數(shù)值分析方法

數(shù)值分析方法第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日5.2.1.Euler方法設(shè)節(jié)點(diǎn)為xk=x0+kh

(h=(b-a)/n

k=0,1,…n)

方法一泰勒展開(kāi)法（將y(xk+1)在xk泰勒展開(kāi)得）則可得：第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

方法二數(shù)值微分法（用向前差商近似導(dǎo)數(shù)）第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日方法三數(shù)值積分法

第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日依上述公式逐次計(jì)算可得：也稱(chēng)Euler為單步法，又稱(chēng)為顯格式的單步法。第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

2歐拉法的幾何意義：也稱(chēng)歐拉折線(xiàn)法.從上述幾何意義上得知，由Euler法所得的折線(xiàn)明顯偏離了積分曲線(xiàn)，可見(jiàn)此方法非常粗糙。第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日3.歐拉法的局部截?cái)嗾`差：定義

在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1

稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差定義

若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱(chēng)該算法有p

階精度。第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法具有1階精度。第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日5.2.2后退的歐拉公式（隱式歐拉公式）向后差商近似導(dǎo)數(shù)由于未知數(shù)yn+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱(chēng)為隱式歐拉公式，而前者稱(chēng)為顯式歐拉公式。隱式公式不能直接求解，一般需要用Euler顯式公式得到初值，然后用Euler隱式公式迭代求解。因此隱式公式較顯式公式計(jì)算復(fù)雜，但穩(wěn)定性好。第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日幾何意義：向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日見(jiàn)上圖，顯然，這種近似也有一定誤差，如何估計(jì)這種誤差y(xn+1)

yn+1？方法同上，基于Taylor展開(kāi)估計(jì)局部截?cái)嗾`差。但是注意，隱式公式中右邊含有f(xn+1

,yn+1),由于yn+1不準(zhǔn)確，所以不能直接用y'(xn+1)代替f(xn+1

,yn+1)設(shè)已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)Pn(xn,yn),過(guò)該點(diǎn)作弦線(xiàn)，斜率為(xn+1

,yn+1)點(diǎn)的方向場(chǎng)f(x,y)方向,若步長(zhǎng)h充分小，可用弦線(xiàn)和垂線(xiàn)x=xn+1的交點(diǎn)近似曲線(xiàn)與垂線(xiàn)的交點(diǎn)。幾何意義xnxn+1PnPn+1xyy(x)第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日§1Euler’sMethod第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度?！?Euler’sMethod第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日比較歐拉顯式公式和隱式公式及其局部截?cái)嗾`差顯式公式隱式公式第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

若將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分而獲得更高的精度,稱(chēng)為梯形法5.2.3梯形公式第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

在用數(shù)值積分的方法推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，右端的積分用梯形積分公式可得：第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日梯形法的迭代計(jì)算和收斂性注：的確有局部截?cái)嗾`差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日改進(jìn)的歐拉格式

歐拉方法容易計(jì)算，但精度較低；梯形公式精度高，但是隱式形式，不易求解；若將二者結(jié)合，可得到改進(jìn)的歐拉格式。第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

上述方法也可以表示為下述兩種形式：第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日5.2.5歐拉兩步公式中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式也具有2階精度，且是顯式的。需要2個(gè)初值y0和y1來(lái)啟動(dòng)遞推過(guò)程，這樣的算法稱(chēng)為雙步法第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)中點(diǎn)法具有二階精度，且是顯式的，與梯形公式精度相匹配，用中點(diǎn)公式作預(yù)測(cè)，梯形公式作校正，得到如下預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)：校正誤差約為預(yù)測(cè)誤差的1/4第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日預(yù)測(cè)誤差和校正誤差的事后誤差估計(jì)式利用上兩式可以估計(jì)預(yù)測(cè)值和校正值與準(zhǔn)確值的誤差，可以期望，利用這兩個(gè)誤差分別作預(yù)測(cè)值和校正值的補(bǔ)償，有可能提高精度。設(shè)pn,cn分別為第n步的預(yù)測(cè)值和校正值，即此時(shí)cn+1未知，故用pn-cn代替第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日預(yù)測(cè)-校正-改進(jìn)公式注：利用該算法計(jì)算yn+1時(shí)，需要第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日例：試分別用歐拉格式和改進(jìn)的歐拉格式求解下列初值問(wèn)題：解：歐拉格式的具體算式為：第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

改進(jìn)的歐拉格式為：第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

改進(jìn)的歐拉格式的具體算式為：

結(jié)果列表如下：第三十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

xk歐拉法yk歐拉預(yù)校yk準(zhǔn)確解y(xk)0.11.0954451150.21.1832159570.31.2649110640.41.3416407870.51.4142135620.61.4832396970.71.5491933390.81.6124515500.91.6733200531.01.7320508081.11.0959090911.1918181821.1840965691.2774378341.2662013611.3582126001.3433601511.4351329191.416401929