2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)15 三角形中的范圍與最值問題(含詳解)

專題15三角形中的范圍與最值問題

【方法技巧與總結(jié)】

1.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類問題，

通常有下列五種解題技巧：

(D利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍

限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.

2.解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

(1)求角的最值：

(2)求邊和周長的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

【題型歸納目錄】

題型一：周長問題

題型二：面積問題

題型三：長度問題

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

題型五：倍角問題

題型六：角平分線問題

題型七：中線問題

題型八：四心問題

題型九：坐標(biāo)法

題型十：隱圓問題

題型H^一：兩邊夾問題

題型十二：與正切有關(guān)的最值問題

題型十三：最大角問題

題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問題

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

題型十六：三角形中的平方問題

題型十七：等面積法、張角定理

【典例例題】

題型一：周長問題

例1.(2022?云南?昆明市第三中學(xué)高一期中)設(shè)△ZAC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為〃，b,&設(shè)

asinC=ccos(A--).

6

⑴求4

(2)從三個條件：①的面積為0；②b=6③a=6中任選一個作為已知條件，求A/8C周長的取

值范圍.

例2.(2022?重慶,高一階段練習(xí))已知向量1=(百$山》,(：05丫)，b=(1,1),函數(shù)/(x)=d-B.

⑴求函數(shù)/(x)在［0,對上的值域；

(2)若A/8C的內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,且〃/)=2,a=l,求A/8C的周長的取值范圍.

例3.(2022?浙江?高三專題練習(xí))銳角的內(nèi)切圓的圓心為。，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,

c.若百慶=伍2+02-42加“，且18C的外接圓半徑為1,則ASOC周長的取值范圍為.

例4.(2022-浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)_/0=65畝公丫855-5m：!5'+3,其中3>0,若實(shí)數(shù)占,々

滿足|/(再)-/&)|=2時，卜-Xzl的最小值為半

(1)求。的值及/(*)的對稱中心；

(2)在中，a,b,c分別是角1,B,C的對邊，若/(/)=-l,a=JL求A/8C周長的取值范圍.

題型二：面積問題

例5.(2022?貴州黔東南?高一期中)在面積為S的△48C中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且

(1)求C的值；

(2)若Z8C為銳角三角形，記機(jī)=十，求加的取值范圍.

例6.(2022?浙江?高二階段練習(xí))在8c中，角48,C的對邊分別為0也c,cosZ+瘋iM=2.

(1)求角A；(2)若點(diǎn)。滿足而=3衣，且8c=2,求△SCO面積的取值范圍.

4

3

例7.(2022?浙江?杭師大附中模擬預(yù)測)在△力5c中，。的邊8。的中點(diǎn)，AD=2,2cosC-cos2(A+B)=~.

⑴求角C；

(2)求A/8C面積的取值范圍.

例8.(2022?江蘇省天一中學(xué)高一期中)在AN8C中，角次氏C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c,若

b=2,cosC=]-：.△48c是銳角三角形，則A/BC面積的取值范圍是.

題型三：長度問題

例9.(2022?遼寧?模擬預(yù)測)在A/8C中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(c+?-6)(sinC-sin/(+sin=3asinB.

⑴求角。的大?。?/p>

(2)設(shè)機(jī)＞1,若△N8C的外接圓半徑為4,且2〃+〃仍有最大值，求加的取值范圍.

例10.(2022?河南?模擬預(yù)測(文))在“5C中，角A,8,。的對邊分別為〃，b,c.2cos2C=2-^sin2C，

c=4,a+b=2VTO.

⑴求S“BC；

(2)求I-1的取值范圍.

ab

例11.(2022,江蘇?高三專題練習(xí))已知△48C內(nèi)角4,B,C的對邊分別為mb,c,A+C=2B,"BC

的面積S=@a.

4

⑴求邊c；

(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.

例12.(2022?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知六儂邛。*)萬=(扃nr,-co&r),/■(x)=3.g,

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)“8C的內(nèi)角4￡C所對的邊分別為a,6,c,若〃/)=g,且°=6，求/+/的取值范圍.

例13.(2022?江蘇南京?模擬預(yù)測)請?jiān)冖傧蛄縃=(；W,sinB],5=(三,sin/1,且刊歹；②

\b+c))

回=2csin[A+這兩個條件中任選一個填入橫線上并解答.

在銳角三角形N8C中，已知角A,B,C的對邊分別為。，h,c,.

(1)求角C:

⑵若"8C的面積為26，求2a+b的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

例14.(2022?全國?模擬預(yù)測)在中，內(nèi)角4&C的對邊分別為a,b,c,且

67sin=c(sinC-2sin5)+Z?(sinC+sin5).

⑴求角A；

(2)若A/8C為銳角三角形，求GS-c)的取值范圍.

例15.(2022?遼寧?撫順市第二中學(xué)三模)在①(2"小山。=伊+/-〃)華，②

CO-WC-COS/COSCM：,③=tan/+tan8這三個條件中，任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，

24bcosA

問題：在A/8C中，a,b,c分別為角4,B,C所對的邊，b=2也,.

⑴求角B;

(2)求2a-c的范圍.

例16.(2022?浙江?模擬預(yù)測)在△/8C中，角4B,C所對的邊分別是a,h,c,^2csinS=(2a+c)tanC,

bsin/sinC=布sinB,則ac的最小值為.

例17.(2022?安徽黃山?二模(文))在△/8C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,=],A=—,

a4

若勸+c有最大值，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

例18.(2022?浙江?高三專題練習(xí))己知的三邊長分別為“，h,c,角8是鈍角，則叱；°)的取值

b

范圍是.

例19.(2022■黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(文))在A/8C中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c=3bsinA,

則超位的取值范圍是()

ab

A.[3,5]B.[4,6]C.[4,2+V13]D.[4,2+V15]

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

例20.(2022?河北秦皇島?二模)在銳角A48C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

(a+b)(sinA-sinB)=(c-6)sinC.

⑴求A；

(2)求cos8-cosC的取值范圍.

例21.(2022?廣東茂名?模擬預(yù)測)已知△48。的內(nèi)角A、B、。的對邊分別為。、b、c,且

a-h=c(cosB-cosy4).

(I)判斷“LBC的形狀并給出證明；

(2)若〃?b,求sin4+sin8+sinC的取值范圍.

例22.(2022?浙江溫州?三模)在“8C中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知"1,6=應(yīng).

7T

(1)若求角4的大小；

4

⑵求cos/cos]/+.)的取值范圍.

例23.(2021?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=3sin2x+4sinxcosx-cos2x.

(1)求函數(shù)/(x)的最大值；

⑵已知在銳角△/8C中，角/,5,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足了（絲產(chǎn)?卜子衛(wèi)，求sinA-sin5-sinC

的取值范圍.

例24.（2022?山西?模擬預(yù)測（理））己知“8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，6,c,且c=2（。-bcosC）.

⑴求B；

（2）若A48C為銳角三角形，求sin?4+sin?C的取值范圍.

例25.（2022?安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測（理））銳角A/BC的內(nèi)角48,C所對的邊是a,6,c,且

?=1,6COSJ-COS5=1,若48變化時，sinB-2/lsin"存在最大值，則正數(shù)2的取值范圍是

例26.（2022?江西?南昌十中模擬預(yù)測（理））銳角”8C中，4角/的角平分線交8c于點(diǎn)M,AM=2,，

則BMCM的取值范圍為.

例27.（2022?遼寧?高一期中）在“8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知a=8tanN,

且B為鈍角，則8-4=,sinZ+sinC的取值范圍是.

例28.（2021?云南師大附中高三階段練習(xí)（理））如圖所示,有一塊三角形的空地，已知/N8C考,8C=4近

千米，48=4千米，則N4C8=；現(xiàn)要在空地中修建一個三角形的綠化區(qū)域，其三個頂點(diǎn)為8,D,

E,其中。，E為4c邊上的點(diǎn)，若使=則8。+8￡最小值為平方千米.

例29.（2021?浙江?舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖,在“8C中，48c=90。,

AC=2CB=2y/3,「是ANBC內(nèi)一動點(diǎn)，NBPC=120。，則的外接圓半徑==,NP的最小值為

例30.（2022?湖北?武漢二中模擬預(yù)測）在銳角中，a2-b2=bc,則角B的范圍是

+6sinA的取值范圍為

tanBtanA

例31.（2022?新疆喀什?一模）已知A48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c.若A=2B,且A為銳

角，則三+」二的最小值為（）

bcos/

A.2V2+1c.2V2+2

例32.（2021?北京?高三專題練習(xí)）在銳角AN8C中4=23,B,C的對邊長分別是6,c,則的取值

范圍是（）

A（MlB.8）C.g，|）D.（|常

例33.（2022?石家莊模擬）如圖，平面四邊形/8C。的對角線的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，AB=\,BC=6,

AC=CD,ACVCD,當(dāng)NN5C變化時，對角線8。的最大值為.

-題型五：倍角問題

例34.（2021?安徽?蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若C=2B,則f

的取值范圍為.

例35.（2021?全國?高三專題練習(xí)（文））已知A/8C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為“，b,c,若A=2B,

則￡+色的取值范圍為.

2ba

例36.（2020?全國?高二單元測試）已知A4BC是銳角三角形，”,仇c分別是48,C的對邊.若4=28,則各2

Da

的取值范圍是.

例37.（2020?陜西?無高一階段練習(xí)）已知A/I8C是銳角三角形，若4=28,則/的取值范圍是.

例38.（2019?四川?成都外國語學(xué)校高二開學(xué)考試（文））已知A48c的內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、b、c,

若4=28,則（史丫的取值范圍為

例39.（2021?江西鷹潭,一模（理））已知“8C的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為“、6、。，若4=28,則竺土竺

的取值范圍為.

例40.（2022?蕪湖模擬）已知A48c的內(nèi)角/,B,C.的對邊分別為a,b,c,若4=28,則^+（今最

cb

小值是.

__例41.（2022?道里區(qū)校級一模）已知A/1BC的內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a.,b,c,若/=28,則

￡+獨(dú)的取值范圍為一.

2ha

題型六：角平分線問題

例42.(2022?河北保定?高一階段練習(xí))記“8。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為*b,。，且

bcosC+ccosB=2acosA.

(1)求A的大?。?/p>

(2)若BC邊上的高為走，且A的角平分線交BC于點(diǎn)。，求的最小值.

2

例43.(2022?全國?高三專題練習(xí))在△/BC中，角48,C所對的邊分別為a,Ac.且滿足(a+2b)cosC+ccosA=0.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)設(shè)Z8邊上的角平分線CD長為2,求△/BC的面積的最小值.

題型七：中線問題

例44.(2022?江蘇省天一中學(xué)高一期中)已知的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

2sin2J-2sin25-sin2C-2sin5sinC=cos2C-cos2c.

⑴求角4

(2)若/。是ANBC的中線，且/。=2,求6+c的最大值.

例45.(2022?山西運(yùn)城?高一階段練習(xí))已知AZ8C的內(nèi)角48,C所對的邊分別為

a,b,c,yfic=yfiaccsB+asinB.

(1)若。=8/48(7的面積為4省,。為邊8(^的中點(diǎn)，求中線4D的長度；

(2)若E為邊BC上一點(diǎn),S.AE=l,BE:EC^2c:b,求b+2c的最小值.

例46.(2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測)銳角A/8C中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,且

-----=tan5+tanC.

ccosB

(1)求角C的大??；

(2)若邊c=2,邊N8的中點(diǎn)為O,求中線C。長的取值范圍.

例47.(2022?山東濱州?二模)銳角A/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

y/3bcosC-2asmA-y/iccosB■

(1)求4

(2)若Z>=2,。為N8的中點(diǎn)，求C￡>的取值范圍.

例48.(2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(文))在①3s-*s/)=?,②?=：(當(dāng)+]),③

SinCb2tan8

csin8=6cos(C-》這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在A/8C中，內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.

⑴求C；

(2)若A/8C的面積為2百，。為/C的中點(diǎn)，求80的最小值.

例49.(2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測)在①26sinC=^ccos8+csin8,②筆=三也一兩個條件中

cosC2a-c

任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在AN8C中，內(nèi)角A、8、C所對的邊分別是。、b、C,

且.

⑴求角8；

（2）若a+c=V5，點(diǎn)。是ZC的中點(diǎn)，求線段8。的取值范圍.

例50.（多選題）（2022?甘肅定西?高一階段練習(xí)）中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2,

8c邊上的中線ZO=2,則下列說法正確的有：（）

umuum3

A.ABAC=3B.b2+c2=10C.-<cos^<lD.N84D的最大值為60°

題型八：四心問題

例51.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）在ANBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,點(diǎn)。是ANBC的外

AOABAOAC

心，—==—+—=—

\AB\\AC\

⑴求角4

⑵若“8C外接圓的周長為八/獲，求48C周長的取值范圍,

例52.（2021?河南南陽?高三期末（理））在VN8C中，sinC+cosC=sing+sinC

sm4

⑴求出

（2）若VZ5C的內(nèi)切圓半徑,-=2,求力8+4C的最小值.

例53.（2022?江西?高三階段練習(xí)（理））已知。是三角形/18C的外心，若

陽前.彩+始祀.彩=加而>,且2sin8+sinC=VL則實(shí)數(shù)〃，的最大值為（）

\AC\

例54.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。是三角形/8C的外心，若江方?而+姐尼?加=加府丫，

ABAC'）

且sin8+sinC=Ji，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）

373

A.3B.-C.一D.—

552

例55.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△Z5C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若

a=50sin（5+（），c=5且。為△ABC的外心，G為△48。的重心，則OG的最小值為（）

A1D5,\/2—5[―,門10—5^2

A.V2-1B.-....C.J2+1D......-

66

例56.（2022?全國?高三專題練習(xí)）己知“5C的周長為9,若cos上^=2sinC,則"8C的內(nèi)切圓半徑的

22

最大值為（）

A.vB.1C.2D.3

22

例57.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在鈍角18C中，a,b,c分別是的內(nèi)角4,8,C所對的邊，點(diǎn)G是“8c

的重心，若/GL8G,貝UcosC的取值范圍是（）

7

例58.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）在“8C中，cosZ=萬，/8C的內(nèi)切圓的面積為16%,則邊8c長

度的最小值為（）A.16B.24C.25D.36

題型九：坐標(biāo)法

17T

例59.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））在RtZ\NBC中，NBAC=—，AB=AC=2,點(diǎn)/在內(nèi)部，

2

3

cosZAMC=--,則MB--MA2的最小值為.

例60.（2022?南通一模）在平面直角坐標(biāo)系x0;中，已知8,C為圓x2+V=4.上兩點(diǎn)，點(diǎn)4（1,1）,且

則線段BC的長的取值范圍為一.

一例61.M為等邊A48C.內(nèi)一動點(diǎn)，且NCM8=120。，則4”的最小值為___.

MC

一例62.（2022?江蘇模擬）已知448c是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以/為圓心的單位圓上一動點(diǎn)，

點(diǎn)0滿足而=］存+§*，則I殖I的最小值是.

一例63.（2022秋?新華區(qū)校級期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)

三角形三個內(nèi)角均小于120。時，“費(fèi)馬點(diǎn)”與三個頂點(diǎn)的連線正好三等分“費(fèi)馬點(diǎn)”所在的周角，即該點(diǎn)所對

的三角形三邊的張角相等均為120°.,根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)

/（x）=+7（x+l）2+r+正+（y-2）2的最小值為（）

A.2B.y/3,C.2-y/3D.2+6

例64.（2022?唐山二模）在等邊A48c中，A/為A48c.內(nèi)一動點(diǎn)，NBMC=120。，則惚?的最小值是（）

MC

AIp3「百nG

A.1B.—.C.—D.—

423

例65.（2022春?仁壽縣校級期末）銳角A48C中，角4,8,C所對的邊分別為a,b,c,a2+b2=5c2,

則cosC的取值范圍是（）

A.（py）B.（1,1）.C.*坐D.1）

—例66.（2022春?博望區(qū)校級月考）在等腰A48。中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,其中8為

鈍角，b-J3asin/=6cos2N.點(diǎn)。與點(diǎn)8在直線/C的兩側(cè)，RCD=3AD=3,則A8C。的面積的最大值

為（)

A.-A/3.B.4石C.-y/3D.3

44

一—例67.（2022?淮安模擬）拿破侖定理是法國著名的軍事家拿破侖?波拿馬最早提出的一個幾何定理：“以

任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三個

角形的頂點(diǎn)在A48C中，乙4=120。，以43,BC,4C為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依

次為?！?，口，5,若△?。2°3的面積為百，則A48C的周長的取值范圍為.

_一題型十：隱圓問題例68.（2022?鹽城二模）若點(diǎn)G為A48C的重心，且ZG18G,貝UsinC的最大值

為—,

......例69.（2022?江蘇三模）在平面四邊形/BCD中，ZBAD=90°,AB=2AD=\,若

________4-__I

AB?AC+BABC=—CACB,則C8+—C。的最小值為____.

32

一例70.（2022?涪城區(qū)校級開學(xué)）若A/1BC滿足條件48=4.,AC=^2BC,則AzIBC面積的最大值為.

一例71.已知/,3是圓。:—+/=]0上的動點(diǎn)，AB=4近，尸是圓C（x-6）2+（y—8）2=1上的動點(diǎn)，則

|⑸+3?豆|的取值范圍是.

一例72.（2022?合肥模擬）銳角A/f8c中，a,b,c為角4,BC所對的邊，點(diǎn)G為的重心，若

AGLBG,則cosC的取值范圍為（）

A?電|]B.專，當(dāng).C.冷,+8）D.,，|]

一例73.（2022?江漢區(qū)校級模擬）MBC中AB=4C=6A48c所在平面內(nèi)存在點(diǎn)尸使得

PB2+PC2=3PA2=3,則AABC面積最大值為（）A.2答B(yǎng).4C.萼D.

一例74.（2022?上城區(qū)校級模擬）設(shè)萬，不為單位向量，向量入滿足|2?+即=團(tuán)石則|。-彼|的最大值為（

）

A.2B.1C.6D.72

一例75.（2022春?瑤海區(qū)月考）在平面四邊形"8中，連接對角線8。，已知C￡>=9,8。=16.,2BDC=90°,

sin/l4=1,則對角線4C的最大值為（）

A.27B.16C.10D.25.

一例76.已知圓O:X2+V=5,A,8為圓O上的兩個動點(diǎn)，且|/5|=2,M為弦48的中點(diǎn)，C（2立，a）.,

。（2應(yīng)，a+2）.當(dāng)/,8在圓。上運(yùn)動時，始終有NCA/A為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-oo,-2）B.（-00.,-2）U（0,4-00）

C.（-2,+a））D.（-co,0）U（2,+oo）

一題型十一：兩邊夾問題

例77.（2022?合肥一模）設(shè)A48C的內(nèi)角4,B,C的對邊長a,bc成等比數(shù)列，cos（Z-C）-cos8=1,

延長8c至。，若BD=2,則面積的最大值為.

——例78.（2022?靜安區(qū)二模）設(shè)A48C的內(nèi)角4,B,C的對邊為a,h,c.已知a.,b,c依次成等比

數(shù)列，且cos（4-C）-cos8=，,延長邊8c到。，若BD=4,則44c。面積的最大值為___.

2

—例79.（2022?常德一模）在&48c中，角/,B,C.所對的邊分別為a,b,c,已知。2="，且

3

cos（4-B）+cosC=—.

（I）求角C；.

（II）延長BC至。，使得8。=4,求zMC。面積的最大值.

__例80.在A48c.中，若空1+您0=2,且A48C的周長為12.

sinBsinA

（1）求證：ZU8C為直角三角形；.

（2）求A48C面積的最大值.

一題型十二：與正切有關(guān)的最值問題

例81.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）在A/8C中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

6sin^*i^=asin8.求：

2

（1）A;

（2）一的取值范圍.

b

例82.（2022?全國?模擬預(yù)測）在銳角A/8c中，角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c.若。2+歷-/=0,

則4（sinC+cosC『+一二一一匚的取值范圍為（）

''tanCtanA

A.（45/2,9）B.（8,9）C.［苧+4,9D.（2百+4,9）

例83.（2022?山西呂梁?二模（文））銳角A/5C是單位圓的內(nèi)接三角形，角4B,C的對邊分別為a,b,c,

且a?+〃一/=4q2cos4-24ccos8,則牛的取值范圍是（）

b

A.（2336）B.（73,3^）C.冬2后D.惇，⑺

例84.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在銳角三角形/8C中，角A、8、C的對邊分別為a、6、c,且滿足

八八小則高一熹的取值范圍為—

例85.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在銳角“4C中，角4B、C所對的邊分別為〃也c,若/一/=慶，則

-----------+3sin4的取值范圍為（）

tanCtanA

A.（2石,+oo）B.（2百,4）c.恪）

例86.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在銳角A/8C中，角A,8C的對邊分別為。，b,C,S為AN8C的

面積，且2s=/一（6-）2,則/的取值范圍為（）

題型十三：最大角問題

例87.（2022春?海淀區(qū)校級期中）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角的一邊04

上的兩點(diǎn)，試在。8邊上找一點(diǎn)尸，使得乙WPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過M,M兩點(diǎn)且和射線。8

相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)"（-1,2）,N（l,4）,

點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)NM/W取最大值時，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是（

A.-7.B.1或-7C.2或-7

一例88.（2。22秋?青羊區(qū)校級期中）（理科）E、尸是橢圓白白1的左、右焦點(diǎn)，/是橢圓的一條準(zhǔn)線,

點(diǎn)尸在/上，NEP廠的最大值是（）

A.60°B.30°.C.90°D,45°

_一例89.（2022春?遼寧期末）設(shè)AJ8C的內(nèi)角Z,8,。所對的邊長分別為a,c,Macos5-ftcosJ=-c,

5

則tan（4-B）的最大值為（）

3133

A.-B.C.-D.-

5384

—例90.（2022?濱州二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題

一般稱為“米勒問題如圖，樹頂/離地面。米，樹上另一點(diǎn)8離地面4米，在離地面c（c<b）米的C處看

此樹，離此樹的水平距離為米時看4,8的視角最大.

_例91.如圖，足球門框的長為2dMidw=3.66〃?），設(shè)足球?yàn)橐稽c(diǎn)P.，

足球與Z,8連線所成的角為。（0。<&<90。）.

（1）若隊(duì)員射門訓(xùn)練時，射門角度a=30。，求足球所在弧線的方程；.

（2）已知點(diǎn)。到直線48的距離為3"卬，到直線.的垂直平分線的距離為2人，，若教練員要求隊(duì)員，當(dāng)

足球運(yùn)至距離點(diǎn)。為42dw處的一點(diǎn)時射門，問射門角度a最大可為多少？

例92.（2022秋?安徽月考）17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出這樣一個問題：怎樣在一個三角形中求一點(diǎn)，使

它到每個頂點(diǎn)的距離之和最??？現(xiàn)已證明：在&48c中，若三個內(nèi)角均小于120。，當(dāng)點(diǎn)尸滿足

N4PB=N4PC=NBPC=120。時,則點(diǎn)尸到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)尸被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn).根

據(jù)以上性質(zhì)，已知萬為平面內(nèi)任意一個向量，不和C是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，則

|@一如+|@+向+I&-T的最小值是（）

A.2-6B.2+6C.V3-1D.0+1

一例93.（2022?深圳模擬）著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德費(fèi)馬（1601-1665）于1643年提出的平面

幾何極值問題：”已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小費(fèi)馬問題中的

所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)A48C的三個內(nèi)角均小于120。時，

則使得//尸8=/327=/。3/=120。的點(diǎn)尸.即為費(fèi)馬點(diǎn).已知點(diǎn)P為MB。的費(fèi)馬點(diǎn)，且若

\PA\+\PB\=A\PC\,則實(shí)數(shù)「的最小值為.

一例94.（2022秋?全國月考）費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于

120。時，費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)對三角形三

邊的張角相等，均為120。.已知A48c的三個內(nèi)角均小于120。，P為A48c的費(fèi)馬點(diǎn)，S.PA+PB+PC=3,

則以4BC面積的最大值為.

一例95.（2022春?湖北期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖.波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任

意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三

角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知A48C內(nèi)接于半徑為6的圓，以BC,AC,AB為

邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為H,B：C.若N4CB=30。，則△48'。的面積最大

值為一.

一例96.（2022春?潤州區(qū)校級期中）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理:

“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等

邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知A48c內(nèi)接于單位圓，以BC,AC,4B為邊

向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為B',C.若NNC8=90。，則的面積最大值

為一,

一題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

例97.（2022春?五華區(qū)月考）數(shù)學(xué)家托勒密從公元127年到151年在亞歷山大城從事天文觀測，在編制三

角函數(shù)表過程中發(fā)現(xiàn)了很多重要的定理和結(jié)論，如圖便是托勒密推導(dǎo)倍角公式“cos2a=1-241?&”所用的

幾何圖形.已知點(diǎn)8,C在以線段/C為直徑的圓上，。為弧8c.的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段ZC上且

點(diǎn)尸為EC的中點(diǎn).設(shè)ZC=2r,ADAC=a,那么下列結(jié)論：

?DC=2rcosa?AB=2rcos2a,

（3）FC=r（l-cos2a）,.

?DC2=r（2r-AB）.

其中正確的是（.）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

.一例98.（2022春?揚(yáng)州期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，

該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所

包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理

可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已

知四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，AC,8。是其兩條對角線，BD=4日,且418為正

三角形，則四邊形的面積為（）

A.8B.16C.8A/3,D.166

_例99.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180。的四邊形，把四邊形任何一邊向兩

方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形中，

AB=\,BC=#）,ACLCD.,AC=CD,當(dāng)N/8C變化時，對角線8。的最大值為（

C.76+1,D.J7+26

一例100.（2022?冀州市校級模擬）在A4BC中,BC=41,AC=\,以N5為邊作等腰直角三角形480（8為

直角頂點(diǎn)，C.、。兩點(diǎn)在直線月8的兩側(cè)）.當(dāng)NC變化時，線段C。長的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4.

.例101.（2022?日照一模）如圖所示，在平面四邊形4BCD中，AB=1,BC=2,A/ICZ）為正三角形，則

D.6+1

.題型十六：三角形中的平方問題

例102.（2021秋?河南期末）在A48C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,S=—,b=2行,

3

b2+c2-a2=y/3bc.若/8/C的平分線與8c交于點(diǎn)E,則4E=（）

A.46.B.近C.2>/2D.3

_例103.（2022?洛陽二模）已知A45c的三邊分別為a,b,c若滿足/+y+2<?=8,則"BC面積的

最大值為（）

A,正B.巫C.在D.立

5553

一例104.（2022春?張家界期末）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求

三角形面積的方法：“以小斜幕并大斜累減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜基乘大斜幕減上，余四約之,

為實(shí).一為從隅，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是S=-J+；一42],其中°,

b,c是A48c的內(nèi)角Z,B.,C的對邊，若sin8=2sin/cosC且〃，2,c,成等差數(shù)列，則A48c面積S

的最大值為（）

B.羋D,巫

C.1

.5-5

一例105.（2022?晉城一模）在銳角&48C中，角Z,B,C的對邊分別為a,bc,A4BC的面積為S,

若sin（4+C）=孚r，則tanC+-----1-----的最小值為（

b2-c2'2tan(8-C)

A.y/2.D.20

一例106.（2022?秦淮區(qū)模擬）在銳角三角形/8C中，已知4sin2R+sin28=4sin2c,則一^―+—^-+—1—

tanAtanBtanC

的最小值為.

例107.（2022?浙江三模）在銳角三角形NBC中，角/,B,C的對邊分別為a.,b,c,若已知

b2+c2=46csin（4+—）,則tanZ+tan8+tanC的最小值是.

…例108.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）在&48C中，角4,8,C.所對的邊分別為a,b,c,若

3a2-b2+3a6cosc=0,則c（/十cos8）的最小值為__.

ab

物109.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在銳角中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為“8C的

面積，且2s=/-（/,-,『，則竺衛(wèi)竺嗎的取值范圍為（）.

'74b2-l2bc+13c2

A。[9父7目3、B.I<2而81句91C.[「2c,-73JAD.島f281,2_1

例110.（2022?安徽?南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））在ANBC中，角兒B,C所對的邊分別為“，b,c,且滿足

5/+3〃=3?,貝IJsinA的取值范圍是.