蘇教版必修第一冊(cè)5.3.2函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用課件

第2課時(shí)函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用第5章

函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會(huì)借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法.導(dǎo)語(yǔ)科考隊(duì)對(duì)“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考查，如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線.你能從圖中得出該天的最高氣溫和最低氣溫嗎？課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、利用圖象求函數(shù)的最大(小)值二、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值三、二次函數(shù)的最值問(wèn)題隨堂演練內(nèi)容索引利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

一問(wèn)題1

如圖所示是函數(shù)y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的圖象.觀察并描述這三個(gè)圖象的共同特征.提示函數(shù)y＝－x2－2x的圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的圖象有最高點(diǎn)B，函數(shù)y＝f(x)的圖象有最高點(diǎn)C，也就是說(shuō)，這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn).問(wèn)題2

你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的？提示圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值.知識(shí)梳理1.函數(shù)的最大值與最小值

最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f(x)

f(x0)f(x)

f(x0)結(jié)論那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的________f(x)圖象上最低點(diǎn)的_______縱坐標(biāo)≤≥縱坐標(biāo)(1)最大(小)值的幾何意義：最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)并不是所有的函數(shù)都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.(3)一個(gè)函數(shù)至多有一個(gè)最大(小)值.(4)研究函數(shù)最值需先研究函數(shù)的定義域和單調(diào)性.注意點(diǎn)：2.求函數(shù)最值的常用方法(1)圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值.(2)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性：若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則ymax＝

，ymin＝

；若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則ymax＝

，ymin＝

.(3)分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè).f(b)f(b)f(a)f(a)

已知函數(shù)f(x)＝|x|(x＋1).(1)試畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象；例1(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；由圖象可知，圖象法求函數(shù)最值的一般步驟反思感悟

已知函數(shù)y＝－|x－1|＋2，畫(huà)出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況，并寫(xiě)出值域.跟蹤訓(xùn)練1圖象如圖所示，由圖象知，函數(shù)y＝－|x－1|＋2的最大值為2，沒(méi)有最小值，所以其值域?yàn)?－∞，2].利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值

二

已知函數(shù)f(x)＝

，x∈[3,5].(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明；例2f(x)是增函數(shù)，證明如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，因?yàn)?≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上為增函數(shù).由(1)知，f(x)在[3,5]上為增函數(shù)，(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的關(guān)注點(diǎn)(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a).(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b).(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出最大(小)值.函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.反思感悟(4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì).反思感悟

已知函數(shù)f(x)＝x＋

.(1)求證：f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)；跟蹤訓(xùn)練2設(shè)1≤x1<x2，∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴x1x2－1>0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù).(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.由(1)可知f(x)在[1,4]上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝2，當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為f(4)＝

.綜上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是

，最小值是2.二次函數(shù)的最值問(wèn)題

三

已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1.(1)求f(x)在[0,1]上的最大值m(t)；例3因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋1的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為x＝

，所以區(qū)間[0,1]的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值，f(x)的最大值為f(0)＝1.(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t).當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x＋1，其圖象的對(duì)稱軸為x＝

.①當(dāng)t≥時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②當(dāng)t＋1≤，即t≤時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；(1)含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，首先將二次函數(shù)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號(hào)確定拋物線的開(kāi)口方向，依對(duì)稱軸x＝－h(huán)得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.反思感悟(2)對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般有如下幾種類型：①區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；②對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；③區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù).通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.反思感悟

已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3.當(dāng)x∈[t，t＋1]時(shí)，求f(x)的最小值g(t).跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為x＝1，(1)當(dāng)t>1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.(2)當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，f(x)在[t,1]上是減函數(shù)，在[1，t＋1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(1)＝2.(3)當(dāng)t＋1<1，即t<0時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)的最大值、最小值定義.(2)求解函數(shù)最值的方法.2.方法歸納：配方法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：(1)在利用單調(diào)性求最值時(shí)，勿忘求函數(shù)的定義域.

(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)的最值時(shí)不要忘記按對(duì)稱軸與區(qū)間的位置分類討論.隨堂演練

1.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則其最大值、最小值分別為1234觀察函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值、最小值分別為f(0)，

.√12342.設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)，則f(x)A.有最大值B.有最小值C.既有最大值又有最小值D.既無(wú)最大值又無(wú)最小值√∵f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，∴f(x)<f(0)＝－1.12343.已知函數(shù)

則f(x)的最大值、最小值分別為A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不對(duì)√當(dāng)－1≤x<1時(shí)，6≤f(x)<8；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，8≤f(x)≤10，所以f(x)的最大值、最小值分別為10,6.12344.若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是_____.由題意知a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝±2.±2課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.(多選)下列函數(shù)在[0，＋∞)上最小值為－2的是A.y＝x2－2 B.y＝3x－2C.y＝x2－2x－1 D.y＝1－x√√√123456789101112131415162.函數(shù)f(x)＝x＋

，x∈[0,4]的值域?yàn)锳.[0,3] B.[1,4]C.[0,6] D.[0,4]√∵函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù)，∴f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0,6].12345678910111213141516此時(shí)f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝1；當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，最大值為f(0)＝2.綜上可得，f(x)的最大值為2.√123456789101112131415164.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中銷售量單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元

萬(wàn)元萬(wàn)元

萬(wàn)元√12345678910111213141516設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L(zhǎng)＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30∴當(dāng)x＝9或10時(shí)，L最大為120萬(wàn)元.123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為A.－1

B.0

C.1

√12345678910111213141516因?yàn)閒(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝2.所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù).又因?yàn)閒(x)在[0,1]上的最小值為－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)的最大值為f(1)＝－1＋4－2＝1.123456789101112131415166.(多選)已知函數(shù)

其中M，N為非空集合，且滿足M∪N＝R，則下列結(jié)論中不正確的是A.函數(shù)f(x)一定存在最大值B.函數(shù)f(x)一定存在最小值C.函數(shù)f(x)一定不存在最大值

D.函數(shù)f(x)一定不存在最小值√√√12345678910111213141516其中M，N為非空集合，且滿足M∪N＝R，∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，則f(x)的最小值為0，故D錯(cuò)誤；若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，則f(x)無(wú)最小值，故B錯(cuò)誤；由M∪N＝R，可得圖象無(wú)限上升，則f(x)無(wú)最大值，故A錯(cuò)誤，C正確.123456789101112131415167.函數(shù)y＝－x2＋6x＋9在區(qū)間[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，則a＝_____，b＝_____.y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.－2

012345678910111213141516f(x)的圖象如圖，則f(x)的最大值為f(2)＝2.28.已知函數(shù)f(x)＝

則f(x)的最大值為_(kāi)_____.123456789101112131415169.已知函數(shù)f(x)＝

(a>0，x>0).(1)用定義證明f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；設(shè)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴x1－x2<0，x1·x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).12345678910111213141516(2)若f(x)在區(qū)間

上取得的最大值為5，求實(shí)數(shù)a的值.∴f(x)max＝f(4)＝5，1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝

(x>0).(1)求證：f(x)在(0,1]上是增函數(shù)；12345678910111213141516設(shè)x1，x2是區(qū)間(0,1]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，當(dāng)0<x1<x2≤1時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上是增函數(shù).12345678910111213141516當(dāng)1≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù).∴結(jié)合(1)(2)可知，f(x)的最大值為f(1)＝

，無(wú)最小值.(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√12345678910111213141516所以f(x)在區(qū)間[3,4]上為減函數(shù)，1234567891011121314151612.(多選)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，a<－x2＋2x恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以為A.－2 B.－1C.0 √令f(x)＝－x2＋2x，則f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.∴－2，－1可以.√1234567891011121314151613.已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是A.[1，＋∞) B.[0,2]C.(－∞，－2] D.[1,2]√f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故選D.1234567891011121314151614.函數(shù)f(x)＝x＋

在[1,4]上的最大值為_(kāi)____；最小值為_(kāi)____.5

412345678910111213141516設(shè)1≤x1<x2<2，12345678910111213141516∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是減函數(shù).同理，f(x)在[2,4]上是增函數(shù).∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值4；當(dāng)x＝1或x＝4時(shí)，f(x)取得最大值5.12345678910111213141516拓廣探究15.(多選)