蘇教版選擇性必修第一冊(cè)3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)選作業(yè)

【優(yōu)編】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)選練習(xí)一．填空題1．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在橢圓上，且滿足，則橢圓的方程為_________.2．已知橢圓左．右焦點(diǎn)分別為．，過且傾斜角為的直線與過的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且．則橢圓的離心率________．

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】分析：由橢圓的定義和點(diǎn)在橢圓上，可建立方程組，解之可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．詳解：由得，解得，又在橢圓上，所以橢圓，解得，所以橢圓的方程為．故答案為：．2．【答案】【解析】分析：用表示．，利用橢圓的定義可得出關(guān)于．的關(guān)系式，由此可求得橢圓的離心率的值.詳解：如下圖所示：由已知條件可知，在中，，，，則，由橢圓的定義可得，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得．的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于．的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.3．【答案】【解析】分析：設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為，利用求得離心率，再利用平面幾何知識(shí)求得得解詳解：如圖，圓錐面與其內(nèi)切球分別相切與，連接，則，過作于，連接交于點(diǎn)，設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為，在△中,,,,△△,解得,,即,所以橢圓離心率為在△中解得,故答案為：【點(diǎn)睛】利用求得離心率是解題關(guān)鍵.4．【答案】【解析】分析：由已知得，設(shè)直線的斜率為，則聯(lián)立直線與橢圓的方程求得點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的關(guān)系建立關(guān)于不等式，可求得離心率的范圍．詳解：因?yàn)辄c(diǎn)是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，故為銳角且，所以，設(shè)直線的斜率為，則由可得，故，所以，因?yàn)?，故，所以，解得，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，故，整理得到對(duì)任意的恒成立，故，即，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求橢圓的離心率時(shí)，將提供的橢圓的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意橢圓定的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量．5．【答案】【解析】分析：設(shè)，寫出直線．的直線方程，分別求出，，進(jìn)而表示出．，由化簡(jiǎn)可得，即可求出離心率.詳解：設(shè)，則：，令，，：，令，，，，，因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：6．【答案】【解析】分析：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，可得，然后可算出答案.詳解：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，所以，由，得到，故故答案為：7．【答案】【解析】分析：由條件焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn),則，又焦距為2,則，從而可得答案.詳解：由條件設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓過點(diǎn),則，又焦距為2,則所以橢圓的離心率為故答案為：8．【答案】4【解析】分析：由線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則為右頂點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得解.詳解：由線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，即為右頂點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.故答案為：.9．【答案】【解析】分析：設(shè)出的坐標(biāo),得到(用,表示)，求出，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得使取最小值的，可得，則橢圓離心率可求．詳解：解：，，設(shè)，，則，則，，，，令，則．，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．．，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)．關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．10．【答案】【解析】分析：由題可知，可表示為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)，上焦點(diǎn)的距離之和，設(shè)其橢圓的下焦點(diǎn)為，再由橢圓定義轉(zhuǎn)化為求解的范圍.詳解：可表示為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)，上焦點(diǎn)的距離之和，即，設(shè)其橢圓的下焦點(diǎn)為，又由橢圓定義得，所以，又，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是能夠?qū)⑶蠼廪D(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)，上焦點(diǎn)的距離之和的問題.11．【答案】【解析】分析：由等比中項(xiàng)的概念求出，結(jié)合求得，從而可得橢圓方程．詳解：由題意，，所以，，所以橢圓方程為．故答案為：．12．【答案】【解析】分析：根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得，設(shè)代解得代回方程即可.詳解：解：因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列所以，所以，故橢圓方程可設(shè)為代解得所以橢圓方程為故答案為：【點(diǎn)睛】橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧：（1）與橢圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形；（2）橢圓相關(guān)量的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如：，三角形兩邊之和大于第三邊，在求橢圓相關(guān)量的范圍或最值時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.13．【答案】【解析】分析：運(yùn)用橢圓的定義和圓切線的性質(zhì)，以及內(nèi)心的定義，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)，即可求得．詳解：解：設(shè)的內(nèi)切圓與相切于D，E，F(xiàn)，設(shè)，則，由橢圓的定義，可得，，即有，即有：，即，再由，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的定義，考查切線的性質(zhì)，內(nèi)心的定義，屬于中檔題．14．【答案】【解析】分析：由題意可得的外接圓的圓心在線段上，，，可得，在中，由勾股定理可得：，即，結(jié)合即可求解.詳解：由題意可得：的外接圓的圓心在線段上，，設(shè)圓心為，則，在中，由勾股定理可得：，即，所以，即，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時(shí)除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.15．【答案】【解析】分析：設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長(zhǎng)為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓