數(shù)學(xué)史古代希臘數(shù)學(xué)上

數(shù)學(xué)史古代希臘數(shù)學(xué)上第一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日從公元前2000年左右到公元前30年，古代希臘人以巴爾干半島、愛(ài)琴海諸島和小亞細(xì)亞沿岸為中心，在包括北非、西亞和意大利半島南部及西西里島的整個(gè)地中海地區(qū)建立起了一系列奴隸制國(guó)家。

第二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學(xué)史上至高無(wú)上。他們雖也取用了周圍其他文明世界的一些東西，但希臘人創(chuàng)造了他們自己的文明和文化，這是一切文明中最宏偉的，是對(duì)現(xiàn)代西方文化的發(fā)展影響最大的，是對(duì)今日數(shù)學(xué)的奠基有決定作用的。

——《古今數(shù)學(xué)思想》第五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日奴隸制城邦海濱移民他們具有典型的開(kāi)拓精神，對(duì)于所接觸的事物，不愿因襲傳統(tǒng)；其次，他們身處與兩大河谷毗鄰之地，易于汲取那里的文化。第六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日通常把希臘開(kāi)創(chuàng)的初等數(shù)學(xué)時(shí)期分為兩個(gè)階段。一是希臘早期數(shù)學(xué)，即古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)。這個(gè)階段大約從公元前六世紀(jì)開(kāi)始到公元前三世紀(jì)。二是希臘后期數(shù)學(xué)，即亞歷山大時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)。這一時(shí)期大約從公元前三世紀(jì)到公元六世紀(jì)。第七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日1愛(ài)奧尼亞學(xué)派和演繹證明以演繹證明為基本特征的數(shù)學(xué)，最早誕生于古希臘愛(ài)奧尼亞地區(qū)的海濱城市米利都?！跋ＥD科學(xué)之父”——泰勒斯

古希臘第一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派——愛(ài)奧尼亞學(xué)派米利都同時(shí)也是希臘哲學(xué)和科學(xué)的誕生地第九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日1愛(ài)奧尼亞學(xué)派和演繹證明泰勒斯的五個(gè)命題：⑴圓被任一直徑二等分；⑵等腰三角形的兩底角相等；⑶兩條直線相交，對(duì)頂角相等；⑷兩個(gè)三角形，有兩個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；⑸內(nèi)接于半圓的角必為直角。其中最后一個(gè)定理被人們稱為“泰勒斯定理”。第十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日1愛(ài)奧尼亞學(xué)派和演繹證明從泰勒斯開(kāi)始，人們已不再僅僅利用直觀和實(shí)驗(yàn)來(lái)尋求數(shù)學(xué)結(jié)論了。換句話說(shuō)，實(shí)際上泰勒斯已經(jīng)將邏輯學(xué)中的演繹推理引入了數(shù)學(xué)，奠定了演繹數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這使得他獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)家鼻祖的美譽(yù)。關(guān)于泰勒斯，還有一些其他的零星傳說(shuō)。理性思維的觀念，正是希臘科學(xué)精神的精髓之所在。第十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”

畢達(dá)哥拉斯是古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和音樂(lè)理論家，出生與愛(ài)琴海中的薩摩斯島。第十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”意大利半島南部的克羅多內(nèi)一個(gè)集政治、宗教和學(xué)術(shù)研究于一體的秘密會(huì)社，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。相傳希臘文中“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)詞就是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派創(chuàng)造的。第十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”基本信條“萬(wàn)物皆數(shù)”萬(wàn)物的本原就是數(shù)數(shù)是由單子或1產(chǎn)生的，因此將1命名為“原因數(shù)”，每一個(gè)數(shù)都被賦予了特定的屬性，而一切數(shù)中最神圣的是10，他們信奉和崇拜10，認(rèn)為它是完美、和諧的標(biāo)志。這種“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀念從另一側(cè)面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)對(duì)客觀世界的重要作用，這也是數(shù)學(xué)化思想的最初表述形式。第十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還定義了完全數(shù)、過(guò)剩數(shù)和不足數(shù)。6是最小的完全數(shù)，下一個(gè)完全數(shù)是28，等等。親和數(shù)的概念也被歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。最小的一對(duì)親和數(shù)是220和284。第十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于“形數(shù)”的研究，強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神。三角形數(shù)N=1+2+3+…+n(n+1)/2

正方形數(shù)N=1+3+5+7+…+(2n-1)

五邊形數(shù)N=1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)/2

六邊形數(shù)N=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n高階等差序列第十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”形數(shù)（figurednumbers）理論可以上溯到畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras,569B.C.～500B.C.）本人。用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點(diǎn)來(lái)構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus,60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon,約2世紀(jì)上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。第十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在《算術(shù)引論》中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個(gè)三棱錐數(shù)為11+31+3+61+3+6+10第十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”

前四個(gè)四棱錐數(shù)為

11+41+4+91+4+9=16

第n個(gè)四棱錐數(shù)為第十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日“形數(shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的另一個(gè)典型例子是由給出的畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”第二十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”“美是和諧與比例”最美的圖形在平面上是圓，在空間是球，整個(gè)地球、天體和宇宙是一個(gè)圓球。宇宙中的各種物體都作均勻的圓周運(yùn)動(dòng)。音樂(lè)理論畢達(dá)哥拉斯不僅把“美是和諧與比例”的科學(xué)美學(xué)思想用于音樂(lè)和天文學(xué)，還十分廣泛地將其應(yīng)用到建筑、雕刻、地學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。第二十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質(zhì)正多邊形覆蓋平面立方體填滿空間正十二面體、正五邊形“黃金分割”五角星作為學(xué)派的標(biāo)志第二十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）中國(guó)人、巴比倫人、埃及人和印度人都早就知道這個(gè)定理的特殊情況，不過(guò)只有希臘人才以一般的形式得到了證明。百牛傳說(shuō)第二十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”“萬(wàn)物皆數(shù)”：任何量都可以表示成兩整數(shù)之比（即某個(gè)有理量）?！翱晒攘俊碑呥_(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段，其證明與我們現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中證明√2是無(wú)理數(shù)的方法相同。希帕索斯歐多克斯第二十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬(wàn)物皆數(shù)”證明√2是無(wú)理數(shù)矛盾。第二十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的不可公度向希臘數(shù)學(xué)提出了一個(gè)難題，這就是如何處理離散與聯(lián)系、有限與無(wú)限的關(guān)系。大多數(shù)希臘數(shù)學(xué)家回避了這個(gè)問(wèn)題，轉(zhuǎn)而去研究幾何量之間的關(guān)系去了。但來(lái)自盧卡尼亞的一位哲學(xué)家芝諾，針對(duì)當(dāng)時(shí)對(duì)無(wú)限、運(yùn)動(dòng)和聯(lián)系等人們認(rèn)識(shí)模糊不清的概念，提出了45個(gè)違背常理的悖論，把這些矛盾暴露出來(lái)，在希臘數(shù)學(xué)界引起了巨大的震動(dòng)。第二十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派亞里士多德《物理學(xué)》記載的四個(gè)悖論⑴二分法⑵阿基里斯追龜⑶飛箭靜止（飛矢不動(dòng)）⑷運(yùn)動(dòng)場(chǎng)第二十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派芝諾的這些悖論在當(dāng)時(shí)是十分困難的，因?yàn)樗膯?wèn)題已經(jīng)涉及到對(duì)于當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家而言還是很模糊的無(wú)限與連續(xù)的概念。更重要的是，人們明知他的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒他，這就促使人們開(kāi)始思考一個(gè)理論能否自圓其說(shuō)的問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)，這也成為公理化思想方法產(chǎn)生的一個(gè)重要原因。同時(shí)，芝諾悖論與不可公度的困難一起，成為希臘數(shù)學(xué)追求邏輯精確性的強(qiáng)力激素。第二十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派正當(dāng)芝諾的那些悖論讓古希臘人傷透腦筋的時(shí)候，巧辯學(xué)派所提出的三大著名幾何作圖問(wèn)題，又讓他們陷入了困惑。巧辯學(xué)派創(chuàng)立、活動(dòng)于雅典。這個(gè)學(xué)派中聚集了各方面的學(xué)者大師，如文法、修辭、辨證法、人文，以及幾何、天文和哲學(xué)方面的學(xué)者，他們研究的主要目標(biāo)之一是用數(shù)學(xué)來(lái)探討宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)。第三十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派三大尺規(guī)作圖問(wèn)題是化圓為方、倍立方體、三等分角。圍繞這三大作圖問(wèn)題，希臘數(shù)學(xué)家們表現(xiàn)出了杰出的數(shù)學(xué)思想和方法。許多數(shù)學(xué)成果都是研究這三個(gè)問(wèn)題的副產(chǎn)品。如希波克拉底的化月牙形為方，希比亞斯的割圓曲線等。第三十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派最早研究化圓為方問(wèn)題的是安納薩哥拉斯。公元前5世紀(jì)下半葉開(kāi)奧斯的希波克拉底（HippociatesofChios）解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方。第三十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派巧辯學(xué)派的代表人物安提豐（Antiphon，約公元前480—前411），則首先提出了用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來(lái)化圓為方?！案F竭”安提豐古希臘“窮竭法”的始祖。第三十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派希波克拉底指出倍立方體問(wèn)題可以化為求一線段與它的二倍長(zhǎng)線段之間的雙重比例中項(xiàng)問(wèn)題：a：x=x：y=y：2a。比他稍晚的一些希臘數(shù)學(xué)家則借助某些特殊曲線作出了可作為倍立方體問(wèn)題解的比例中項(xiàng)線段，其中最重大的成就是柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯（Menaechmus，公元前4世紀(jì)中）為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。第三十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派希比亞斯割圓曲線第三十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派巧辯學(xué)派及其他希臘學(xué)者，把作圖工具只限于直尺和圓規(guī)，反映了他們對(duì)數(shù)學(xué)的這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：在研究一個(gè)概念之前必須先證明它的存在，只有從真理出發(fā)，依靠演繹推理才能獲得真理。在他們看來(lái)，直線和圓客觀上是存在的，所以只有用直線和圓構(gòu)作出來(lái)的圖形才能保證在邏輯上沒(méi)有矛盾。這樣的思想促進(jìn)了希臘數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化。另一方面，這些觀念也禁錮了人們的思想，抑制了創(chuàng)造性。第三十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3芝諾悖論與巧辯學(xué)派2000多年來(lái)，三大問(wèn)題的研究，花費(fèi)了人們的大量心血。1831年，法國(guó)數(shù)學(xué)家萬(wàn)采爾首先證明倍立方體和三等分任意角問(wèn)題不能用尺規(guī)作圖來(lái)解決，接著德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼于1882年又證明了π的超越性，因而否定了用尺規(guī)化圓為方的可能性，這三大問(wèn)題才徹底得以解決。第三十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派柏拉圖（Plato，公元前427——347年）是古希臘哲學(xué)家和教育家，出生于雅典的貴族家庭。公元前407年，柏拉圖20歲時(shí)曾拜年逾六旬的蘇格拉底為師。他是蘇格拉底最杰出的學(xué)生，深受蘇格拉底邏輯思想的影響。不過(guò)，蘇格拉底的主要興趣是國(guó)家，以及如何更好地為國(guó)家服務(wù)，數(shù)學(xué)對(duì)他的吸引力極小。與此相反，柏拉圖對(duì)倫理學(xué)和政治性的問(wèn)題興趣不大。第三十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派柏拉圖及一些希臘人重視抽象觀念，并要把數(shù)學(xué)思想當(dāng)作進(jìn)入哲學(xué)的階梯。數(shù)學(xué)家所處理的抽象觀念跟其他的抽象觀念，比如善良和公正，是同一類的，而了解這兩者乃是柏拉圖哲學(xué)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)理想世界的準(zhǔn)備工具。公元前399年，在蘇格拉底被雅典重建的民主政權(quán)處死后，柏拉圖被迫開(kāi)始了為期12年的游歷生涯，他先后去了麥加拉、埃及等地，后回到雅典。

第三十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日拉斐爾《雅典學(xué)園》第四十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派公元前387年，柏拉圖在雅典創(chuàng)建了歐洲歷史上第一所綜合性的、傳授知識(shí)、培養(yǎng)上層統(tǒng)治者的學(xué)校，學(xué)校兼收女生，并實(shí)行分層教育。柏拉圖對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力方面的作用有比較充分的認(rèn)識(shí)。據(jù)說(shuō)在他學(xué)校的門(mén)口甚至掛上“不懂幾何者不得入內(nèi)”的告示?？梢哉f(shuō)，柏拉圖的哲學(xué)成了數(shù)學(xué)的哲學(xué)，這對(duì)他的同時(shí)代人和他的繼承者有著深遠(yuǎn)的影響。

第四十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派柏拉圖學(xué)派特別強(qiáng)調(diào)要用數(shù)學(xué)來(lái)解釋宇宙，因而特別重視對(duì)立體幾何的研究。他們研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐，而且知道正多面體只有五種。第四十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派在其老師蘇格拉底邏輯思想的影響下，柏拉圖還明確提出了數(shù)學(xué)的演繹證明應(yīng)遵循的邏輯規(guī)則。他指出：“首先我假定某個(gè)我認(rèn)為是最有力的假設(shè)，然后肯定凡與之相符合的就是真的，無(wú)論是關(guān)于原因還是別的什么，只要與之不符合的，我就認(rèn)為它是不真的?！边@里柏拉圖明確提出，數(shù)學(xué)證明是以某些自明的假設(shè)即公理作為出發(fā)點(diǎn)，然后經(jīng)過(guò)一系列嚴(yán)格的邏輯推理，他稱之為“假設(shè)法”。顯然這正是公理化方法的開(kāi)端，對(duì)于歐幾里得幾何學(xué)的公理演繹系統(tǒng)和推進(jìn)希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展具有極為重要的意義?？梢哉f(shuō)，這是古希臘方法論的最高成就。這也表明至少?gòu)陌乩瓐D時(shí)代起，數(shù)學(xué)已經(jīng)有了公理化的思想。第四十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日4柏拉圖學(xué)派柏拉圖學(xué)派中最杰出的數(shù)學(xué)家應(yīng)首推歐多克索斯（Eudoxus，約公元前4世紀(jì)），有人認(rèn)為，古希臘數(shù)學(xué)家中，他的地位僅次于阿基米德。他的數(shù)