有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理

有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)6.3邊界條件的處理與支反力計算6.4單元剛度矩陣的縮聚6.5為以函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求6.6C0型單元與C1型單元6.7單元的拼片試驗6.8有限元分析數(shù)值解的精度與性質(zhì)6.9單元應力的計算結(jié)果的誤差與平均處理6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲計算機進行有限元分析時，需要存儲所有單元和節(jié)點信息，隨著所求解問題自由度的增大，計算規(guī)模的增大，整體剛度矩陣的規(guī)模非常巨大。由于整體剛度矩陣中顯現(xiàn)出相鄰單元之間的關聯(lián)性，因此矩陣中的大部分數(shù)據(jù)都為零，反映非零數(shù)據(jù)的一個指標就是帶寬。第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日由于剛度矩陣是對稱的，可以看出，若節(jié)點的自由度數(shù)目為m，則每一個單元在整體剛度矩陣的半帶寬為

di=（第i個單元中節(jié)點編號的最大差值+1）＊m

d=max（di）（i=1，2……n）其中n為整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單元數(shù)。顯然對于二維問題，m=2對于三維問題，m=3第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)以一維桿單元為例，桿單元的位移場為形函數(shù)矩陣1、左端發(fā)生單位位移，右端固定2、右端發(fā)生單位位移，左端固定3、發(fā)生剛體位移第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)仍然以一維桿單元為例，它的剛度方程為1、考慮單元左端發(fā)生單位位移，右端固定情況2、考慮單元右端發(fā)生單位位移，左端固定情況3、考察剛體位移第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日性質(zhì)1：單元剛度矩陣的對角元素kii表示要使單元的第i個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。性質(zhì)2：單元剛度矩陣的對角元素kij（i≠j）表示要使單元的第j個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。性質(zhì)3：單元剛度矩陣是對稱的。這可以由功的互等定理得到。對于線彈性體，力所做的功跟加載次序無關，這可以利用上面的性質(zhì)1和2得到。第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日第一種加載狀態(tài)第二種加載狀態(tài)第一種加載狀態(tài)下的外力在第二種加載狀態(tài)下移動相應位移做的功為第二種加載狀態(tài)下的外力在第一種加載狀態(tài)下移動相應位移做的功為根據(jù)功的互等定理，可以得到結(jié)論：剛度矩陣是對稱的。第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日性質(zhì)4：單元剛度矩陣是半正定的。性質(zhì)5：單元剛度矩陣是奇異的。性質(zhì)6：單元剛度矩陣的任意行或列代表一個平衡力系，當節(jié)點位移全部為線位移時，任意行或列的代數(shù)和應該為0。第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日同樣，由單元剛度矩陣所組裝的整體剛度矩陣也有以下性質(zhì)：1）對稱性2）奇異性3）半正定性4）稀疏性5）非零元素呈現(xiàn)帶狀分布第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.3邊界條件的處理與支反力的計算位移邊界條件在大多數(shù)情況下有兩種類型。1、零位移邊界條件2、給定具體數(shù)值的位移邊界條件根據(jù)上述兩類邊界條件，剛度方程的求解有以下幾種方法：1、直接法2、置“1”法3、乘大數(shù)法4、罰函數(shù)法第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日直接法1、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。2、處理過程直觀。3、待求矩陣的規(guī)模變?。ňS數(shù)變小），適合于手工處理。4、矩陣的節(jié)點編號及排序改變，不利于計算機的規(guī)范化處理。第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日置“1”法1、只能處理零約束情況。2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列，適合于計算機處理。3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機的規(guī)范化處理。直接法第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日乘大數(shù)法1、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。

2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列。3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機的規(guī)范化處理。直接法第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日罰函數(shù)法罰函數(shù)法的最大好處是可以直接求出位移邊界上的支反力。

支反力的計算：除了罰函數(shù)法能夠求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的方程得到。第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.4單元剛度矩陣的縮聚采用高次位移函數(shù)的單元也常被稱為高階單元。對于高次單元來說，除了幾何端點以外，其余的那些節(jié)點可能與其它的單元不發(fā)生關系，當中間的節(jié)點與其它單元無關時，我們稱作是內(nèi)部節(jié)點。而其余的節(jié)點是外部節(jié)點。既然內(nèi)部節(jié)點與其他單元無關，那么在組成整體剛度之前，就可以把他們消去，也就是把內(nèi)部節(jié)點的位移用外部節(jié)點的位移來表示。第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日以一維三節(jié)點桿單元為例第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日以一維三節(jié)點桿單元為例其中a代表的是外部節(jié)點，b代表的是內(nèi)部節(jié)點。第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.5位移函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求單元中的位移模式一般采用設有待定系數(shù)的有限多項式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項式的選取原則應該考慮以下幾個方面：1、待定系數(shù)是由節(jié)點位移條件確定的，因此它的個數(shù)應該與節(jié)點位移DOF個數(shù)相等。2、在選取多項式時，必須選擇常數(shù)項和完備的一次項。單元位移模式中的常數(shù)項和一次項可以反映單元的剛體位移合唱應變的特性。這是因為當劃分的單元數(shù)趨于無窮時，即單元縮小趨于一點，此時單元應變趨于常數(shù)。3、選擇多項式應該由低到高，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日因此，在構(gòu)造一個單元的位移函數(shù)時，應該參考由多項式函數(shù)構(gòu)成的Pascal三角形和上述原則進行函數(shù)項次的選取與構(gòu)造。第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日收斂性問題

在有限元分析中，當節(jié)點數(shù)目或單元插值函數(shù)的項數(shù)趨于無窮大時，即單元尺寸趨于零時，最后的解答如果能夠無線的逼近準確解，那么這樣的位移函數(shù)或形函數(shù)是逼近于真實的，這就稱為收斂。為使有限元分析的解答收斂，位移函數(shù)必須滿足一些收斂準則，這些準則都經(jīng)過過嚴密的理論驗證。主要包括以下三個方面。第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日收斂性準則

定義：當單元尺寸趨于零時，有限元的解趨于真實解。

準則1：完備性準則（針對單元內(nèi)部）。如果在勢能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則有限元解答收斂性的條件之一是選取單元內(nèi)的位移場函數(shù)至少是m階完全多項式。

準則2：協(xié)調(diào)性準則（針對單元之間）。如果在勢能泛函中位移函數(shù)所出現(xiàn)的最高階導數(shù)是m階，那么位移函數(shù)在單元交界面上必須具有直至m-1階的連續(xù)導數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日以一般的梁問題為例從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關于位移的最高階導數(shù)為2，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應該包含完整的二次多項式。由準則2可知，位移函數(shù)為C1連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)至少要求一階導數(shù)連續(xù)。第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日以一般的平面問題為例從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關于位移的最高階導數(shù)為1，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應該包含完整的一次多項式。由準則2可知，位移函數(shù)為C0連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)要求零階導數(shù)連續(xù)。亦即函數(shù)的本身連續(xù)，而其一階導數(shù)可以不連續(xù)。第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日協(xié)調(diào)元與非協(xié)調(diào)元當單元的位移函數(shù)滿足完備性要求時，稱單元是完備的（一般都比較容易滿足），當單元的位移函數(shù)滿足協(xié)調(diào)性條件時，稱單元是協(xié)調(diào)的（在單元與單元之間的公共邊界上對于高階連續(xù)性要求較難滿足）。當單元的位移函數(shù)即完備又協(xié)調(diào)時，則有限元分析的解答是收斂的，即當單元尺寸趨于零時，有限元分析的解答趨于真實解。我們稱這種單元為協(xié)調(diào)單元。第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日一般情況下，當泛函中的導數(shù)高于一階時，則要求許可函數(shù)在單元交界面上具有C1或更高的連續(xù)性，這時構(gòu)造單元的插值函數(shù)往往比較困難。如果在單元之間的交界面上位移或?qū)?shù)不連續(xù)，將在交界面上引起無限大的變形，這時必須產(chǎn)生附加應變能，而我們建立泛函時，并沒有考慮這種情況。因此，基于最小勢能原理得到的有限元分析解答就不可能收斂于正確解。在某些情況下，可以放松對協(xié)調(diào)性的要求，只要這種單元能夠通過拼片試驗，有限元分析的解答仍然可以收斂于正確的解答。這樣的單元稱為非協(xié)調(diào)性單元。第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.6C0和C1型單元C0型單元在泛函中位移函數(shù)的最高階導數(shù)為1，在交界面上具有0階的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上僅僅要求位移連續(xù)。桿單元、平面問題單元、空間問題單元等第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.6C0和C1型單元C1型單元在泛函中位移函數(shù)的最高階導數(shù)為2，在交界面上具有1階的連續(xù)導數(shù)，即節(jié)點上除要求位移連續(xù)外，還要求1階導數(shù)連續(xù)。梁單元、板單元、殼單元等第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.7單元的拼片試驗由于非協(xié)調(diào)單元之間的位移不能保證位移協(xié)調(diào)，可以通過拼片試驗來考證是否能描述常應變和剛體位移，若能通過拼片試驗，則解得收斂性就能得到保證。如圖所示的單元狀況，其中至少一個節(jié)點被單元所完全包圍，若節(jié)點i完全被單元所包圍，節(jié)點i的平衡方程為第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日對于非協(xié)調(diào)單元，需要考察它的收斂性，即考察它是否具有常應變的能力，因此，我們設計這樣一個試驗（拼片試驗）：當對單元片中的各個節(jié)點賦予對應于常應變狀態(tài)的位移和載荷值時，核對對i點平衡方程的正確性，如果能夠滿足，也就是單元滿足常應變要求，因此當單元尺寸不斷減小時，有限元解能夠收斂于真正解。第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日以平面問題為例由片面問題的平衡方程可知，當單元內(nèi)的應變或應力都為常數(shù)時，則對應的體積力為零。對應于圖中的i點，它的邊界力也為零，因此。所以此時，通過拼片試驗的前提是，當賦予各節(jié)點以上位移模式的位移時，i點的平衡方程變?yōu)榧幢仨氃诠?jié)點i施加附加約束，該約束力所作的功等于單元交界面上位移不協(xié)調(diào)引起的附加應變能。第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日仍以平面問題為例由片面問題的平衡方程可知，當單元內(nèi)的應變或應力都為常數(shù)時，則對應的體積力為零。對應于圖中的i點，它的邊界力也為零，因此。所以i節(jié)點以外節(jié)點有以上位移模式的位移時，對于i點的平衡方程如果求解上式得到的位移值和常應變狀態(tài)下的位移相一致，則認為通過拼片試驗。否則認為不能通過拼片試驗。第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.8有限元數(shù)值解的精度與性質(zhì)求解精度估計以平面問題為例，單元的位移場可以展開成以下形式如果單元尺寸為h，則上式中的Δx和Δy都是h量級，若單元的位移函數(shù)采用p階完全多項式，即它能逼近上述泰勒級數(shù)的前p階多項式，那么位移解u的誤差將是O（hp+1）量級。

第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日3節(jié)點3角形單元(p次多項式)：量級位移應變應變能誤差收斂速度誤差誤差h/1量級:O（h2）O（h2）O（h）O（h2）h/2量級:O（h2/4）。。。。。。。。。h/3量級:O（h2/9）。。。。。。。。。h/4量級:O（h2/16）。。。。。。。。。第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日這里討論的都是僅僅局限于網(wǎng)格的離散誤差，即當一個連續(xù)的求解域被離散成有限個子域，由單元的試函數(shù)來逼近整體的域的場函數(shù)所引起的誤差。另外，實際誤差還應該包括計算機的數(shù)值運算誤差。精確解與不同網(wǎng)格計算結(jié)果之間的關系第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日有限元分析的下限性質(zhì)有限元是把結(jié)構(gòu)無限多的自由度簡化為有限多的自由度，結(jié)構(gòu)的剛度被夸大了，即使是用無限多個自由度來描述，也必然使得原系統(tǒng)剛度增加，變得更加剛硬，即剛度矩陣的總體數(shù)值變大，由剛度方程知，計算出的位移結(jié)果偏小。由于位移函數(shù)的收斂性準則包含完備性和協(xié)調(diào)性兩方面的要求，而完備性要求比較容易滿足，而協(xié)調(diào)性則較難滿足，因此這往往是研究的重點。第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日位移解的下限性質(zhì)是基于協(xié)調(diào)單元單調(diào)收斂的前提得到的，在有些情況下，使用非協(xié)調(diào)單元也可以得到工程上的滿意解答，有時甚至更好，這是由于位移不協(xié)調(diào)引所造成的誤差與其它誤差相抵消的緣故。第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.9單元應力計算結(jié)果的誤差和平均應力結(jié)果的誤差性質(zhì)對于彈性問題，其三大變量對于一個具體問題，成了求δ2П關于的極值問題。它是一個誤差泛函。第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日可見，對于求近似解極值的問題從力學上看，是求位移變分引起的總勢能為極小值的問題。從數(shù)學上看，是求應變差和應力差在彈性矩陣加權意義下的最小二乘問題。因此，應變和應力的近似解的性質(zhì)，是在加權殘值最小二乘意義上對真實應變和真實應力的逼近。第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日高斯點上的應力性質(zhì)高斯積分點上的應力和應變的近似解將具有比其它位置高得多的精度，這可以從圖中看出。第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日公共節(jié)點上的應力平均①繞節(jié)點直接平均法②繞節(jié)點加權平均法，可以按體積或面積加權平均③二單元平均法第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法h方法：不改變