃時(shí)，兩活塞保持靜止，此時(shí)兩活塞分別與大小圓筒的相接面的距離均為L(zhǎng)，已知大氣壓強(qiáng)p0=×105Pa，活塞與筒壁、滑輪與輪軸間的摩擦均可忽略不計(jì)，取g=10m/s（a）（1）此時(shí)筒內(nèi)兩活塞間氣柱的壓強(qiáng)為多大？（2）當(dāng)筒內(nèi)氣柱的溫度緩慢降到時(shí)，活塞A能否向右移動(dòng)距離L，試說(shuō)明理由。（3）當(dāng)氣柱溫度降到時(shí)，筒內(nèi)氣柱的壓強(qiáng)為多大？（在整個(gè)變化過(guò)程中，A、B繩子始終有作用力）。9.眾所周知，在沙漠中能觀察到蜃樓現(xiàn)象，假設(shè)在近大地的空氣層中，光速按c(z)=c0(1-az)規(guī)律變化，式中c0為光沿地面的速度，z為離地高度。試問(wèn)：觀察者觀察到蜃樓現(xiàn)象時(shí)，估計(jì)真實(shí)景物離他多遠(yuǎn)？設(shè)觀察者身高為h。10.如圖所示，在內(nèi)半徑為r、外半徑為R，折射率為n1的玻璃管中充滿(mǎn)了折射率為n2的發(fā)光液體，試問(wèn)，從遠(yuǎn)處看，當(dāng)管的厚度消失時(shí)，r和R應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？αα11.空氣中放一個(gè)半徑為R、折射率為n的玻璃球，兩支相距d<2Rαα（1）為使兩支光束在球內(nèi)有實(shí)交點(diǎn)，d與n之間必須滿(mǎn)足什么樣的關(guān)系？（2）為使兩支光束對(duì)任何d<2R均在球外有實(shí)交點(diǎn)，n可取哪些值？12．如圖所示，半徑為R的絕緣圓環(huán)由直徑AB分成的兩半部分各均勻帶有正、負(fù)電荷。正負(fù)電荷的電量都是Q。(1)試證明過(guò)直徑AB的直線(xiàn)是一條電勢(shì)為零的等勢(shì)線(xiàn)。(2)求帶正電的半圓環(huán)所激發(fā)的電場(chǎng)在環(huán)心O點(diǎn)的電勢(shì)。物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬卷1.光子火箭從地球起程時(shí)初始靜止質(zhì)量（包括燃料）為M0，向相距為R=×.（光年）的遠(yuǎn)方仙女座星飛行。要求火箭在25年（火箭時(shí)間）后到達(dá)目的地。引力影響不計(jì)。1）、忽略火箭加速和減速所需時(shí)間，試問(wèn)火箭的速度應(yīng)為多大？2）、設(shè)到達(dá)目的地時(shí)火箭靜止質(zhì)量為M0ˊ，試問(wèn)M0/M0ˊ的最小值是多少？2.如圖所示，地面上的觀察者認(rèn)為在地面上同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A和B，在相對(duì)地面以速度（平行于x軸，且與正方向同向）運(yùn)動(dòng)的火箭上的觀察者的判斷正確的是（）A、A早于BB、B早于AC、A、B同時(shí)發(fā)生D、無(wú)法判斷3.如圖所示，正方形均質(zhì)板重G，用4根輕質(zhì)桿鉸鏈水平懸掛，外形構(gòu)成邊長(zhǎng)為a的立方體，現(xiàn)將方板繞鉛垂對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)θ角度，再用一細(xì)繩圍繞四桿的中點(diǎn)捆住，使板平衡于θ角位置。試求繩內(nèi)的張力。4.如圖所示，一小車(chē)對(duì)地以加速度a1=1m/s2向左由靜止開(kāi)始作勻加速運(yùn)動(dòng)，車(chē)上一人又以加速度a2=2m/s2相對(duì)于車(chē)向右同時(shí)由靜止開(kāi)始作勻加速運(yùn)動(dòng)。求：（1）人對(duì)地的加速度；（2）經(jīng)歷時(shí)間t1=1s，人對(duì)地的瞬時(shí)速度；（3）經(jīng)歷時(shí)間t2=2s，人對(duì)地的位移。5．有一小直徑為d的試管，管內(nèi)裝有理想氣體，其中有一段質(zhì)量m=2g的水銀將理想氣體和空氣隔開(kāi)。當(dāng)試管口向上時(shí)，氣體在試管中的長(zhǎng)為L(zhǎng)1（圖24-30（a）中的（a）），當(dāng)將管口向下時(shí)，氣體在試管中長(zhǎng)為L(zhǎng)2（圖24-30（b）中的（b）），試求L2/L1為多少？6．有一個(gè)兩端開(kāi)口、粗細(xì)均勻的U型玻璃細(xì)管，放置在豎直平面內(nèi)，處在壓強(qiáng)為的大氣中，兩個(gè)豎直支管的高度均為h，水平管的長(zhǎng)度為2h，玻璃細(xì)管的半徑為r,r?h，今將水平管內(nèi)灌滿(mǎn)密度為ρ的水銀，如圖所示。1．如將U型管兩個(gè)豎直支管的開(kāi)口分別封閉起來(lái)，使其管內(nèi)空氣壓強(qiáng)均等于大氣壓強(qiáng)，問(wèn)當(dāng)U型管向右作勻加速移動(dòng)時(shí)，加速度應(yīng)多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長(zhǎng)度穩(wěn)定為。2．如將其中一個(gè)豎直支管的開(kāi)口封閉起來(lái)，使其管內(nèi)氣體壓強(qiáng)為1atm，問(wèn)當(dāng)U型管繞以另一個(gè)豎直支管（開(kāi)口的）為軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)數(shù)n應(yīng)為多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長(zhǎng)度穩(wěn)定為。（U型管作以上運(yùn)動(dòng)時(shí)，均不考慮管內(nèi)水銀液面的傾斜）7.有一塊透明光學(xué)材料，由折射率略有不同的許多相互平行的，厚度d=的薄層緊密連接構(gòu)成，圖33-40表示各薄層互相垂直的一個(gè)截面，若最下面一層的折射率為n0，從它往上數(shù)第K層的折射率為nK=n0-Kv，其中n0=,v=，今有一光線(xiàn)以入射角i=60°射向O點(diǎn)，求此光線(xiàn)在這塊材料內(nèi)能達(dá)到的最大深度？8.（1）所示為一凹球面鏡，球心為C，內(nèi)盛透明液體，已知C至液面高度CE為，主軸CO上有一物A，物離液面高度AE恰好為時(shí)，物A的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)光圈直徑很小，可以保證近軸光線(xiàn)成像。試求該透明液體的折射率n。A（2）體溫計(jì)橫截面如圖所示，已知細(xì)水銀柱A離圓柱面頂點(diǎn)O的距離為2R，R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，EA9．如圖所示，兩個(gè)固定的均勻帶電球面A和B分別帶電4Q和Q（Q>0）。兩球心之間的距離d遠(yuǎn)大于兩球的半徑，兩球心的連線(xiàn)MN與兩球面的相交處都開(kāi)有足夠小的孔，因小孔而損失的電量可以忽略不計(jì)。一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)靜止地放置在A球左側(cè)某處P點(diǎn)，且在MN直線(xiàn)上。設(shè)質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)釋放后剛好能穿越三個(gè)小孔，并通過(guò)B球的球心。試求質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)所在的P點(diǎn)與A球球心的距離x應(yīng)為多少？10．如圖所示，在真空中有4個(gè)半徑為a的不帶電的相同導(dǎo)體球，球心分別位于邊長(zhǎng)為r（r?a）的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。首先，讓球1帶電荷Q（Qxd?0），然后取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球1上，另一端分別依次與球2、3、4xd1.μ子的電量q=-e(e=×10-19C)，靜止質(zhì)量m0=100MeV/c2，靜止時(shí)的壽命τ0=10-6s。設(shè)在地球赤道上空離地面高度為h=104m

1）、試問(wèn)此μ子至少應(yīng)有多大總能量才能到達(dá)地面？2）、若把赤道上空104m高度范圍內(nèi)的地球磁場(chǎng)看作勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=10-4T，磁場(chǎng)方向與地面平行。試求具有第1問(wèn)所得能量的μ子在到達(dá)地面時(shí)的偏離方向和總的偏轉(zhuǎn)角。

分析：利用時(shí)間膨脹公式可將地球上觀測(cè)到的子的壽命與靜止系中的壽命建立聯(lián)系。對(duì)地球上的觀察者而言，子為能達(dá)到地面，所具速度必須保證它在時(shí)間內(nèi)走完全程。利用質(zhì)能公式可得子的相應(yīng)能量。由于子的動(dòng)能比重力勢(shì)能大得多，重力影響可忽略。又因地磁場(chǎng)引起的偏轉(zhuǎn)較小，計(jì)算第1問(wèn)時(shí)可不考慮洛倫茲力，因此，可把子近似看成作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。求解第2問(wèn)時(shí)，必須考慮由地磁場(chǎng)引起的洛倫茲力，此力使子產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)。因洛倫茲力對(duì)子不做功，故其能量保持常值。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)能公式可寫(xiě)出子坐標(biāo)所遵從的微分方程，解此微分方程即可求得偏轉(zhuǎn)量。子除受洛倫茲力外，還受地球自轉(zhuǎn)引起的科星奧利力的作用，它對(duì)子偏轉(zhuǎn)的影響應(yīng)作一估算。解：（1）近似地把子看成是作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度為，到達(dá)地面所需地球時(shí)間為為能到達(dá)地面，需滿(mǎn)足式中為地球觀察者測(cè)得的子壽命，它與的關(guān)系為由質(zhì)能公式，子的能量為給合以上諸式，有代人數(shù)據(jù)，子至少應(yīng)有能量（2）、如圖所示，取直角坐標(biāo)系Oxyz，原點(diǎn)O在地面，x軸指向西，y軸垂直于地面向上指向北。子的初始位置和初速度為磁場(chǎng)B與z軸方向一致，子所受洛倫茲力為子的動(dòng)力學(xué)方程為其中E=常量成分量形式為（1）（2）（1）式對(duì)t求導(dǎo)后再將（2）式代入，得式中上述方程的解為因此，有故得初條件為得最后得子的坐標(biāo)為到達(dá)地面時(shí)，y=0，即有因，有子到達(dá)地面時(shí)的坐標(biāo)為朝方向（向西）的偏轉(zhuǎn)角為落地點(diǎn)向西偏離的距離為子落地過(guò)程需時(shí)此階段地球表面一點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的距離為可見(jiàn)，s?，即由地球自轉(zhuǎn)引起的偏離可以忽略。2.熱中子能有效地使鈾235裂變，但裂變時(shí)放出的中子能量代謝較高，因此在核反應(yīng)堆中石墨作減速劑。若裂變放出的中子動(dòng)能為，欲使該中子慢化為熱中子（動(dòng)能約為），問(wèn)需經(jīng)過(guò)多少次對(duì)撞？解：運(yùn)動(dòng)的中子與石墨中靜止的碳原子碰撞可作為彈性碰撞處理。設(shè)第次碰拼音字母前中子速度大小為，碰后速度大小為，由動(dòng)量守恒和能量守恒可得式中分別為碳原子、中子的質(zhì)量，近似有。于是可表述為初始的中子對(duì)應(yīng)動(dòng)能，碰撞次后的動(dòng)能取為，則有兩邊取對(duì)數(shù)解得取整數(shù)后為3.半徑為R、質(zhì)量為M1的均勻圓球與一質(zhì)量為M2的重物分別用細(xì)繩，AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A，并處于平衡，如圖11-205所示，已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng)，不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD與豎直方向AB的夾角θ。分析：在平衡條件下，一個(gè)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力作用時(shí)，這三個(gè)力的作用線(xiàn)必相交于一點(diǎn)。這是平衡問(wèn)題的一個(gè)基本結(jié)論，本題就是一例。解：作用在球上的力有重力繩的拉力T和ACE繩的壓力N。由于不考慮繩與球的摩擦，所以N的方向沿半徑指向球心，重力也是通過(guò)球心的。由于球平衡，所以繩AD的拉力也必過(guò)球心，因此可判斷繩一定沿OA方向（如圖11-206）。圖11-206對(duì)球和重物組成的系統(tǒng)，根據(jù)平衡條件，和對(duì)A點(diǎn)的力矩大小相等，即圖11-206（1）由圖可知代入（1）式，可解得4.火車(chē)以速度v1向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車(chē)為s處有另一輛火車(chē)，它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運(yùn)動(dòng)，于是他立即使車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，要使兩車(chē)不致相撞，則a應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)____________________。分析：司機(jī)使火車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)后面的火車(chē)與前方火車(chē)時(shí)的速度相等時(shí)，兩車(chē)再也不能接近了，也就是后面的火車(chē)與前面火車(chē)的速度相等時(shí)，后面火車(chē)的位移與前面火車(chē)的位移之差要小于s時(shí)，兩車(chē)才不致相撞，本題解法中有四種。解法一：當(dāng)兩車(chē)速度相等時(shí)，兩車(chē)沒(méi)有相撞，以后再也不會(huì)相撞，前車(chē)減速的時(shí)間為t，則解法二：以前車(chē)為參照系，后車(chē)的速度為，當(dāng)后車(chē)的速度減為零時(shí)，其位移小于s，兩車(chē)不會(huì)相撞，即圖12-34。圖12-34解法三：作出兩車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)是圖像如圖12-34所示，由圖像可知：在兩圖像相交前與時(shí)間軸所圍面積之差（即圖中陰影部分）小于s時(shí)，兩車(chē)不會(huì)相撞。即解法四：后車(chē)的位移為，前車(chē)的位移為，要使兩車(chē)不相撞，即，說(shuō)明此二次函數(shù)無(wú)解，即，。以上四種解法中，以第二種解法最簡(jiǎn)捷。圖24-285．如圖24-28所示，有一個(gè)一端開(kāi)口、一端封閉的長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)熱容器，將其開(kāi)口向上豎直放置。在氣溫為27℃、氣壓為760mmHg、相對(duì)濕度為75%時(shí)，用一質(zhì)量可不計(jì)的光滑薄活塞將開(kāi)口端封閉。已知水蒸氣的飽合蒸氣壓為，在0℃時(shí)為。（1）若保持溫度不變，想通過(guò)在活塞上方注入水銀加壓強(qiáng)的