第30講面面垂直的判定定理及性質(zhì)2種題型-【題型講義】高一數(shù)學(xué)教學(xué)題型講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）2

第30講面面垂直的判定定理及性質(zhì)2種題型【題型目錄】題型一：面面垂直判定定理題型二：面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用【典型例題】題型一：面面垂直判定定理【例1】如圖，四棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明過(guò)程見解析【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故證明面面垂直；【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)?，所以⊥AD，因?yàn)镻AAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)镃FAB，所以CF⊥平面PAD，因?yàn)镃F平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；【例2】如圖，四棱錐的底面是菱形，平面，點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）連接，根據(jù)題意可證明平面，根據(jù)面面垂直判定定理即可證平面面；（2）取中點(diǎn)為G，連接，構(gòu)造平行四邊形證明，根據(jù)線面平行判定定理即可證明平面.【詳解】（1）解：由題，連接，∵四邊形是菱形，故；∵平面，且平面；∴；又，且平面；∴平面；∵平面∴平面面；（2）解：由題，取中點(diǎn)為G，連接；∵四邊形是菱形，且點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn)；∴且；∴四邊形是平行四邊形，故；∵平面，平面；∴平面.【例3】圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖2．(1)求證：平面平面；(2)已知點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明，（2）由棱錐的體積公式求解，【詳解】（1）由題意可知，，因?yàn)榍?，所以四邊形為菱形，連接交于點(diǎn)，則，在中，，所以，在圖2中，，因?yàn)椋?，又平面，平?所以平面，又平面，故平面平面；（2）平面，所以到面距離為，所以P到面距離為，，所以【例4】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，利用等體積法計(jì)算作答.【詳解】（1）在四棱錐中，因是的中點(diǎn)，則，在直角中，，有，在矩形中，，有，又因，在中，，則，而平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，且，于是得平面，又平面，則，即是直角三角形，而，則面積，又面積，又平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【例5】如圖所示，圓錐的高，底面圓O的半徑為R，延長(zhǎng)直徑AB到點(diǎn)C，使得，分別過(guò)點(diǎn)A，C作底面圓O的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是切線CE與圓O的切點(diǎn)．(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定即可證得．【詳解】（1）由題設(shè)，平面，又是切線與圓的切點(diǎn)，∴平面，則，且，又，∴平面，又平面，所以平面平面.【例6】如圖，已知在四棱錐中，，，，平面⊥平面．(1)求證：平面⊥平面；(2)若直線平面，直線平面，直線平面，求的值．【答案】(1)證明見解析.(2)的值為.【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由已知條件，，可設(shè)，，從而求出，運(yùn)用相似和勾股定理求得，利用線面垂直的判定定理可得到平面，接著根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得平面⊥平面.（2）利用已知條件征得，即可得出，利用相似的比例即可求得的值.【詳解】（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).，又，，四邊形是矩形，，，，，所以設(shè)，則，又，，，，，，，，，由勾股定理可得：，，四邊形是矩形，，，，，，由，，，即.，又平面⊥平面，平面平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：直線平面，直線平面，直線平面，平面即為平面.直線平面，平面，又平面平面，，，，由（1）可知，，，，，，的值為.【例7】如圖，在三棱錐是，，且，O為的中點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且．(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)O到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理，先證線面垂直，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得答案；（2）利用等體積法，可得求得答案.【詳解】（1）證明：，為中點(diǎn)，，，，又在中，，，，，，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面ABC的距離為，，在（1）中已經(jīng)證明平面，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，所以，在中，由余弦定理可得，解得，在中，，在中，由余弦定理可得，，，，解得．【題型專練】1．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，，與交于點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)線線垂直得線面垂直，進(jìn)而由面面垂直的判斷即可求證，（2）根據(jù)面積比得體積比，根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）由，可知,由于故，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又，?平面,所以平面,又平面，故平面平面.（2）由，可知，因此，因此,故四棱錐的體積為22．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面為的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面平面；(2)若，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，然后再根據(jù)面面垂直的判定定理即可說(shuō)明平面平面；（2）首先根據(jù)（1）平面的條件，可得，方法一，借助相似三角形求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.方法二，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量垂直的判定條件求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.方法三，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的判定條件求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.方法四，通過(guò)向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求出的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榈酌嫫矫?，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平?（2）方法一：相似三角形法由（1）可知.于是，故.因?yàn)?，所以，?故四棱錐的體積.3．如圖在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，且，底面，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到，從而證明平面，，由，得；由等腰三角形的三線合一得，從而平面，由此能證明平面平面.（2）由平面得到，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，、平面，∴平面，平面，；又在平行四邊形，，則，∵在中，，為中點(diǎn)，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，平面平面.（2）由題知，，則在中，，是中點(diǎn)，所以，即，故平行四邊形的面積；又因?yàn)槠矫?，，所以四棱錐的體積.4．如圖，在幾何體中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)度和角度關(guān)系可證得，得到，由線面垂直的性質(zhì)可得，由此可證得平面，由面面垂直的判定可證得結(jié)論；【詳解】（1）連接，，，，，，，又，，，；平面，平面，，，平面，平面，又平面，平面平面.5．如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面，且M是的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求四面體的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）在平面中構(gòu)造與平面垂直的直線，通過(guò)證明面，即可由線面垂直證明面面垂直；（2）由，利用等體積法求出四面體的體積即可.【詳解】（1）過(guò)作的平行線交分別于點(diǎn)，連接，如下所示：因?yàn)槭钦庵?，故可得面面，故；又三角形為等邊三角形，為中點(diǎn)，故；又面，，故面；因?yàn)?，則確定一個(gè)平面，即面，又面，面面，故可得，則面，又面，故面面.（2）根據(jù)（1）中所證，可得，故四邊形為平行四邊形，在△中，因?yàn)椋尹c(diǎn)為中點(diǎn)，故可得，又，則，所以，又正三棱柱中到平面的距離為，即到平面的距離，所以.6．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)．(1)求證：平面CDM⊥平面OAD；(2)點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，求OB與平面DMN的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判斷定理、性質(zhì)定理以及面面垂直的判斷定理證明.（2）利用中位線、線面平行的判斷定理以及余弦定理、等體積法進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：如圖：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD，又因?yàn)镺A⊥面ABCD，且CD?面ABCD，所以O(shè)A⊥CD，又OA∩AD＝A，故CD⊥面OAD，CD?面CDM，所以平面CDM⊥平面OAD；（2）如圖，因?yàn)镸，N分別為AO，AB的中點(diǎn)，所以，MN∥OB，又因?yàn)镸N?面MND，OB面MND，所以，OB∥面MND，故OB到平面MND的距離即為點(diǎn)B也即點(diǎn)A到平面MND的距離，由題可知，AN＝1，AD＝2，AM＝1，所以，，，所以，故，設(shè)點(diǎn)A到平面MND的距離為h，則VA﹣MND＝VM﹣AND，即，解得，所以O(shè)B到平面MND的距離為．7．已知平面，，是正三角形，.(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過(guò)證明面，即可由線面垂直證明面面垂直；【詳解】（1）取中點(diǎn)分別為，連接，如下所示:因?yàn)槊婷妫?；又△為等邊三角形，故；又面，故面；又在△中，分別為的中點(diǎn)，故//；因?yàn)槊婷?，?/，又；故//，則四邊形為平行四邊形，則//，故面，又面，故面面.8．在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)，滿足于F．(1)求證：平面平面；【答案】(1)詳見解析；【分析】（1）由題可得，利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理可得平面，進(jìn)而平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面?．如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD．(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；(2)當(dāng)PA＝AB＝2，∠ABC＝時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由平面ABCD得，由底面ABCD為菱形得，由直線與平面垂直的判定可得平面，從而得到平面平面；（2）由，結(jié)合棱錐體積公式求解即可．【詳解】（1）平面，，底面為菱形，，又，平面，而平面，平面平面；（2），，底面ABCD為菱形，，，又平面，．三棱錐的體積為．題型一：面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用【例1】已知：平面平面，，直線l在平面內(nèi)，且，求證：直線平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)得到，再利用線面垂直的判定定理證明即可.【詳解】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，因?yàn)?，，，，，，所以直線，所成角為直角，即又，，，所以.【例2】如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，平面平面.(1)證明：；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）在梯形中結(jié)合余弦定理證明，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）因，則為等邊三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.【例3】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過(guò)作輔助線，利用三角形、面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判斷定理.（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、三棱錐的體積公式以及等體積法進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所?又平面平面，平面平面，所以平面.連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，是的中點(diǎn)，所以.又是的中點(diǎn)，，所以.因?yàn)?，所以平?（2）由題可知，，點(diǎn)到平面的距離，則，因?yàn)?，平面平面，所以平面，又平面，所以，則.又，所以，則,設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)A到平面的距離為.【例4】如圖.在平行四邊形中，，，把沿對(duì)角線折起，使得平面平面后.(1)求的長(zhǎng)；(2)求異面直線與所成的角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知平面，進(jìn)而有，結(jié)合勾股定理即可求解；（2）過(guò)作且，連接，，則為異面直線與所成的角，求出即可（1）在平行四邊形中，，，把沿對(duì)角線折起，使得平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，又平行四邊形中，，，所以，，，，（2）過(guò)作且，連接，四邊形為平行四邊形，為異面直線與所成的角平面，平面，，是正三角形所以異面直線與所成的角的大小為【題型專練】1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，Q為棱PD的中點(diǎn)，．(1)求證：平面ABCD；【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)定理作答.（1）在四棱錐中，因平面平面ABCD，平面平面，又，平面，所以平面ABCD.2．在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）由中位線性質(zhì)可得，結(jié)合四邊形為正方形可得，然后利用線面平行的判定定理即可；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得到平面，則，再利用等邊三角形可得到，最后利用線面垂直的判定定理即可證明；（1）因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫娴酌?/p>