6.4.3.2正弦定理2019-2020學(xué)年2月高一數(shù)學(xué)同步【自學(xué)課件】（新教材）

中物理第六章第4節(jié)人教A版數(shù)學(xué)（高中）6.4.3.2正弦定理

學(xué)易同步精品課堂1課堂導(dǎo)入引例：在中，已知，求b、a.分析：由余弦定理列出方程組解方程組即可。提出問(wèn)題：這兩個(gè)方程都是二次的，解起來(lái)比較麻煩，那么有沒(méi)有簡(jiǎn)便方法呢？這就是我們本節(jié)課要研究的內(nèi)容——正弦定理。2學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解并掌握正弦定理的內(nèi)容；2、掌握正弦定理證明的方法；3、正確選擇正、余弦定理解簡(jiǎn)單的斜三角形。問(wèn)題2：上述兩等式間有聯(lián)系嗎？（以c為媒介）問(wèn)題1：直角三角形中sinA、sinB與a、b、c之間由什么關(guān)系?ABCcba3新課講解該式子形式統(tǒng)一和諧，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真感受數(shù)學(xué)之美，并回想以下數(shù)學(xué)中還有哪些公式向我們展現(xiàn)了和諧之美。CBAOacb正弦定理的證明：2則如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ即:方法一：設(shè)三角形ABC的外接圓圓心為O，連CO交圓與D，連BD.問(wèn)題3:

是否對(duì)所有三角形都成立，如何證明？D=2R同理:=2R方法二：用向量知識(shí)證明正弦定理3分析：可用由誘導(dǎo)公式：sinθ=cos(90θ)轉(zhuǎn)化。

ACB夾角的確定為我們構(gòu)造數(shù)量積創(chuàng)造了有利條件。問(wèn)題1:向量的數(shù)量積的定義中兩向量的夾角是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系，這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢？這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90θ，為了方便證明，就需要添加垂直于三角形一邊的單位向量

。同理，過(guò)C作單位向量

垂直于，可得在銳角三角形形中證明正弦定理4由向量的加法可知：即bacACB證明：在銳角中，過(guò)A作單位向量垂直于，證明：在鈍角中，不妨設(shè)A為鈍角,過(guò)A作單位向量垂直于，在鈍角三角形中證明正弦定理5由向量的加法可知：即同理，過(guò)C作單位向量

垂直于，可得ACBacb正弦定理的內(nèi)容6正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即備注：（1）其中R為三角形外接圓的半徑；（2）正弦定理適合任意三角形。4典例剖析例1:在中，已知，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）.解：∵且我們先來(lái)解決以下引例中的問(wèn)題結(jié)論：(1)正弦定理可以解決已知兩角，及其中一角的對(duì)邊(AAS)的解三角形問(wèn)題。（比我們開(kāi)始用的余弦定理簡(jiǎn)單）（2）(AAS)的解三角形問(wèn)題只有一組解。例2:在中，已知，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）.解：∵且結(jié)論：(1)正弦定理可以解決已知兩角，及其中一角的對(duì)邊(ASA)的解三角形問(wèn)題。（2）(ASA)的解三角形問(wèn)題只有一組解。例2:在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B（精確到1°）和c（保留兩個(gè)有效數(shù)字）。解：∵∴B1＝64°，B2＝116°，當(dāng)B1＝64°時(shí)，C1＝180°－（B1＋A）＝180°－（64°＋40°）＝76°∴當(dāng)B2＝116°時(shí)，C2＝180°－（B2＋A）＝180°－（116°＋40°）＝24°∴思考：例2為什么有兩個(gè)解？（結(jié)合三角形全等和三角形的邊角關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理回答。答：（1）例2中給出了兩個(gè)邊和其中一邊的對(duì)角，即（AAS）。而根據(jù)全等三角形的判定定理我們知道AAS的三角形未必全等，所以有兩個(gè)解。（2）兩個(gè)解都不違背大角對(duì)大邊定理。（3）兩個(gè)解都不違背三角形的內(nèi)角和定理。已知兩邊和其中一邊的對(duì)角探究三角形解的個(gè)數(shù)7例3：(1)中，已知，則滿足該條件的三角形共有多少個(gè)？解：我們可以通過(guò)作圖來(lái)解答該題（1）作，固定下（2）作，固定下與有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)這樣的三角形。（3）以為圓心，為半徑劃弧，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角探究三角形解的個(gè)數(shù)7例3：(2)中，已知，則滿足該條件的三角形共有多少個(gè)？解：我們可以通過(guò)作圖來(lái)解答該題（1）作，固定下（2）作，固定下（3）以為圓心，為半徑劃弧，與有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)都滿足題意，所以有兩個(gè)這樣的三角形。已知兩邊和其中一邊的對(duì)角探究三角形解的個(gè)數(shù)7例3：(2)中，已知，則滿足該條件的三角形共有多少個(gè)？解：我們可以通過(guò)作圖來(lái)解答該題（1）作，固定下（2）作，固定下與無(wú)交點(diǎn)所以滿足條件的三角形不存在。（3）以為圓心,為半徑劃弧，思考：例3中的3個(gè)小題，有沒(méi)有別的解法？答：我們可以運(yùn)用例2的方法，直接用正弦定理求解，求出的結(jié)果只要不違背大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角和定理都是對(duì)的。注意：用代數(shù)法求解時(shí)，有多個(gè)解一定要驗(yàn)證是否滿足大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角和定理。小結(jié)：已知a,b和A(銳角），解的個(gè)數(shù)判斷?！痉桨敢弧繜o(wú)解sinB<1?是b>a?是兩解否sinB=1?否是一解否一解注意：sinB<1，且已知角多對(duì)的邊較小，有兩個(gè)解?！痉桨付緼CBBACBACa正弦定理的變形知識(shí)拓展85課堂小結(jié)一個(gè)定理——正弦定理二種方法——

平面幾何法