圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定

1.3.2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定自學(xué)導(dǎo)引1.圓內(nèi)接多邊形

(1)如果多邊形的所有頂點都在一個圓上，那么這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓．

(2)同樣，如果四邊形的四個頂點都在同一個圓上，則稱該四邊形為圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓．2.圓內(nèi)接四邊形的兩個性質(zhì)定理

(1)定理：圓的內(nèi)接四邊形的

．并且任何一個外角都等于

．對角互補它的內(nèi)對角3．圓內(nèi)接四邊形的判定定理

(1)圓內(nèi)接四邊形的判定定理

如果一個四邊形的

，那么這個四邊形的四個頂點共圓．

對角互補(3)判斷四點共圓的常用方法①如果四個點與一定點的距離相等，那么這四個點共圓；②如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；③如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；④如果兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形的四個頂點共圓．試一試：判斷下列各命題是否正確．(1)任意三角形都有一個外接圓，但可能不止一個；(2)矩形有唯一的外接圓；(3)菱形有外接圓；(4)正多邊形有外接圓．提示(1)錯誤，任意三角形有唯一的外接圓；(2)正確，因為矩形對角線的交點到各頂點的距離相等；(3)錯誤，只有當(dāng)菱形是正方形時才有外接圓；(4)正確，因為正多邊形的中心到各頂點的距離相等．名師點睛1．(1)要注意圓內(nèi)接四邊形的四個內(nèi)角都是圓周角這一特點．利用圓周角定理，把圓周角與相應(yīng)的圓心角聯(lián)系起來，從而得出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì).

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明角的相等或互補提供了理論依據(jù)，因而也為論證角邊關(guān)系提供了一種新方法．2．掌握圓的內(nèi)接四邊形需注意的問題

(1)在圓內(nèi)接四邊形的判定定理的證明中，利用了窮舉法．所謂的“窮舉法”就是當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時，通過對每一種情況分別論證，最后獲證結(jié)論的方法．在每一種情形的證明中都用到了反證法，要注意這些方法的應(yīng)用．

(2)圓內(nèi)接四邊形是圓內(nèi)接多邊形的一種特殊情況，它們的關(guān)系可以用集合形式表示：{圓內(nèi)接四邊形}?{圓內(nèi)接多邊形}．

(3)掌握一些常見的結(jié)論，例如，正多邊形一定存在外接圓；三角形一定存在外接圓，并且三角形的外接圓的圓心(即外心)是三條邊的垂直平分線的交點；圓內(nèi)接梯形一定是等腰梯形等．

(4)要注意圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用．例1如圖，圓⊙O和⊙O1相交于A，B兩點，經(jīng)過點A，B的直線EF，MN與兩圓分別相交于E，F(xiàn)；M，N.求證：EF//FN.證明：連接AB.因為四邊形ABEM是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABF=∠M.又因為四邊形ABFN是⊙O1內(nèi)接四邊形，所以∠ABF

+∠N=180°.所以EF//FN.例2如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過A作⊙O的切線交CB的延長線于P，已知∠EAD=∠PCA.求證：DA2=CD×BP.證明：因為EP是⊙O的切線，所以所以∠EAD=∠DCA，∠PAB=∠PCA.又因為∠EAD=∠PCA

，所以∠DCA=∠PAB=∠PCA，所以AD=AB.又因為圓內(nèi)接四邊形ABCD，所以∠PBA=∠D，所以△DCA與△BAP相似，因此因為AD=AB，所以

DA2=CD×BP.例3如果兩個三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等，并且造公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形有公共的外接圓.已知：如圖，∠C，∠D在AB同側(cè)，∠C=∠D.求證：△ABC和△ABD有公共的外接圓.證明：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，在⊙O的弧AB上取點E，是E與C在AB的兩側(cè).因為A，E，B，C四點共圓，所以∠ACB+∠AEB=180°.又已知∠ACB=∠ADB，所以∠ADB+∠AEB=180°.因此A，E，B，D四點共圓.因為過不共線的三點A，E，B只有一個圓，即⊙O，所以A，B，C，D四點共圓.即△ABC和△ABD有公共的外接圓.方法技巧綜合運用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理解決

問題【示例1】

已知CF是△ABC的AB邊上的高，F(xiàn)P⊥BC，F(xiàn)Q⊥AC.

求證：A、B、P、Q四點共圓．

[思維啟迪]

首先，連接PQ，要證A、B、P、Q四點共圓，只要利用判定定理或推論即可．而由題目中的垂直條件易得Q、F、P、C四點共圓，再考慮利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．證明連接PQ，在四邊形QFPC中，因為PF⊥BC，F(xiàn)Q⊥AC，所以∠FQA＝∠FPC＝90°.所以Q、F、P、C四點共圓．所以∠QFC＝∠QPC.又因為CF⊥AB，所以∠QFC與∠QFA互余．而∠A與∠QFA也互余，所以∠A＝∠QFC.所以∠A＝∠QPC.所以A、B、P、Q四點共圓．

反思感悟熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的判定定理及其推論．【示例2】

(2011·遼寧高考)如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC＝ED.

(1)證明：CD∥AB；

(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓．

[思維啟迪]

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理證明．證明(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連接AF，B