河北唐山市2022年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知變量的幾組取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若）'與x線性相關(guān)，且9=O.8x+a,則實(shí)數(shù)?=（）

2.已知加，〃是兩條不重合的直線，a,4是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若加〃a,a///3,則加〃￡或機(jī)

B.若“7//n,m//a,n<^a,則〃//a

C.若〃mLa,n■工0,則a_L￡

D.若〃?_!_〃，mLa,則"〃a

_1-4-7

3.已知復(fù)數(shù)z=l-i,三為z的共枕復(fù)數(shù)，則一=()

z

4.函數(shù)二(二)=丫7二=3+三的定義域?yàn)?)

A.[(,3)U(3,+8)B.(-00,3)U(3,+oo)

C.住，+oo)D.(3,+oo)

5.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃力=，—分）產(chǎn)的圖象大致是（）

6.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線/則實(shí)數(shù)"的取值

范圍是()

2

7.設(shè)2=——+(l+z)2(i是虛數(shù)單位)，貝!J|z|=()

1+i

A.V2B.1C.2D.75

/\2.

8.已知復(fù)數(shù)Z1=l+ai(aeR),Z2=l+2,(i為虛數(shù)單位)，若丁為純虛數(shù)，則。=()

11

A.-2B.2C.——D.-

22

2；一:，則/(/(-1))=()

9.已知函數(shù)/(%)=,

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

10.設(shè)全集U={xeZ|(x+l)(x—3)<0},集合A={0,l,2},則=()

A.{T3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3}

11.在AABC中，Nfi4c=60。，AB=3,AC=4,點(diǎn)M滿足兩=2碇，則通?福7等于()

A.10B.9C.8D.7

2

12.若雙曲線C：--/=!的一條漸近線方程為3x+2y=0,則/"=()

tn

4923

A.-B.-C.-D.-

9432

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知雙曲線與z=l(a>0,6>0)與拋物線V=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)尸，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若附1=5,則點(diǎn)

b2

F到雙曲線的漸近線的距離為.

7

14.若復(fù)數(shù)z滿足丁=2+i,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是.

1

15.已知復(fù)數(shù)二滿足匕2=i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)2的實(shí)部為.

Z

16.在AABC中，已知福.衣+2麗?配=3瓦?麗，貝!IcosC的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x2—6x+41nx

(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若存在實(shí)數(shù)a*,c(0<a<b<c),使得/(a)=/3)=/(c),求證：c-a<2

18.(12分)己知圓B：(x+l>+yi=/(1W吐3),圓尸1：(x-l>+yi=(4-r)L

(1)證明：圓Fi與圓所有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；

(1)已知點(diǎn)QQ”,0)(//!<0),過點(diǎn)E斜率為依A/))的直線與(I)中軌跡E相交于N兩點(diǎn)，記直線。M的斜率

為ki,直線。N的斜率為心，是否存在實(shí)數(shù)，〃使得A的+加)為定值？若存在，求出機(jī)的值，若不存在，說明理由.

19.(12分)(本小題滿分12分)已知橢圓C：|J+|5=」(二〉二>0)的離心率為三，連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊

形面積為4、工

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)A(L0)的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且三+三=二三(二=0)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

當(dāng)三-三'|<三時(shí)，求t的取值范圍.

x=2cosa[x.-x

20.(12分)在直角坐標(biāo)系x。)，中，曲線C的參數(shù)方程為《.(a為參數(shù)，將曲線C經(jīng)過伸縮變換?

、y=sina[y=2y

后得到曲線G.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cosO+Qsin。-5=0.

(1)說明曲線G是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程；

TT

(2)已知點(diǎn)M是曲線G上的任意一點(diǎn)，又直線/上有兩點(diǎn)E和尸，且1防1=5,又點(diǎn)￡的極角為彳，點(diǎn)尸的極角

為銳角.求：

①點(diǎn)尸的極角；

②AEA/F面積的取值范圍.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(%)=2%2+alnx,(?eR).

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為y=2x+m,求實(shí)數(shù)°、機(jī)的值；

(2)若/(2%-1)+2>2〃力對(duì)任意工?2,+^)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)關(guān)于x的方程〃x)+2cosx=5能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論.

2222

22.(10分)已知a>/?>0,如圖，曲線「由曲線G：二+4=l(y40)和曲線G：=一與■=l(y>0)組成，其

ab~a-b~

中點(diǎn)6,尸2為曲線G所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)K，K為曲線C?所在圓錐曲線的焦點(diǎn).

(I)若6(2,0),月(—6,0),求曲線「的方程；

(U)如圖，作直線/平行于曲線的漸近線，交曲線G于點(diǎn)A8,求證：弦AB的中點(diǎn)”必在曲線g的另一條

漸近線上；

(in)對(duì)于(I)中的曲線「，若直線4過點(diǎn)K交曲線G于點(diǎn)C。，求ACDG面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

求出H，把坐標(biāo)丘J)代入方程可求得

【詳解】

_15—1IQIQ511

據(jù)題意，得x=z(l+2+3+4)=5，y=z(2.4+4.3+5.3+7)=j,所以j=0.8x/+a,所以a=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)點(diǎn),亍)可計(jì)算參數(shù)值.

2.D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷夕，夕所成的二面角為

90°；D中有可能〃ua,即得解.

【詳解】

選項(xiàng)A：若加〃a,aH(3,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有m10或mu/3,故A正確；

選項(xiàng)B：若"？〃"，m//a,n(za,由線面平行的判定定理，有〃〃a,故B正確；

選項(xiàng)C：若加_L〃，nLp,故e,￡所成的二面角為90°，則。，力，故C正確；

選項(xiàng)D,若/〃_L〃，mVa,有可能〃ua,故D不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

3.C

【解析】

求出口直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).

【詳解】

1+z2-<1-3/

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共匏復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

根據(jù)幕函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)二=、'『+七".{=二貶一

解得二且二h3；

，函數(shù)二（二）=、=+三的定義域?yàn)榇鍿）U（3,+z）,故選A.

【點(diǎn)睛】

定義域的三種類型及求法：（1）已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際

意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若已知函數(shù)二（二）的定義域?yàn)椋鄱?則函數(shù)二（二（二））的定義域由不

等式二<Z（Z）<二求出.

5.B

【解析】

由/（x）=0,解得f一以=o,即％=0或x=a,二“>。,.?.函數(shù)/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，.?.AC,不正確，設(shè)“=1,

1x

則/（x）=（X-x）e\:.f\x）=^+x-\）e,由尸（x）=（V+l）e*>。，解得x>一；乙或x<,

由/（力=卜2-1.<0,解得：一二二號(hào)6,即x=—1是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，二。不成立，排除O,

故選B.

【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及

xf0+,xf（T,xf+8,x-—8時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.

6.D

【解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以“<0,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1+乙—f）（f>0）,

3

將其代入雙曲線可解得.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以。<0,

根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1+乙@f）（f>0）,將其代入雙曲線方程得：

3

(1+f)2+4(學(xué))2=1,

-2

即1［，由，＞0得av—3?

—a+1

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

7.A

【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出z,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出Iz|.

【詳解】

2_____

Vz=—+(1+Z)2=1-Z+2/=1+Z,.?.|Z|=JF+I2=&

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用,

屬于容易題.

8.C

【解析】

2

把Z|=l+ai(aeH),Zz=l+2i代入一利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可.

Z2

【詳解】

?:%=1+Q，(Q￡/?),Z2=1+2"

z.l+(l+6iz)(l-2z)1+2〃a-2.

?—=--------=-----------------------=------------1----------1

z2l+2z(l+2z)(l-2z)55

??Z?],為純虛數(shù),

Z2

1+2Q=0

解得a=_

。一2wO2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.

【詳解】

因?yàn)?(%)=F，一："?所以/(/(-1))=/⑵=22-2=2.

x+l,x<0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

10.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的補(bǔ)集.

【詳解】

由(x+l)(x-3)40解得-UV3,故。={—1,0,1,2,3},所以QA={—1,3},故選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

利用已知條件，表示出向量加，然后求解向量的數(shù)量積.

【詳解】

_________1_2—

在AABC中，ZB4c=60。，AB=3,AC=4,點(diǎn)/滿足兩=2砒，AM=-AB+-AC.

貝!I麗.亞=4夙((44+?,仁)=14才+|4k43=3+|乂3*4乂3=7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.

12.A

【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得，”的值.

【詳解】

由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±9尤(加>0),3了+2丁=0可化為)，=一|%，則白=；,解得m=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.百

【解析】

設(shè)點(diǎn)P為（%,%），由拋物線定義知，|閉=而+2=5,求出點(diǎn)尸坐標(biāo)代入雙曲線方程得到。力的關(guān)系式，求出雙曲

線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】

由題意得尸（2,0）,因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線V=8x上，\FP\=5,設(shè)點(diǎn)P為（天，為），

%=3

由拋物線定義知，忻“=/+2=5,解得，

=±2"

「Y2v2924

不妨取P(3,2a),代入雙曲線0-4=1,得r-7T=1,

a1b-a-b1

b

又因?yàn)閷?加=4,解得a=l,b=B因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

所以雙曲線的漸近線為產(chǎn)士百x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,

|±2四

點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離d6

故答案為：出

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是

求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

14.V5

【解析】

先求得復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.

【詳解】

.?.z=2i+i2=—l+2i，則忖=6?

故答案為：亞

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題.

15.2

【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

z=-=^=2-i,所以復(fù)數(shù)二的實(shí)部為2.

II

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

傷歷

10.----

3

【解析】

分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA+2?ccosB=3^cosC,然后再結(jié)合余弦定理整理為

/+2從=3c2,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知A月.*+2瓦(?BC；=3C5?奇，可得bccosA+2accos3=3a〃cosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

221L2

a2+2b2^3c2,由「a2+b2-c2鏟+5、垃,當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)，故cosC的最小值為衛(wèi).

COSC=--------------=------------>——Q

2ab2ab3J

點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化福.而+2麗?覺=3而?函是解題關(guān)

鍵.屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)x€(0,1)=(2,轉(zhuǎn))時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，xe(l,2),,函數(shù)單調(diào)遞減，/Wmin41n2-8;/(x)milx-5；(2)見

解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；

(2)易得，"e(41n2-8,-5)且0<a<l<b<2<c,要證明。一。<2,即證c<2+a,即證/(c)=/3)<f(a+2),

即/3+2)-/(。+2)>0對(duì)Vaw(O,l)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/(x+2)-/(x),X€(O,1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證；

【詳解】

解：(1)因?yàn)?。)=》2一6》+4111》定義域?yàn)?(),+<?),

所以/'(X)=2(XT)(X-2),

X

???x?0,l)u(2,yo)時(shí)，r(x)>0,即f(x)在(0,1)和(2,+8)上單調(diào)遞增,當(dāng)xe(1,2)時(shí)，/(x)<0,即函數(shù)

/(x)在(1,2)單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=2處取得極小值，在x=l處取得極大值；

；?"X)極小值=/⑵=4In2-8,八幻極大值=/(D=-5.

(2)易得n?w(41n2—8,-5),。V。vlv/?v2vc,

要證明。一〃<2,即證c、v2+。，即證/(c)=/(〃)</(〃+2)

即證f(a+2)-/(a+2)>0對(duì)V"e(0,1)恒成立，

令g(x)=/(x+2)-/(x),xe(0,l),

則g'(x)=fXx+2)-f'(x)=4［甘1?。?gt;0

令g，(x)>0,解得1>%>6—1,即g(x)在(G-1,1)上單調(diào)遞增；

令g'(x)<0,解得0<%<6一1,即g(x)在上單調(diào)遞減；

則8(%)在％=0-1取得極小值，也就是最小值，

■■■=g(V3-1)=473-12+4ln(V3+1)-4ln(V3-1)>4百一12+41ne—4(G—2)=0從而結(jié)論得證?

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于

中檔題.

22

18.(1)見解析，工+匕=1(1)存在，m=-2

43

【解析】

⑴求出圓F1和圓工的圓心和半徑，通過圓肌與圓B有公共點(diǎn)求出用的范圍，從而根據(jù)|P制+歸國(guó)=4可得p

點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出方程；

（D過工點(diǎn)且斜率為A的直線方程為y=%。-1），設(shè)M（玉,yj,N（X”2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)

定理以及占=一^,勺=一1,可得人化+內(nèi)）=”?,：24羋根據(jù)其為定值，則有3/—12=（），

進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

（1）因?yàn)椤梗ㄒ?,0）,g（L0）,所以閨閭=2,

因?yàn)閳A6的半徑為「，圓用的半徑為4—r，

又因?yàn)閘WrW3,所以為一廠一廠區(qū)2,即|4一一/?區(qū)閨瑪區(qū)4-r+川,

所以圓月與圓瑞有公共點(diǎn)，

設(shè)公共點(diǎn)為P,因此歸用+歸閭=4,所以P點(diǎn)的軌跡￡是以￡（-1,0）,與（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓，

所以2a=4,c=l=a=2,b=>

x2v2

即軌跡E的方程為士+上~=1；

43

⑴過B點(diǎn)且斜率為左的直線方程為y=z（x-D，設(shè)

￡片=]

由《43一消去），得到（4左2+3卜2-8人+4/一12=0,

y^k（x-l）

m"8k24k2-12G

wyx,+x.=-z——，Xjx=――①

1一軟2+324k-+3

因?yàn)樨?~~-9h=———,

xx-mx2-m

所以左（,+匕）=左（^^+」^]二左（小二。十殳二?、

（王一加x2-mj1%一加x2—my

=k2（」T々T）=k2」-1）（尤2-加）+（工2-1）（西-加）

xx-mx2-m)（--m）（x2-in）

_422中2-（團(tuán)+1）（工1+9）+2加

2

x}x2-7n（Xj+x2）+m

將①式代入整理得k（k]+k2）=（鬻24產(chǎn)

'’4（加一1）2左2+3加--12

因?yàn)閙＜（）,

所以當(dāng)3m2一12=0時(shí)，即根=一2時(shí)，％（4+42）=-1.

即存在實(shí)數(shù)加=—2使得％收+右）=-1?

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓定理求橢圓方程，考查橢圓中的定值問題，靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵，并且觀察出取定值的條

件也很重要，考查了學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是中檔題.

19.⑴三+三=八（2）Ze[-1,一當(dāng)u（W1].

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解

決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先利用離心率、二：=二：+二:、四邊形的面積列出方程，解出a和b

的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，直線方程與橢

圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到二/+二;、二/二;，利用三+三=二三列出方程，解出二（二二），代入到橢

圓上，得到二二的值，再利用|三-三'|＜一,計(jì)算出二;的范圍，代入到二:的表達(dá)式中，得到t的取值范圍.

試題解析：（1）：二=三，:.二，=I-W==,：.M==，即二’=2二".

又二=gx2二X2匚=4、，2,二二二=2、1,二二；=2,二；=4.

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+5=1.

（2）由題意知，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為二=二（二一/）,二（二〃二。二（二；，二；），二U，二）,

二-I-二一；..

聯(lián)立方程‘；一’消去y得。+2二'）二’—4二?二+2二?-4=0,

{匚=口（口一＞

因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以二="二'-4（1+2二：）（2二：-4）=24匚;+16＞。恒成立,

???二/+二;=急，口二;=忌，二/+二;=二（"二;）-二二二77^，

又?:二二+二二=二二二，

（一二；十二二二

匚產(chǎn)匚匚，.一-二0+2二;）'

“（匚）+匚：=匚=，"-0+口2一2口

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓m+m=j上，所叼S+益…

即，二：=二;。+2二;），二二：=,=/一看，

Xv|ZZ-ZZ|＜^,

即1王1＜苧，二山+二;?二「二;i＜w整理得：+匚；?斗辱工蕓,

Si1+JU5

化簡(jiǎn)得：13二'一5二；一8＞。，解得二：〉減二：〈一（（舍），

???二：=i-*，??，＜?＜/,即二6（一乙-y）U（y,1）.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，二（/,馬，二。，-上），此時(shí)二=±/,

JJ

二二W[-1,-y）U（y,J].

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系.

20.（1）曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.G的極坐標(biāo)方程為0=2（2）①?②甲2—5,勺2+5

【解析】

（1）求得曲線。伸縮變換后所得C的參數(shù)方程，消參后求得G的普通方程，判斷出G對(duì)應(yīng)的曲線，并將G的普通

方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)

①將E的極角代入直線/的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)￡的極徑，判斷出AEOE為等腰三角形，求得直線/的普通方程,

乃

由此求得//￡。=勺7T，進(jìn)而求得從而3求得點(diǎn)尸的極角.

48

②解法一：利用曲線G的參數(shù)方程，求得曲線G上的點(diǎn)”到直線/的距離d的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得d的

最小值和最大值，由此求得尸面積的取值范圍.

解法二：根據(jù)曲線G表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓G上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得

AEMr面積的取值范圍.

【詳解】

x=2cosa,

(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為｛.(a為參數(shù))，

y=sina

x,=x,fx.=2cosa,

因?yàn)?則曲線G的參數(shù)方程c.

y=2y[y=2sina

所以G的普通方程為x；+y；=4.所以曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.

所以G的極坐標(biāo)方程為02=4,即。=2.

TT

(2)①點(diǎn)E的極角為一，代入直線/的極坐標(biāo)方程pcose+psin。-5=0得點(diǎn)￡

2

極徑為夕=5,且|￡/|=5,所以AEO尸為等腰三角形，

又直線/的普通方程為x+y-5=0,

7T3乃

又點(diǎn)尸的極角為銳角，所以/尸國(guó)？=:，所以NF0E=k，

48

43乃71

所以點(diǎn)尸的極角為

288

②解法1：直線/的普通方程為x+y-5=0.

曲線G上的點(diǎn)M到直線/的距離

2>/2sin6Z4--|-5

12cosa+2sino-5114).

-----質(zhì)-----=------6-----------------

當(dāng)sin(a+?)=l,即a=+((左cZ)時(shí)，

JWrr-x-.lBI-、，I—5|5\/2

d取到最小值為-——廣~-=-----2.

y/22

當(dāng)sin[a+?）=-l,即a=2Z萬一,（女eZ）時(shí),

d取到最大值為等考+2.

15A/2莘+5

所以AEM/面積的最大值為；x5x++2

22

所以AEM尸面積的最小值為:x5x庭

~T

故AEME面積的取值范圍

解法2：直線/的普通方程為x+y-5=0.

因?yàn)閳AG的半徑為2,且圓心到直線/的距離d="+尸=—

V22

因?yàn)槭觯?,所以圓G與直線/相離.

2

所以圓c上的點(diǎn)M到直線/的距離最大值為"+r=逑+2,

2

最小值為4一一=拽—2.

2

|C/Q2+5

所以AEM尸面積的最大值為；x5x——+2

2\2/

所以尸面積的最小值為gx5x

故AEW面積的取值范圍丁一5,二+5

【點(diǎn)睛】

本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直

線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼

考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).

(4

21.(1)a=-29m=0；(2)-00,—~Z；~~；-7(3)不能，證明見解析

I21n2-ln3

【解析】

(1)求出了'(X),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;

(2)構(gòu)造觸(0=〃2%-1)+2-2/(%),則原題等價(jià)于〃(x)>0對(duì)任意xe[2,+8)恒成立，即xe[2,+8)時(shí),

h{x}mm>0,利用導(dǎo)數(shù)求〃(x)最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由/?(2)>0求出4的范圍，再研究該

范圍下〃(x)單調(diào)性;

(3)構(gòu)造g(x)=/(x)+2cosx-5并進(jìn)行求導(dǎo)，研究g(x)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.

【詳解】

(1)v/(%)=2^4-tzlnx,

/'(x)=4x+—,

X-

曲線y="X)在點(diǎn)(1,/(!))處的切線方程為y=2x+m,

/⑴=4+a=2

〃l)=2=2xl+m'

a=-2

解得

m=0

(2)記秋x)=〃2x—1)+2—2/(x),

2

整理得〃(x)=4(尤一1)9一^^廣一r丁

22

/?'(x)=8(x-l)-tz

x2x-l2x2-x

由題知，/(2%-1)+2>2/(%)對(duì)任意》6[2,+00)恒成立,

/z(x)>0對(duì)任意xe[2,+oo)恒成立，即xe[2,+oo)時(shí)，〃(*)“血>0,

???//(2)>0,解得a<------------,

2In2-In3

4

當(dāng)Q<--------時(shí)，

21n2-ln3

對(duì)任意XC[2,+8),x-l>o,2X2-X=2

46

bl

44久

4（2x2-x）-a>4x6->0

21n2-ln32In2-In3

h\x)>0,即〃(x)在［2,+8)單調(diào)遞增，此時(shí)/z(x)min=〃(2)>0,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為一高』

(3)關(guān)于尤的方程/'(x)+2cosx=5不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，以下給出證明：

iB^(x)=/(x)+2cosx-5=2x2+〃lnx+2cosx-5,xe(0,+oo),

則關(guān)于x的方程”x)+2cosx=5有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),

(x)=4%+—-2sinx,

x

當(dāng)時(shí)，->0,

x

記“(X)=4x-2sinx,則/(x)=4-2cosx>0,

"(X)在(O,+8)單調(diào)遞增，

”(x)>“(0)=0,即4x-2sinx>0,

/.g<x)=4x+0-2sinx>0,

,g")在(0,+8)單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，

記Q(X)=4XH-----2sinx,

貝(J"(x)=4-二-2cosx>4-2cosx〉0,

A0(X)在(。,+8)單調(diào)遞增，即g'(X)在(。,+8)單調(diào)遞增，

???g'(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，則g(x)至多有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn).

因此，g(尤)不可能有三個(gè)零點(diǎn).

,關(guān)于X的方程/