高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練46雙曲線(xiàn)含解析新人教A版

PAGEPAGE9考點(diǎn)規(guī)范練46雙曲線(xiàn)基礎(chǔ)鞏固1.若a>1,則雙曲線(xiàn)x2a2-y2=A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)答案:C解析:由題意得e2=c2a2=a因?yàn)閍>1,所以1<1+1a2<2.所以1<e<2.2.當(dāng)雙曲線(xiàn)M:x2m2-y22m+6=A.y=±2x B.y=±22C.y=±2x D.y=±12答案:C解析:由題意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,當(dāng)m=-1時(shí),焦距2c取得最小值,則雙曲線(xiàn)的方程為x2-y24=1,其漸近線(xiàn)方程為y=±23.若雙曲線(xiàn)y2a2-x29=1(a>A.2 B.4 C.18 D.36答案:C解析:雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為y=-a3x,所以-a3×13=-1,解得a=9,所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為24.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)分別交于D,E兩點(diǎn).A.4 B.8C.16 D.32答案:B解析:由題意可知,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±bax因?yàn)橹本€(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)分別交于D,E兩點(diǎn),所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以S△ODE=12×2b·a=ab=8所以c2=a2+b2≥2ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取等號(hào).所以c≥4,所以2c≥8.所以雙曲線(xiàn)C的焦距的最小值為8.故選B.5.設(shè)F1,F2分別為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|-|PF2|)2A.2 B.15 C.4 D.17答案:D解析:由雙曲線(xiàn)的定義知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3·ba=4,解得b因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率e=ca所以e=17.故選D.6.已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線(xiàn)與圓(x-A.32 B.2 C.3 D.答案:B解析:因?yàn)殡p曲線(xiàn)x2a2-所以c=2,因?yàn)殡p曲線(xiàn)與圓(x-2)2+y2=1相切,所以圓心為F(2,0),半徑r=1.所以c-a=1,即a=1,所以雙曲線(xiàn)的離心率e=ca=27.(2021全國(guó)Ⅰ,文14)雙曲線(xiàn)x24-y25=1的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)x+2答案:5解析:由雙曲線(xiàn)方程可得c=4+5=3,即雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F(3,0).則點(diǎn)F到直線(xiàn)x+2y-8=0的距離d=|3+28.雙曲線(xiàn)C:x24-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左支于A,B兩點(diǎn),則|AF2|+|BF2|的最小值為答案:9解析:由雙曲線(xiàn)的定義,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2b2a+4a=2×12+89.設(shè)A,B分別為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1((1)求雙曲線(xiàn)的方程;(2)已知直線(xiàn)y=33x-2與雙曲線(xiàn)的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線(xiàn)的右支上存在點(diǎn)D,使OM+ON=tOD,求t的值及點(diǎn)解:(1)由題意知a=23,故可得一條漸近線(xiàn)方程為y=b23即bx-23y=0,所以|bc所以b2=3,所以雙曲線(xiàn)的方程為x212-(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程得x2-163x+84=0,則x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4310.已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件|PM|-|PN|=22,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),求OA·OB解:(1)由|PM|-|PN|=22知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支,實(shí)半軸長(zhǎng)a=2.又焦距2c=4,所以虛半軸長(zhǎng)b=c2所以W的方程為x22-y22=(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2,y1=-y2,從而OA·OB=x1x2+y1y2=x1當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m(k≠±1),與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,則x1+x2=2km1-k2,x1所以O(shè)A·OB=x1x2+y1=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k=2k2+2k2又因?yàn)閤1x2>0,所以k2-1>0.所以O(shè)A·OB>綜上所述,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),OA·OB能力提升11.已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)AA.x24-y212=C.x23-y2=1 D.x2-y答案:D解析:∵雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上,且△∴c=2,∴雙曲線(xiàn)的方程為x2-y23=1.12.設(shè)F為雙曲線(xiàn)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn)A.2 B.3 C.2 D.5答案:A解析:如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱(chēng)性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,∴|OA|=c2.∴Pc2,又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,∴c24+即c22=a2,∴e2=c∴e=2,故選A.13.已知點(diǎn)O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=34-x2圖象上的點(diǎn),則|OP|=(A.222 B.4C.7 D.10答案:D解析:由條件可知點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,雙曲線(xiàn)方程為x2-y23=1(x>又點(diǎn)P為函數(shù)y=34-聯(lián)立方程x2-y23=1(x>0),所以|OP|=x2+y14.已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,且|PF1|=4|PF答案:5解析:由定義,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=83a,|PF2|=23在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=649a2要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,∴當(dāng)cos∠F1PF2=-1時(shí),得e=53即e的最大值為5315.已知雙曲線(xiàn)C:x2-y2=1及直線(xiàn)l:y=kx-1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為2,求實(shí)數(shù)k的值.解:(1)雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則方程組x2整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1解得-2<k<2,且k≠±1.雙曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).(2)設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)D(0,-1),由(1)知,C與l聯(lián)立的方程組可化簡(jiǎn)為(1-k2)x2+2kx-2=0.故x當(dāng)A,B在雙曲線(xiàn)的一支上,且|x1|>|x2|時(shí),S△OAB=S△OAD-S△OBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2當(dāng)A,B在雙曲線(xiàn)的兩支上,且x1>x2時(shí),S△OAB=S△ODA+S△OBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2故S△OAB=12|x1-x2|=2即(x1-x2)2=(22)2,即-2k解得k=0或k=±62又-2<k<2,且k≠±1,所以當(dāng)k=0或k=±62時(shí),△AOB的面積為216.由兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的半圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形如圖所示,其中上半個(gè)圓所在圓的方程是x2+y2-4y-4=0,雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)A,B是該圓與x軸的交點(diǎn),雙曲線(xiàn)與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn).(1)試求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)記雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,試在曲線(xiàn)上求點(diǎn)P,使得∠F1PF2是直角.解:(1)上半圓所在圓的方程是x2+y2-4y-4=0,則圓心為(0,2),半徑為22.則下半圓所在圓的圓心為(0,-2),半徑為22.雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)A,B是該圓與x軸的交點(diǎn),即為(-2,0),(2,0),即a=2.由于雙曲線(xiàn)與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn),則令y=2,解得x=±22.即交點(diǎn)為(±22,2).設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2a2-y2則8a2-4b2=則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-(2)由(1)知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-22,0),F2(22,0).若∠F1PF2是直角,則設(shè)P(x,y),則有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y由x2+y2=8故在曲線(xiàn)上所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,高考預(yù)測(cè)17.已知雙曲線(xiàn)x2a