數(shù)學(xué)建模之蒙特卡羅

數(shù)學(xué)建模之蒙特卡羅第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法的收斂性，誤差蒙特卡羅方法的特點(diǎn)蒙特卡羅方法的主要應(yīng)用范圍

百度關(guān)鍵詞：摩納哥，蒙特卡洛，約翰·馮·諾依曼數(shù)學(xué)建模之蒙特卡羅第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日蒙特卡羅方法概述

蒙特卡羅方法又稱隨機(jī)抽樣技巧或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法。半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，這種方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來(lái)，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計(jì)算方法，但與一般數(shù)值計(jì)算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問(wèn)題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛。第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日蒙特卡羅方法的基本思想

二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來(lái)，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。但其基本思想并非新穎，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。兩個(gè)例子例1.蒲豐氏問(wèn)題例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）基本思想計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日例1.蒲豐氏問(wèn)題

為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（

l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式：求出π值其中Ｎ為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問(wèn)題。第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）

設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它反映運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。該運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?yōu)橛酶怕收Z(yǔ)言來(lái)說(shuō)，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。換言之，為積分<g>的估計(jì)值，或近似值。在該例中，用Ｎ次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計(jì)值（積分近似值）。第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日基本思想

由以上兩個(gè)例子可以看出，當(dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過(guò)它得到問(wèn)題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。當(dāng)隨機(jī)變量的取值僅為1或0時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望就是某個(gè)事件的概率。或者說(shuō)，某種事件的概率也是隨機(jī)變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

因此，可以通俗地說(shuō)，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望通過(guò)某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r1，r2，…，rN（用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計(jì)值（近似值）。第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過(guò)人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀(jì)四十年代以來(lái)，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過(guò)電子計(jì)算機(jī)來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)過(guò)程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程

計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過(guò)程，就是將試驗(yàn)過(guò)程（如投針，射擊）化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。以上述兩個(gè)問(wèn)題為例，分別加以說(shuō)明。例1.蒲豐氏問(wèn)題例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）由上面兩個(gè)例題看出，蒙特卡羅方法常以一個(gè)“概率模型”為基礎(chǔ)，按照它所描述的過(guò)程，使用由已知分布抽樣的方法，得到部分試驗(yàn)結(jié)果的觀察值，求得問(wèn)題的近似解。第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日例１．蒲豐氏問(wèn)題

設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來(lái)描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是針在平行線間的位置

第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

如何產(chǎn)生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為：類似地，θ的分布密度函數(shù)為：因此，產(chǎn)生任意的（x,θ）的過(guò)程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2(θ)抽樣θ的過(guò)程了。由此得到：其中ξ1，ξ2均為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量。第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,θ），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,θ)，為如果投針Ｎ次，則是針與平行線相交概率Ｐ的估計(jì)值。事實(shí)上，于是有第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日例２．射擊問(wèn)題

設(shè)射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)分布為用計(jì)算機(jī)作隨機(jī)試驗(yàn)（射擊）的方法為，選取一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，按右邊所列方法判斷得到成績(jī)。這樣，就進(jìn)行了一次隨機(jī)試驗(yàn)（射擊），得到了一次成績(jī)ｇ(r)，作Ｎ次試驗(yàn)后，得到該運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的近似值環(huán)數(shù)78910概率0.10.10.30.5第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日蒙特卡羅方法的收斂性，誤差

蒙特卡羅方法作為一種計(jì)算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個(gè)重要問(wèn)題。收斂性誤差減小方差的各種技巧效率第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日收斂性

由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣X(jué)1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則即隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日誤差

蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問(wèn)題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差σ2

，即

f(X)是X的分布密度函數(shù)。則第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)N充分大時(shí)，有如下的近似式其中α稱為置信度，1－α稱為置信水平。這表明，不等式近似地以概率

1－α成立，且誤差收斂速度的階為。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為上式中與置信度α是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)問(wèn)題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出。第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日

下面給出幾個(gè)常用的α與的數(shù)值：

關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說(shuō)明兩點(diǎn)：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計(jì)值來(lái)代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。α0.50.050.003

0.67451.963第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日減小方差的各種技巧

顯然，當(dāng)給定置信度α后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε，或者是增大N，或者是減小方差σ2。在σ固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)N需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，單純?cè)龃驨不是一個(gè)有效的辦法。另一方面，如能減小估計(jì)的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。關(guān)于降低方差的技巧，請(qǐng)自行學(xué)習(xí)相關(guān)資料。第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日效率

一般來(lái)說(shuō)，降低方差的技巧，往往會(huì)使觀察一個(gè)子樣的時(shí)間增加。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個(gè)子樣的費(fèi)用（使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間）兩者來(lái)衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為，其中c

是觀察一個(gè)子樣的平均費(fèi)用。顯然越小，方法越有效。第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日蒙特卡羅方法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程。受幾何條件限制小。收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)。具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)收斂速度慢。誤差具有概率性。在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程

從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問(wèn)題，可以直接從實(shí)際問(wèn)題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它有直觀、形象的特點(diǎn)。第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日受幾何條件限制小

在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時(shí)，無(wú)論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)，得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會(huì)有原則上的困難。第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)

由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為，與問(wèn)題本身的維數(shù)無(wú)關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。也就是說(shuō)，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無(wú)關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計(jì)算量外，不影響問(wèn)題的誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問(wèn)題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計(jì)算高維積分時(shí)難以克服的問(wèn)題。第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力

對(duì)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問(wèn)題，使用蒙特卡羅方法有時(shí)不需要像常規(guī)方法那樣逐個(gè)計(jì)算，而可以同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如，對(duì)于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計(jì)算若干種厚度的穿透概率時(shí)，只需計(jì)算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時(shí)得到若干個(gè)所求量。例如，在模擬粒子過(guò)程中，可以同時(shí)得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計(jì)算所求量。第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日誤差容易確定

對(duì)于一般計(jì)算方法，要給出計(jì)算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計(jì)算所求量的同時(shí)計(jì)算出誤差。對(duì)干很復(fù)雜的蒙特卡羅方法計(jì)算問(wèn)題，也是容易確定的。一般計(jì)算方法常存在著有效位數(shù)損失問(wèn)題，而要解決這一問(wèn)題有時(shí)相當(dāng)困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問(wèn)題。第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)

在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)，程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，分塊性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)。第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日收斂速度慢

如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對(duì)于維數(shù)少（三維以下）的問(wèn)題，不如其他方法好。第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，202