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認(rèn)證類(lèi)型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：卓**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：廣東 上傳時(shí)間：2023-02-25 格式：PPT 頁(yè)數(shù)：61 大小：3.27MB 積分：28 舉報(bào) 版權(quán)申訴

有限元課件單元?jiǎng)哦染仃?第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日形函數(shù)是有限單元法中的一個(gè)重要函數(shù)，它具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i上的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)上的值等于0。對(duì)于本單元，有4）形函數(shù)的性質(zhì)2第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（i、j、m）性質(zhì)2在單元中任一點(diǎn)，所有形函數(shù)之和等于1。對(duì)于本單元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm3第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代數(shù)余子式與某行或列元素乘積的性質(zhì)（等于行列式值或0）證明。4第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)3在三角形單元的邊界ij上任一點(diǎn)（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1證5第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4形函數(shù)在單元上的面積分和在邊界上的線積分公式為

(6-14）式中為邊的長(zhǎng)度。在三角形的形心，＝1/3（面積坐標(biāo)概念）在三角形的ij和im邊的中點(diǎn)，＝1/26第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣和位移函數(shù)7第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

由三角形的面積8第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

(6-11）舉例驗(yàn)證形函數(shù)性質(zhì)；加權(quán)平均；內(nèi)插9第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日3、位移模式與解答的收斂性10第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

（1）位移函數(shù)的個(gè)數(shù) 等于單元中任意一點(diǎn)的位移分量個(gè)數(shù)。本單元中有u和v，與此相應(yīng)，有2個(gè)位移函數(shù)；

（3）位移函數(shù)中待定常數(shù)個(gè)數(shù)

待定常數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)，以便用單元節(jié)點(diǎn)位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本單元有6個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度，兩個(gè)位移函數(shù)中共包含6個(gè)待定常數(shù)。（2）位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)本單元的坐標(biāo)系為：x、y；11第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

（4）位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。

（5）位移函數(shù)中必須包含單元的常應(yīng)變。

（6）位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)。相鄰單元間要盡量協(xié)調(diào)。條件（4）、（5）構(gòu)成單元的完備性準(zhǔn)則。條件（6）是單元的位移協(xié)調(diào)性條件。理論和實(shí)踐都已證明，完備性準(zhǔn)則是有限元解收斂于真實(shí)解的必要條件。單元的位移協(xié)調(diào)條件構(gòu)成有限元解收斂于真實(shí)解的充分條件。容易證明，三角形三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元滿(mǎn)足以上必要與充分條件。12第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日◆

位移函數(shù)的形式

一般選為完全多項(xiàng)式。為實(shí)現(xiàn)（4）—（6）的要求，根據(jù)Pascal三角形由低階到高階按順序、對(duì)稱(chēng)地選?。欢囗?xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一般應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)。13第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。

(a2,a6,a3+a5)

位移函數(shù)中包含了單元的剛體位移。(a1,a4)③④254136①②對(duì)任一單元，如③單元，取位移函數(shù)：14第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日①、②、③、④單元的位移函數(shù)都是可以看出：位移函數(shù)在單元內(nèi)是連續(xù)的；以③、④的邊界2－6為例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2兩條直線上有兩個(gè)點(diǎn)重合，此兩條直線必全重合。位移函數(shù)在單元之間的邊界上也連續(xù)嗎？是。15第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第三次課第6章用有限單元法解平面問(wèn)題6－4、5單元?jiǎng)哦染仃嚺c相關(guān)問(wèn)題（單元分析）16第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

回顧：?jiǎn)卧治鋈〗Y(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力：其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的步驟可表示如下：17第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日6－4、5單元?jiǎng)哦染仃嚺c相關(guān)問(wèn)題1、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)變—幾何方程2、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)力—物理方程3、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元結(jié)點(diǎn)力—虛功方程4、單元?jiǎng)哦龋▌偠龋┚仃嚰捌湫再|(zhì)18第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)幾何方程和位移函數(shù)可以求得單元應(yīng)變。1、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)變—幾何方程19第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日1、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)變—幾何方程

根據(jù)幾何方程和位移函數(shù)可以求得單元應(yīng)變。

20第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(6-16a）1、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)變—幾何方程

根據(jù)幾何方程和位移函數(shù)可以求得單元應(yīng)變。21第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上式簡(jiǎn)寫(xiě)一般式：(6-16b）式中，[B]——單元應(yīng)變矩陣。對(duì)本問(wèn)題，維數(shù)為3×6。它的分塊形式為：子矩陣(6-17）根據(jù)幾何方程和位移函數(shù)可以求得單元應(yīng)變22第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日由于與x、y無(wú)關(guān)，都是常量，因此[B]矩陣也是常量。單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量是[B]矩陣與單元結(jié)點(diǎn)位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱(chēng)為常應(yīng)變單元（精度較低!）。根據(jù)幾何方程和位移函數(shù)可以求得單元應(yīng)變由位移模式可知：當(dāng)單元尺度足夠小時(shí)，三角形常應(yīng)變單元位移的誤差量級(jí)是單元尺度或的二階小量，應(yīng)變的誤差量級(jí)則是相應(yīng)的一階小量。23第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣2、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)力—物理方程只要將上式中的E換成，換成即得平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣。24第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日將應(yīng)變表達(dá)式：(6-18a）也可寫(xiě)為：(6-18b）2、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)力—物理方程代入物理方程式：得單元應(yīng)力：25第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程物理方程簡(jiǎn)化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：

26第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日其中：[S]稱(chēng)為單元應(yīng)力矩陣，并有(6-19a）這里，[D]是3×3矩陣，[B]是3×6矩陣，因此[S]也是3×6矩陣。它可寫(xiě)為分塊形式2、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元應(yīng)力—物理方程由于[B]和[D]矩陣都是常量矩陣，因此[S]矩陣也是常量矩陣。因而單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力分量也都是常量。這表明應(yīng)力的誤差量級(jí)與應(yīng)變相同，也是一階小量。27第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(6-20）式(6-20）是平面應(yīng)力的結(jié)果。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將上式中的E換成，換成即得。由上式可得子矩陣[Si](6-19b）其中：28第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(6-21）同一單元內(nèi)三角形三節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力分量是常量。但是，相鄰單元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的應(yīng)變和應(yīng)力，這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著應(yīng)變和應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分，這種突變將會(huì)迅速減小，收斂于平衡被滿(mǎn)足。29第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日3、由單元結(jié)點(diǎn)位移表出單元結(jié)點(diǎn)力—虛功方程30第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日1)虛功方程（等價(jià)于平衡方程和應(yīng)力邊界條件）ijmxyt31第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2)結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移（實(shí)與虛）

32第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

考慮上圖三角形單元的實(shí)際受力，結(jié)點(diǎn)力和內(nèi)部應(yīng)力為：

任意虛設(shè)位移，結(jié)點(diǎn)位移與內(nèi)部應(yīng)變?yōu)?)結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移（實(shí)與虛）33第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)點(diǎn)力虛功

令實(shí)際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為34第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日單元應(yīng)力虛功

微小矩形的內(nèi)力虛功為整個(gè)彈性體的內(nèi)力虛功為35第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日虛功方程的應(yīng)用

根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問(wèn)題的虛功方程，實(shí)質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平衡方程。虛應(yīng)變可以由結(jié)點(diǎn)虛位移求出：

代入虛功方程36第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

接上式，將應(yīng)力用結(jié)點(diǎn)位移表示出有令則建立了單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，稱(chēng)為單元?jiǎng)哦然騽偠染仃?。它?*6矩陣，其元素表示該單元的各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的結(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。虛功方程的展開(kāi)37第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

由于[D]中元素是常量，而在線性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以進(jìn)一步得出平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?、單元?jiǎng)哦龋▌偠龋┚仃嚰捌湫再|(zhì)38第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日注意到即可計(jì)算出平面應(yīng)力三角形單元的剛度矩陣。寫(xiě)成分塊形式，有(6-24）39第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日式(6-24)中子矩陣[krs]為2×2矩陣，且有(6-25）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，須將上式中的E換為，換為，于是有其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函數(shù)式中的系數(shù)。40第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(6-26）對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：41第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

平面問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嘯k]不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動(dòng)而改變。由公式(6-25）、(6-26）知，[krs]矩陣和其中的br、cr、

bs、cs（r、s=i、j、m）有關(guān)。

三角形單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)42第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日ijmxyo(1-17）

ijmyjym43第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

平面問(wèn)題的單元?jiǎng)偠染仃嘯k]不隨單元的放大或縮小而改變。(板書(shū)補(bǔ)充解釋)

三角形單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)44第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

（1）單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義例如，kij表示單元第j個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）時(shí)，在第i個(gè)自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力Fi。主對(duì)角線上元素kii(i=1,nj)恒為正值。單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)（）45第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（2）[k]的每一行或每一列元素之和為零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第i行為例（板書(shū)補(bǔ)充說(shuō)明）當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)沿x向或y向都產(chǎn)生單位位移時(shí)，單元作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，無(wú)應(yīng)變，也無(wú)應(yīng)力。則有：即：[k]的每一行元素之和為零。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，每一列元素之和也為零。rstxy圖1-646第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

單元?jiǎng)偠染仃囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)偠染仃嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱(chēng)性可知，各列元素的總和也如此。47第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（3）[k]是對(duì)稱(chēng)矩陣

由[k]各元素的表達(dá)式，可知[k]具有對(duì)稱(chēng)性。njnj對(duì)于主對(duì)角線元素對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)表達(dá)式：kij=kji48第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)（對(duì)稱(chēng)性證明）49第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)（對(duì)稱(chēng)性證明）50第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)（對(duì)稱(chēng)性證明）虛功概念，互等功定理51第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日注意到(6-24）對(duì)稱(chēng)性得證52第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（4）單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚰碵k]的行列式為零（由行列式性質(zhì)）。單元?jiǎng)偠染仃囀窃趩卧幱谄胶鉅顟B(tài)的前提下得出的。單元作為分離體看待，作用在它上面的外力（單元力）必定是平衡力系。然而，研究單元平衡時(shí)沒(méi)有引入約束。承受平衡力系作用的無(wú)約束單元，其變形是確定的，但位移不是確定的。所以出現(xiàn)性質(zhì)（3）中的“平動(dòng)問(wèn)題”，即單元可以發(fā)生任意的剛體運(yùn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，方程(1-28）的解不是唯一的或不能確定的。由此，單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ瞧娈惖摹?3第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

單元面積:例：計(jì)算平面應(yīng)力直角三角形單元?jiǎng)偠染仃嚽笙聢D所示單元的剛度矩陣，設(shè)Xi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0a0j0a0am00-a-a54第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日