第三章 空間向量與立體幾何 導(dǎo)學(xué)案

§間量其算

兩個平面向量的加法和減法運算，例如右圖中，OB

，

，學(xué)習(xí)目標

試

分別用平行四邊形法則和三角形法則求理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及

,

它們的運算律；能空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，找出惑之處）84復(fù)：平面向量基本概念：具有和的叫向量叫量的模（或長度著；

叫零向量，記叫單位向量

AC點在線段AB上且,CB2叫相反向量，a的相向量著

.叫相等向量.向量的表示方法有，，和共種方法復(fù)：平面向量有加減以及數(shù)乘向運算：向量的加法和法的運算法則有法則和法則.實與向量的積：實數(shù)向量積是一個量，記作，長度和方向規(guī)定如下：λ＝當λ＞0時λ與A.；當λ＜0時λ與A.；當λ＝0時λ＝向加法和數(shù)乘向量，以下運算律成立嗎？加法交換律＋b＋a加法結(jié)合律(＋)＝a＋（b＋）數(shù)乘分配律λ＋)λ＋※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空向的關(guān)念問什叫空間向量？空間向中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？

反：間向量加法與數(shù)乘向量有下運算律嗎？⑴法換：A.+B.B.+；⑵法合：+b)C.=A.+c)；⑶乘配：λ(A.+)=λA.+λb．※典型例題例1已平行六面體ABCDAB''D'（圖化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量：；'；1⑶ABADCC'21⑷(ABAD'．2變在上圖中，用AB,,表,和新：間向量的加法和減法運算

DB'

空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，變?yōu)?/p>

小結(jié)：間向量加法的運算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．例2化簡下列各式：⑴;⑶ACBDCD;

⑵ABMBOM⑷OADC

學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分下說法中正確的是（）若∣∣=b，則，的長度相同，方向相反或相同若a與是反向量，則∣∣=;空間向量的減法滿足結(jié)合;變：化簡下列各式：⑸OCBO;⑹ABADDC;

在邊形ABCD中一定有AB.長方體ABCD'BD'中，化簡'BAD⑺QPMP.

已向量b兩個非零向量a,是與b同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（）aC.a

a或a∣a∣∣b∣小化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法既可轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進行運算，加法和減法可以轉(zhuǎn)※動手試試練1.已平行六面體ABCD'D'M為AC與D的交點化下列表達式：⑴B;⑵D;

在邊形中，若ACABAD,四邊形是（）矩形菱C.正方形平四邊形下說法正確的是（）零向量沒有方向空間向量不可以平行移動如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等同且等長的有線段表示同一向量課后作業(yè)在三棱柱ABC-A'B'C'，M,分別為BCB'C'中點，化簡下列式子：1⑶AAABD2

⑴

AM

+

⑵A'NMC

⑷BCA.※學(xué)習(xí)小結(jié)空間向量基本概念；空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律※知識拓展平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共

如，平行六面體A中點M為AC與BD的點，AB，，AA，則下列向量中與BM相等的是（）1b2b21C.b22同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度間的平移包含平的平.

11b22§空向的乘算一學(xué)習(xí)目標掌握空間向量的數(shù)乘運算律，能進行簡單的代數(shù)式化簡；理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，找出惑之處）86復(fù)習(xí)：化簡：（b）+4（ba復(fù)習(xí)：在平面上，什么叫做兩向量平行？

試：已知bBC三共反思分解兩個向量a共向量的充要條件中的b，意零向量與任何向量共※典型例題例1已直線AB，點是線外一點，若OPxOA，+＝1試判斷點是否共線？變知三共線O直線AB外點，若OPOAtOB，么t＝例已知平行六面體ABCD'B'C''M是在平面上有兩個向量ab，若b是零向量

AA

的中點在對角線A

CCG:GA

=2:1,b平行的充要條件是

設(shè)CD=a，,

試用向量a,c表向

量CA,CA

,CM.※學(xué)習(xí)探究探任一空間量共問空間任意兩個向量有幾種位置關(guān)系？如何判定它們的位置關(guān)系？新：間向量的共線：如表示空間向量的

所在的直線互相或，這些向量叫共線向量，也叫平行向量.空向量共線：定：空間任意兩個向量a,（bb充要條件是存在唯一實數(shù)，使推：圖l為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線，對空間的任意一點O在線l上的充要條件是

變：已知長方體'BD'，M是角線AC中點，化簡下列表達式：AA'CB;ABCD'111⑶ADAA2變：如圖，已知,C不共線，從平面外任一點，作出點PQ,RS使得：OPACOQOAABACABOSOAABAC小空間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點，并且要注意向量的方.※動手試試

學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分下說法正確的是（）非零向量共b與共，則與c共任意兩個相等向量不一定共線任意兩個共線向量相等若向量與共，則正方體ABCD''CD'，點是底面A''C'D'中心，若AB'則x＝y(tǒng)＝，.若點是段的點，點在線外則OP+OB.平行六面體ABCD''C'D,為AB1的交點則AD')AO3已平行六面體'B'C'D'，M是AC與BD點，若,AD,AA，與B相的向量是（）練1.下說法正的是（）向量a與零向量共，b與c線則a與

11ab；B.b22共線；任意兩個共線向量不一定是共線向量；任意兩個共線向量相等；若向量a與b共，則已am,bxm，a//b，實數(shù)

C.

1111a；D.a.2222課后作業(yè)：※學(xué)習(xí)小結(jié)空間向量的數(shù)乘運算法則及它們的運算律；空間兩個向量共線的充要條件及推.※知識拓展平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度間的平移包含平的平.§空向的乘算二學(xué)習(xí)目標掌握空間向量的數(shù)乘運算律，能進行簡單的代數(shù)式化簡；理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，找出惑之處）86復(fù)：什么叫空間向量共線？空間個向量ab，若b是零向量，則b平的充要條件是復(fù)：已知直線AB點O是線AB外一點，若12OP，判斷A,B,P三點是否共線？3※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空向的面問空任意兩個向量不共線的兩個向量b有怎樣的位置關(guān)系？空間三個向量又有怎樣的位置關(guān)系？

試試：空間任意一點和共線的三點A,B,C滿111足關(guān)系式OBOC則點與A,B,C236共面嗎？反思：若空間任意一點和不共線的三點A,B,C滿足關(guān)系式OPyOB,點P與A,B,C共，則.※典型例題例下列等式中M,四共的個數(shù)）①OMOA;111②OC52MB0;OAOBOCB.2變：知A,B,C三不共線O為面ABC外17點，若向量OAOB53則四點共面的條件是新：面向量：

同一平面的向量.空向量共面：定：對空兩個不共線向量a，量與量b共面的充要條件是存在，

例如已知平行四邊形ABCD,過平面外一使得

點O作射線OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別點推：間一點P與不在同一直線上的三點共面的充要條件是：存在，對空間任意一點，有

OEOFOGOHE,,F,G,H,并且使,OAOD求證：四點共面.變：知空間四邊形ABCD的個頂點不共面E,F,G,H分是AB,BC,CD,AD的中點：E,F,G,H四共.AEH

同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度間平移包含平的平.學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分B

DG

在行六面體ABD中向量DA、111DC、AC是（）有相同起點的向量B等長向量C．面向量D．共面向.正方體ABCDB'CD'，點是底面A''D'的心，若

xADyABAA

小結(jié)：間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點，并且要注意向量的方.※動手試試練已知A,B,三不共線，對平面外任一點12足條件OPOAOB，試判斷：點P與55A,B,是否一定共面？練已mn,xm，，若a//b，實數(shù)

則x＝y(tǒng)＝，.若點是段的點，點在線外則OA平行六面體ABCD''C'D,為AB1的交點則AD')AO.3在下列命題中：①若、b共線，則a、b在的直線平行；②若、所的直線是異面直線，則、b一定不共面若a三向量兩兩共面a、、三向量一定也共面；④已知三向量、，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為＝xay＋c其中正確命題的個數(shù)為（）A．02課后作業(yè)：若mnp,ba，//，實數(shù)y.※學(xué)習(xí)小結(jié)空間向量的數(shù)乘運算法則及它們的運算律；空間兩個向量共線的充要條件及推.※知識拓展平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共

已個向e,e不共ACeeADee.求：CD面．§．間量數(shù)積）學(xué)習(xí)目標掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題．學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，找出惑之處）90復(fù)習(xí)：什么是平面向量與b的量積？復(fù)習(xí)在邊長為1的三角形⊿ABC中求BC※學(xué)習(xí)探究探任一空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì)問在幾何中，夾角與長度是兩個最基本的幾何量，能否用向量的知識解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長度問題？新：兩個向量的夾角的定義：已知兩非零向量a,，

（選還是0）a幾意義嗎？空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（）設(shè)單位向量，|cos（）a．（）＝.空間向量數(shù)量積運算律：．a(chǎn)（交換律)分配律反：a嗎舉說明.a，？舉例說明若，b？為什么？※典型例題例1用量方法證明：在平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.變用量方法證明已：,是平面內(nèi)的在空間

一點，作O，叫

兩條相交直線，直線l與面的交點為，且做向量a與的夾角，記作試：⑴范:b

lmln求證：l．b時與b

;ba⑵立？⑶

，則稱a與b互垂直，記作

向量的數(shù)量積：已知向量,，

叫做,b的數(shù)量積，記

例

如圖，在空間四邊形ABCD中，作即

BC，23，CD，ABD30，規(guī):向量與任意向量的數(shù)量積等于反：⑴兩向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？

ABC60，求與CD的角的余弦值DA

CBDD變：圖，在正三棱柱BC中，若AB=2,則AB與B所成的角為（）60°90C.°D.75°

向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問題，求兩條直線的夾角和線段長度的新方學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分下列命題中：若，a，中至少一個為若0且a，則(b)④(3aaab

例3如圖，在平行四形BD中，AD3AA,BAA°,求的長.

正確有個數(shù)為（）個B.個個D.個已知e和e是兩個單位向量，夾角為，下面向量中與2垂直的是（）

已ABC

eC.D.e中,所對的邊bc

，且

b

,

C

,

已，且a和b不線當與a夾角是銳角時，的值范圍是

已向量

a,b

滿足，，a※動手試試練已知向量a,b足a，，a，則a

則____課后作業(yè)：已空間四邊形ABCDABCDACBD，求證：BC.A

C2練2.已ba則ab2的夾角大小為_____.

B※學(xué)習(xí)小結(jié)1..量的數(shù)量積的定義和幾何意向的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的運※知識拓展

已線段ABBD在面內(nèi)⊥AB線,如果AB＝BD＝＝c求、間的距離.向量.反：間任意一個向量的基底有

個.§3.1.4空向的交解及坐表

單正分：果空間一個基底的三個基向量互相，度都為，這個基底叫單位交底通常用i,j｝示空向的標示：定個空間直角坐標系Oxyz和量，且設(shè)、、為x軸、y軸、z軸方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組{,}，得xij，則稱有序?qū)崝?shù)組{,}為向量a學(xué)習(xí)目標掌空間向量的正交分解及空間向量基本定理和

的坐標，記著

坐標表示；掌空間向量的坐標運算的規(guī)律；學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P找出疑惑之）復(fù)：平面向量基本定理：對平面上的任意一個向量P，是面上兩個向量，總

設(shè)A(xy,z)，(xy,)則＝向的角標算設(shè)a(,aa，＝(b,，＋b(,,；－b(,aa；,,)()；⑷·ba.

是存在

實數(shù)對P以用來

試：示，表達式為，其中a,叫

設(shè)ijk，向量的標為

做

若b，稱向量P正交分

若(1,0,2)，B(3,1,則＝.已知＝＝(求a＋b－，復(fù)：平面向量的坐標表示：平面直角坐標系中，分別取軸軸的向ij作為基底，對平面上任意向量a，且只有一對實數(shù)x，使得axiyj稱有序?qū)?/p>

a，a·為向量的，即＝

※學(xué)習(xí)探究探任一空間量正分問對空間的任意向量a能否用空間的幾個向量唯一表示？如果能，那需要幾個向量？這幾個向量有何位置關(guān)系？新：⑴空向的交解間的任意向量均可分解為不共面的三個向量a、、，使如aa兩，種分解就是空間向量的正交分

※典型例題例已向量,bc是空間的一個基底，從向量,b中選哪一個向量，一定可以與向量pa,構(gòu)成空間的另一個基底？變知O,A,B,C為空間四點向,OB,OC(2)空間量本理如果三個向量a,c

，

不構(gòu)成空間的一個基底點O,A,B,C是共面？對空間任一向量，在有序?qū)崝?shù)組{,z}，使得ybzc.把

的一個基底ab,都叫做基小判定空間三個向量是否構(gòu)成空間的一個基底的方法是：這三個向量一不共.例2如M,N分別是四面體QABC的OA,BC的中點，Q是的三等分點，用OA,表示OPOQ.

空間向量的正交分解及空間向量基本定理；空間向量坐標表示及其運算※知識拓展建立空間直角坐標系前，一定要驗證三條軸的垂直關(guān)系，若圖中沒有建系的環(huán)境，則根據(jù)已知條件，通過作輔助線來創(chuàng)造建系的圖學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好

較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分若組基底下列各項中，能構(gòu)成基底的是（）a,a

b變：知平行六面體ABCD'B'C'D'，

C.aaa,a設(shè)jk為間直角坐標系xyz中軸軸z軸方向的單位量，且j，點B是側(cè)面C'的心且a，試用向量b,表下列向量:⑴BA,';⑵

，

的坐標是在棱錐OABC中，G是的心三條中線的交點OA,,OC為底試基底表示OG＝正體''C'D'棱長為2以A為標原點，以AB,AD,AA

為x軸軸z軸方建立空間直角坐標系，為中點，則的標是.已關(guān)于x的程

t有※動手試試練1.已a⑴⑵b練2.正體ABCD'C'D'的長為以A為坐標原點，以AB,AD,AA'為x軸軸z軸方向

兩個實根，，a當＝時c的取得最大值課后作業(yè)已,BA段的中點坐標及線段AB的度建立空間直角坐標系，則點D，AC別是，，.

的坐標分

已知是空間的一正交基底，向量,a,是一組基底，若在a的標是

，求p在aa,c的標※學(xué)習(xí)小結(jié)33⑴a//B.與b所角是

a與b的坐標§空向運的標示學(xué)習(xí)目標掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式；會用這些公式解決有關(guān)問學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，找出惑之處）95復(fù)：設(shè)在平面直角坐標系中AB(，則線段︱︱＝.

關(guān)系為；⑵ab坐標關(guān)系為；3.兩間距公在空間直角坐標系中，已知點x,y,z，B(x)，線段的度為：(x)2y)).21124.線中的坐公：在空間直角坐標系中，已知點x,y,z，B(x,y,z)，則線段的中點坐標:※典型例題例1如,在正方體BC中E,分別是,的個四等分點BE與所的角的余弦值．復(fù)：已知

，求：⑴aB.

⑵3－；⑶A.；⑷ab※學(xué)習(xí)探究探任一空間量標示角距公問在空間直角坐標系中，如何用坐標求線段的長度和兩個向量之間的夾角？新：向量模設(shè)aa則｜a｜＝兩個量夾公：設(shè)＝(a,a,a，＝(bb)，由向量數(shù)量積定義：abb＜b，又由向量數(shù)量積坐標運算公式·＝，由此可以得出：＜ab＞＝試：①當cos＜、b＞＝1時與所角是；②當＜a時成角是；③當cos＜＞＝a與b所角是，即與b的置關(guān)系是，用符合表示為.反：設(shè)aa,a,，＝b)，則

變式：如上圖,體AC，DF，BE與所成角的余弦值．例2如，正方體ABCDB中點分別是BBD的點求證：DA變?nèi)鐖D，正方體ABCDBC中，點M是AB的點，求DB與所成角的余弦.

※知識拓展在平面內(nèi)取正交基底建立坐標系后，坐標平面內(nèi)的任意一個向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對表示，平面向量又稱二維向量間向量可用三元有序?qū)崝?shù)組表示，空間向量又稱三維向量.維向量和三維向量統(tǒng)稱為幾何向量.學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好

較

C.一般

較小求兩個向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標系中找出兩個向量的坐標，然后再用公式計算※動手試試練已知(3,3,1)、，，5)，求：線段的點標和長度；到A、兩點距離相等的點(x,)的標、、z滿的條件．

※當堂檢測時量：分滿分：10分）分aa若＝(a,,a＝(b,)是ba//的）充不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件既充分又不不要條件已ab，則x＝.已A與的夾角為°，則的值為（）66B.66若a2的夾角為鈍角，則的值范圍是（）xC.0

已a

x

，且(b)，（）練2.如，正方體的棱長為，建立適當?shù)目臻g

1x,3C.2,

14

1y2x直角坐標系，寫出正方體各頂點的坐標，并和你的同學(xué)交

課后作業(yè)：如圖，正方體A

D

棱長為a，⑴求

C的角；⑵求證：

AC

※學(xué)習(xí)小結(jié)空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式；解決立體幾何中有關(guān)向量問題的關(guān)鍵是如何建立合適的空間直角坐標系，寫出向量的坐標，然后再代入公式進行計算.

如，正方體ABCDBC中點分為棱B的點和D所角的余弦值使得

③論空間一點P與不在同一直線上的三點A,C共面的充要條件是：存在，對空間任意一點，量數(shù)積a

§3.1空向及運（習(xí)學(xué)習(xí)目標熟練掌握空間向量的加法，減法，向量的數(shù)乘運算，向量的數(shù)量積運算及其坐標表示；熟練掌握空間線段的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式，并能熟練用這些公式

單正分：果空間一個基底的三個基向量互相，度都為，這個基底叫做單位正交基底，通常用｛,j,｝示空向的標示：給定一個空間直角坐標系Oxyz和量，且設(shè)、、為x軸、y軸、z軸方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組{,}，得xij，則稱有序?qū)崝?shù)組{,}為向量a解決有關(guān)問題.

的坐標，記著

學(xué)習(xí)過程一、課前準備閱讀課本p）115復(fù)：

10.設(shè)(z)，(,yz)，AB＝

具和的；具有

的量叫向，叫向量叫零量著；叫單向.

11.向量直坐運：設(shè)a(a,aa＝(b,)，⑴＋b；⑵－b＝；⑶a＝；⑷·＝向量的加法和減法的運算法則有法則和法則.實數(shù)λ與量a的積是一個量記作，其長度和方向規(guī)定如下：λ＝當λ＞0時λ與A.；當λ＜0時λ與A.；當λ＝0時λ＝向量法數(shù)向運律交換律：＋＝結(jié)律：(＋＋＝數(shù)乘分配律λ＋)

※動手試試．在下列命題中：①若ab共線，則、所的直線平行若所的直線是異面直線ab一不共面；③若、、三向量兩兩共面，則ab、三量一定也共面；④已知三向量ab、c空任意一個向量p可以唯一表示為＝＋y＋．其中正確命題的個數(shù)為（）A01C.D.3．在平行六面體ABCD－ACD中向量D、111①表示間向量的

所在的直線

DC、AC是（）A．有相同起點的向量

B．長向量互相或，這些向叫線量也叫平向

C．面向量

D．不面向量空間向量共定對空間任意兩個向量,b（bb的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得；推：l為過已知點且行已知非零向量的線，對空間的任意一點，在線l上的充要條件是空間量面共面向量：同平面的向量.定：空間兩個不共線向量a向p與量b共面的充要條件是存在，

．知＝（，－1，（－，4，－2c＝，λac三量共面，則實數(shù)λ=（）6465B.7．、均非零向量，則ab是與共線的（）充不必要條件要不充分條件C.充分必要條件既充分又不必要條件．知ABC的三個頂點為A3，3，B（4－3BC邊上的中線長）A2B．3．D．ijbj,則5a）A－B－．－D－※典型例題例1如，空間四邊形OABC中，，OCM在且OMMA,點N為BC的中點，則MN

學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分直棱柱A中若，CB11CC，則A）B.C.

m,mb向量（）

且、變式：如圖，平行六體A

D

中，

A．//n

Bm與n平行也不垂直BAb，AA

點PM,N分別是

C.

D．以上情況都可能.

C

的中點，點Q在CA

上，且

'1

已abc＝0，＝，＝c＝，則向量a與之間的角,b（）用基底表示下列向量：

A30°B°C60D．以上都不對⑴⑵AM;⑶;⑷AQ

4.已a

0,與互相垂直，則的值是（）

C.

75例2如圖，在直三棱柱ABC—AC中，1C2是CC的中點，求證：變：三棱柱的側(cè)棱長為2底面1邊長為點M是中點在直線上一N，得MNAB

若A(m＋1－，B.(2mnmn)，C＋3,－3,9)點共線，則m+=課后作業(yè)如圖，在棱長為的正方體B中，點E,G分別是,BD,的點求證：CF；求EF與CG所角的余弦；求的.§體何的量法）學(xué)習(xí)目標掌握直線的方向向量及平面的法向量的概;掌握利用直線的方向向量及平面的法向量解決平

個不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對(,y)得OP②空中平面位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示空間中平面的位⑷平的向：果表示向量的向線段所在直線垂直于平面，稱這個向量n垂于平面記作n，那么量叫平面法向量試：.如果ab都是平面法向量，則ab的關(guān)系向量是面的向量向是平面平行、垂直、夾角等立體幾何問題．學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，出疑惑之處）102104復(fù)：可確定一條直線定一個平面的方法有哪些？復(fù)：如何判定空間A,C點在一條直線上？

或在平面內(nèi)，則n與a的系是反：一個平面的法向量是唯一的嗎？平面的法向量可以是零向量嗎？⑸向量表平、直系設(shè)直線l,的向向量分別為,，平面法向量分別為u，la∥laa∥∥vu.

的復(fù)：設(shè)＝(a,a,，＝b,)ab＝

※典型例題例已知兩點與坐標平面YOZ的交

求直線AB※學(xué)習(xí)探究探任一向量示間點直、面問怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？新：點在空間中，我們?nèi)∫欢∣作基點，那么空間中任意一點P的置就可以用向量來表示，我們把向量稱點P的置向.直：直線的方向和這條直線平行或共線的非零向量對于直線l上任一點P存實數(shù)t，得此方程稱直線向參方程⑶平面：①空中平面的位置可以由內(nèi)個不共線向量確定.對于平面上任一點P,,b是平面內(nèi)

變式：知三點A在上（O為標原點,求當QAQB取最小值時點的坐標.小結(jié)：決有關(guān)三點共線問題直接利用直線的參數(shù)方程即例2用量方法證明兩個平面平行判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

空間點，直線和平面的向量表示方法平面的法向量求法和性質(zhì).※知識拓：求面法量驟設(shè)平面的法向量為ny,z)；找出求出)平面內(nèi)的兩個不共線向量的坐標；⑶根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于y,的方程組；⑷解方程組取其中的一個解,即得法向?qū)W習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分設(shè)ll的方向向量，則直線l,l的位置關(guān)系是.設(shè)u面

的向量，則平面

位置關(guān)系是

變式：在空間直角坐標系中已知

已下列說法錯誤的是（）A,40

若a，則a

B.若//

，n法向量

C.若則n//mD.，nm下說正確的是（）平面的法向量是唯一確定的一條直線的方向向量是唯一確定的平面法向量和直線的方向向量一定不是零向量若m是線l的方向向量，l//

，m//

?。好娴姆ㄏ蛄颗c平面內(nèi)的任向量都垂

已的法向量的是（）※動手試試

B.1,

C.

練設(shè),分是直線l,l的向量，判斷直線l,l的位置關(guān)系：練2.設(shè)uv分是平面的法向量，判斷平面

課后作業(yè)在方體ABCDAB中求證：DB是面的個法向

的位置關(guān)系：⑴⑵u※學(xué)習(xí)小結(jié)．已知面ABC的一個法向量§體何的量法）學(xué)習(xí)目標掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題；掌握向量運算在幾何中求兩點間距離和求空間圖形中的角度的計算方.學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P~P，出疑惑之.105107復(fù)：已知，a，求m.復(fù)2么叫二面角？二面角的大小如何度？二面角的范圍是什么？※學(xué)習(xí)探究探任一用向求間段長問：何用向量方法求空間線段長度？新：空間向量表示空間線段，然后利用公式a求出線段長度.試試：在長體BC''B'C，已知

反用向量方法求線段的長度，關(guān)鍵在于把知量用已知條件中的向量表※典型例題例如圖，一個結(jié)晶的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？變上題中平行六面體的角線BD的與長有什么關(guān)系？變?nèi)绻粋€平行六面體各條棱長都相等且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于那么由這個平行六面體的對角線的長可以確定棱長嗎探任二用向求間形的度例如，甲站在水庫底面上的點，乙站在水壩斜面上的點B處從A到直線l（底與水壩的交線距離AC,BD別為,bCD長為AB的長為d求庫底與水壩所成二面角的余

'

的長變?nèi)纾?0面角的棱上有A點直線AC,BD分在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于,知ABBD求CD的.

利用公式a

求解※動手試試練1.如線AB在面，線段⊥AB線段'DBD'，果AB，AC＝BDb，求C、D間距離

※知識拓展解間形題可分三完:（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問還常建立坐標系來輔)；（）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（）把向量的運算結(jié)果翻”成相應(yīng)的幾何意.學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分已A

已cosa，,b的角為.若M、N分別是棱長為的正方體ABCD'BD'的棱

',BB

的中點么直線AM,CN成的角的余弦為（）3B.2

10C.105練如，、分別是棱長為的正方體ABCD'BC'D'棱、'C'的點．求異面直線MN與CD'所的

將角為60為的形ABCD沿短的對角線折成面則AC,間的距離（）333aB.24正方體'長為，AC',N是BB'的點，則MN為（）

216

615aaa663課后作業(yè)如圖，正方體ABCD''D'棱長為，MN分是BB

B

C

的中點，求：⑴CD

所成角的大?。虎艫D所角的大?。虎茿N的度※學(xué)習(xí)小結(jié)求出空間線段的長度空間向表示空間線段，然后利用公式a；空間的二面角或異面直線的夾角，都可以轉(zhuǎn)化為D.||cos,n

=

cos,|

=

n|新：向量求點到平面的距離的法：設(shè)A間一點到面的距離為平面一個法向量為n，D.=

|n|§3.2立體何的量法3

試：棱長為1的方ABCD'C'D'中求點C

到平面A

BCD

的距離.學(xué)習(xí)目標進一步熟練求平面法向量的方法；掌握向量運算在幾何中如何求點到平面的距離和兩異面直線間距離的計算方法；熟練掌握向量方法在實際問題中的作.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)1已知面的個法向.

反當點到平面的距離不能直接求出的情況，可以利用法向量的方法求※典型例題例1已正方形ABCD的邊長為4，、分別是、的中點⊥面，且GC2，求點B到平面的復(fù)么點到平面的距離？什是兩個平面間距離？※學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：點平的離求問：圖A空一點P到平面的離為d,已知平面的一個法向量為n,且AP不線,能否用與表d

變式：如圖,ABCD是矩平面ABCD,PDDC2,M分別是的中,點到面的離分:作PO⊥于

連結(jié)OA,則

=||=|

N∵PO⊥

D∴PO∥.∴,

A

M

B線上分別取一點,B，則兩條異面直線間距d

nABn

求解小：點到平面的距離的步驟：⑴建空間直角坐標系，寫出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標；⑵求面的一個法量的坐標；⑶找平面外的點與平面內(nèi)任意一點連接向量的坐標；⑷代入式求出距離.探究任務(wù)二：兩異直間距的法例2如條異面直線,b所成的角為在直線ab分別取點,和F,得,AAb.知AE,AFn,EF，公垂線AA的長.

※學(xué)習(xí)小結(jié)空間點到直線的距離公式兩條異面直線間的距離公式※知識拓展用向量法求距離的方法是立體幾何中常用的方.學(xué)習(xí)評價※自我評價你成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（.很好較一般較※當堂檢測時量：分滿分：10分）分在長為的方體ABCD''C'D中平面

A

的一個法向量為；在棱長為1的方體ABCD'C'D中異面直線AB和CB所角是；在棱長為1的方體ABCD'B'C