第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（章末復(fù)習(xí)課） 高一數(shù)學(xué) 課件（蘇教版2019必修第一冊(cè)）

第6章章末復(fù)習(xí)課[網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建]

[核心歸納]1.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)單調(diào)性在R上單增在(－∞，0)上單減，在(0，+∞)上單增在R上單增在[0，＋∞)上單增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單減在(－∞，0)上單增，在(0，+∞)上單減圖象公共點(diǎn)(0，0)(1，1)(1，1)2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)注意

(1)對(duì)于a>1與0<a<1，函數(shù)值的變化是不同的，因而利用性質(zhì)時(shí)，一定要注意底數(shù)的范圍，通常要用分類(lèi)討論思想.(2)a>1時(shí)，a值越大，圖象向上越靠近y軸，遞增速度越快；0<a<1時(shí)，a值越小，圖象向上越靠近y軸，遞減速度越快.(3)在同一坐標(biāo)系中有多個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小有如下關(guān)系：在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇?這一性質(zhì)可通過(guò)令x＝1時(shí)，y＝a去理解，如圖.3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)(如圖).要點(diǎn)一函數(shù)的圖象

函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)法應(yīng)用范圍畫(huà)法技巧基本函數(shù)法基本初等函數(shù)利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，畫(huà)出特殊點(diǎn)(線)，直接根據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象變換法與基本初等函數(shù)有關(guān)聯(lián)的函數(shù)弄清所給函數(shù)與基本函數(shù)的關(guān)系，恰當(dāng)選擇平移、對(duì)稱(chēng)等變換方法，由基本函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象描點(diǎn)法未知函數(shù)或較復(fù)雜的函數(shù)列表、描點(diǎn)、連線【例1】

(1)已知f(x)是函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)，則y＝f(1－x)的圖象是(

)答案(1)C

(2)A【訓(xùn)練1】

(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是

(

)解析(1)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(guò)(0，1)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來(lái)越慢的變化趨勢(shì)，故B錯(cuò)誤；D正確；C項(xiàng)中由對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來(lái)越快的變化趨勢(shì)，故C錯(cuò)誤.答案(1)D

(2)B要點(diǎn)二比較大小

數(shù)的大小比較常用方法： (1)比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問(wèn)題是本章的一個(gè)重要題型，主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法. (2)當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較. (3)比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn)，即把它們分為“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【例2】

(多選題)若a>b>1，0<c<1，則下列不等式正確的是(

) A.ac>bc B.abc>bac C.logac>logbc D.alogbc>blogac解析∵0<c<1，∴y＝xc在(0，＋∞]上為增函數(shù).∵a>b>1，∴ac>bc，故A正確；∵0<c<1，∴y＝xc－1在(0，＋∞]上為減函數(shù)，∵a>b>1，∴bc－1>ac－1，又ab>0，∴abc>bac，故B正確；∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∵a>b>1，∴l(xiāng)ogca<logcb<0，∴0>logac>logbc，故C正確；由C知，0>logac>logbc，∵a>b>1，∴alogbc<blogac<0，故D錯(cuò)誤.答案

ABCA.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c答案A要點(diǎn)三指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題

對(duì)于形如y＝af(x)或y＝f(ax)的復(fù)合函數(shù)，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的指數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)、二次函數(shù)等問(wèn)題去求解.通常研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域、值域等性質(zhì).(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的定義域；(3)求函數(shù)f(x)的值域；(4)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(3)∵x≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，∴－1<2x－1<0或2x－1>0，(4)當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1－1>0，2x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).【訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1).∴a>1，∴y＝ax在R上單調(diào)遞增，y＝a－x在R上單調(diào)遞減，故f(x)在R上單調(diào)遞增.又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R.∴f(x)是R上的奇函數(shù).由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0，得f(－x2＋7)<f(5－x)，∴－x2＋7<5－x，解得x<－1或x>2，∴不等式的解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2.而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2，∴m≤－2，∴m的最大值為－2.要點(diǎn)四對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)

以對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象與性質(zhì)為依托，以及利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題的研究時(shí)，不要忘記對(duì)數(shù)中真數(shù)應(yīng)大于0，以免擴(kuò)大范圍.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷f(x)的奇偶性；(3)解關(guān)于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1).解

(1)令t＝x－1，則x＝t＋1，所以f(x)為奇函數(shù).【訓(xùn)練4】已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1). (1)若f(x)<2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍； (2)若f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)a>1時(shí)，由f(x)<2，得0<8－ax<a2，(2)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1