專題04%C2%A0立體幾何-2020年新高考數(shù)學二輪專項習題練

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立體幾何一、單選題1．用半徑為，圓心角為的扇形紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的高為（）A． B． C． D．2．已知球的半徑為4，球面被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的公共弦長為，若球心到這兩個平面的距離相等，則這兩個圓的半徑之和為（）A．6 B．8 C．10 D．123．若向量，，則（）A． B． C．3 D．4．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中真命題的序號為（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④5．已知三棱錐的側(cè)棱長相等，底面正三角形的邊長為，平面時，三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的體積是（）A． B． C． D．7．已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5.若球在圓錐內(nèi)，則球的體積的最大值為（）A． B． C． D．8．四面體的四個頂點坐標為，，，，則該四面體外接球的體積為（）A． B． C． D．9．若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得.其中，所有正確結論的序號是（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②10．如圖，在正四棱臺中，上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為5，點分別在上，且.過點的平面與此四棱臺的下底面會相交，則平面與四棱臺的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為A． B． C． D．二、填空題11．一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為________.12．有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為a，b，1，現(xiàn)將它的長增加1，寬增加2，且體積不變，則所得長方體高的最大值為________；13．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，，則球O的表面積為________.14．如圖,已知正方體的棱長為4,點E、F分別是線段上的動點,點P是上底面內(nèi)一動點,且滿足點P到點F的距離等于點P到平面的距離,則當點P運動時,PE的最小值是__________.15．已知四邊形為矩形,,為的中點,將沿折起,得到四棱錐,設的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:①平面，且的長度為定值；②三棱錐的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個位置，使得.其中正確命題的序號為__________．（寫出所有正確結論的序號）三、解答題16．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，交于點，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小．17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點、分別在線段、上，且，其中，連接，延長與的延長線交于點，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若時，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為時，求值．參考答案1．B【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為rcm,根據(jù)底面圓的周長即扇形的弧長求出半徑r,利用勾股定理可得答案.【詳解】設圓錐的底面半徑為rcm，由題意底面圓的周長即扇形的弧長，可得2πr=即底面圓的半徑為1，.所以圓錐的高,故選B【點睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖的應用，圓錐側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.2．A【解析】【分析】設兩圓的圓心為，，球心為，公共弦為，中點為，可知為正方形，根據(jù)和，代入長度求解即可.【詳解】如圖，設兩圓的圓心為，，球心為，公共弦為，中點為，因為圓心到這兩個平面的距離相等，則為正方形.兩圓半徑相等，設兩圓半徑為，，，又，，，.這兩個圓的半徑之和為6.故選A【點睛】本題主要考查了球的幾何運算，解題的關鍵是清楚球心和截面的位置關系，考查了空間想象力，屬于中檔題.3．D【解析】【分析】先求出的坐標，再求模長即可.【詳解】則=故選D.【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，模長公式，熟記加減運算性質(zhì)，準確計算是關鍵，是基礎題.4．A【解析】【分析】逐一分析命題①②③④的正誤，可得出合適的選項.【詳解】對于命題①，若，過直線作平面，使得，則，，，，，命題①正確；對于命題②，對于命題②，若，，則，命題②正確；對于命題③，若，，則與相交、平行或異面，命題③錯誤；對于命題④，若，，則或，命題④錯誤.故選：A.【點睛】本題考查有關線面、面面位置關系的判斷，考查推理能力，屬于中等題.5．D【解析】【分析】證明，得出，可得出的外接圓直徑為，并計算出三棱錐的側(cè)棱長，然后利用公式可得出外接球的半徑，并利用球體表面積公式可得出外接球的表面積.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，，則，.平面，平面，，，的外接圓直徑為，易知三棱錐的側(cè)面都是等腰直角三角形，，設三棱錐的外接球半徑為，則，得.因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，分析出幾何體的結構，找出合適的模型計算出外接球的半徑是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6．B【解析】【分析】三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結，則平面，設為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為，可求出，然后由可求出半徑，進而求出外接球的體積.【詳解】由題意，易知三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結，則平面，設為三棱錐外接球的球心.因為，所以.因為，所以.設三棱錐外接球的半徑為，則，解得，故三棱錐外接球的體積是.故選B.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.7．A【解析】【分析】設圓錐的軸截面為等腰△，則球的體積最大時，球的軸截面是△的內(nèi)切圓，根據(jù)三角形面積公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)求出半徑，最后求出體積.【詳解】設圓錐的軸截面為等腰△，則球的體積最大時，球的軸截面是△的內(nèi)切圓，所以，解得：，所以球的體積的最大值為.故選：A【點睛】本題考查了求球體積最大問題，考查了球的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.8．B【解析】【分析】計算出線段長度，分析出四面體的形狀，從而可確定出外接球的球心，根據(jù)球心求解出球的半徑即可求解出外接球的體積.【詳解】由題意知，所以，所以，所以該四面體側(cè)棱底面，且底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱，所以底面正三角形的外接圓半徑為，球心必在過中點且平行于底面的平面上，所以球半徑，所以球的體積為.故選：B.【點睛】本題考查空間幾何體的外接球體積計算，難度一般.求解空間幾何體的外接球的問題，首先要確定出球心所在的位置，然后根據(jù)線段長度求解出外接球的半徑，最后即可求解出球的體積或表面積.9．D【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設點的坐標為，求出點、的坐標，然后利用向量法來判斷出命題①②③的正誤.【詳解】取的中點，過點在平面內(nèi)作，再過點在平面內(nèi)作，垂足為點.在正方體中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可證，，則，.以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，.對于命題①，，，則，則，所以，，命題①正確；對于命題②，，則平面的一個法向量為，，令，解得，所以，存在點使得平面，命題②正確；對于命題③，，令，整理得，該方程無解，所以，不存在點使得，命題③錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、線線關系的判斷，同時也涉及了立體幾何中的新定義，利用空間向量法來處理是解題的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.10．B【解析】【分析】由題意可知，當平面α經(jīng)過BCNM時取得的截面面積最大，此時截面是等腰梯形；根據(jù)正四棱臺的高及MN中點在底面的投影求得等腰梯形的高，進而求得等腰梯形的面積．【詳解】當斜面α經(jīng)過點時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時α為等腰梯形，上底為MN=4，下底為BC=8此時作正四棱臺俯視圖如下：則MN中點在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5因為正四棱臺的高為5，所以截面等腰梯形的高為所以截面面積的最大值為所以選B【點睛】本題考查了立體幾何中過定點的截面面積問題，關鍵是分析出截面的位置，再根據(jù)條件求得各數(shù)據(jù)，需要很好的空間想象能力，屬于難題．11．.【解析】【分析】先求圓錐底面圓的半徑，再由直角三角形求得圓錐的高，代入公式計算圓錐的體積即可。【詳解】設圓錐底面半徑為r，則由題意得，解得.∴底面圓的面積為.又圓錐的高.故圓錐的體積.【點睛】此題考查圓錐體積的計算，關鍵是找到底面圓半徑和高代入計算即可，屬于簡單題目。12．；【解析】【分析】由體積公式得，長寬高變化后體積公式為，這樣可用表示，然后結合基本不等式求得最值．【詳解】依題意，設新長方體高為，則，∴，當且僅當時等號成立．∴的最大值為．故答案為．【點睛】本題考查長方體體積，考查用基本不等式求最值，屬于中檔題型．13．【解析】【分析】將三棱錐補成長方體，根據(jù)棱長求出外接球的半徑，然后求出外接球的表面積，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，邊長分別為，，，則，所以，所以，則球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積，屬于中檔題.14．【解析】【分析】通過題意可知當E,F分別是AB,上的中點，P為正方形中心時，PE取最小值，利用兩點間距離計算即可求出.【詳解】如圖建立空間直角坐標系：設，則，點P到F的距離等于點P到平面的距離，，整理得P點軌跡方程：，所以P到平面的距離，,所以，此時P與F共線垂直,又當E,F分別是AB,上的中點，P為正方形中心時，PE取最小值，此時，.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用空間向量求兩點間的距離，及結合圖形研究最值問題，屬于難題.15．①②【解析】【分析】取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得出，可判斷出命題①的正誤；由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，并由平面平面，得出三棱錐體積的最大值，可判斷出命題②的正誤；取的中點，連接，由，結合得出平面，推出得出矛盾，可判斷出命題③的正誤.【詳解】如下圖所示：對于命題①，取的中點，連接、，則，，，由勾股定理得，易知，且，、分別為、的中點，所以，，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面，命題①正確；對于命題②，由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，當平面平面時，三棱錐體積取最大值，取的中點，則，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面積為，所以，三棱錐的體積的最大值為，則三棱錐的體積的最大值為，命題②正確；對于命題③，，為的中點，所以，，若，且，平面，由于平面，，事實上，易得，，，由勾股定理可得，這與矛盾，命題③錯誤.故答案為：①②.【點睛】本題考查直線與平面平行、錐體體積的計算以及異面直線垂直的判定，判斷這些命題時根據(jù)相關的判定定理以及性質(zhì)定理，在計算三棱錐體積時，需要找到合適的底面與高來計算，考查空間想象能力，考查邏輯推理能力，屬于難題.16．（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結，可證，從而得到要求證的平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求二面角的大小.【詳解】（1）證明：連結，交于點，為的中點，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量，則，取，得，又平面的法向量，，而，，∴二面角的平面角為．【點睛】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結為向量的夾角的計算，也可以構建空間角，把角的計算歸結平面圖形中的角的計算.17．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）在線段上取一點，使得，，證明四邊形為平行四邊形，得到，然后證明平面．（Ⅱ）以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一個法向