高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第三部分8回顧8算法與推理證明學(xué)案

回顧8算法與推理證明[必記知識]三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的對比分析順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的結(jié)構(gòu)算法的流程根據(jù)條件是否成立會有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的結(jié)構(gòu)從算法某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體程序框圖[提醒])（1）循環(huán)結(jié)構(gòu)不能是永無終止的“死循環(huán)”，一定要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要用條件結(jié)構(gòu)來作出判斷，因此循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定要包含條件結(jié)構(gòu).（2）一般地，循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計(jì)數(shù)變量和累加（乘）變量，計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，同時它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止；累加（乘）變量用于表示每一步的計(jì)算結(jié)果.計(jì)數(shù)變量和累加（乘）變量一般同步執(zhí)行，累加（乘）一次，計(jì)數(shù)一次.歸納推理與類比推理的區(qū)別與聯(lián)系歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體，由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1)通過觀察個別對象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類對象之間的相似性或一致性(2)用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的類似性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)證明方法(1)分析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知．推理模式：框圖表示eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(\a\al(得到一個明顯,成立的條件))(2)綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知．推理模式框圖表示：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．(3)反證法一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．[提醒])（1）數(shù)學(xué)歸納法主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）初始值n0不一定是1.（3）證明當(dāng)n＝k＋1時命題成立，要搞清從n＝k到n＝k＋1，增加了哪些項(xiàng)或減少了哪些項(xiàng).[必會結(jié)論]歸納推理的思維過程eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(概括、推廣)→eq\x(猜測一般性結(jié)論)類比推理的思維過程eq\x(實(shí)驗(yàn)、觀察)→eq\x(聯(lián)想、類推)→eq\x(猜測新的結(jié)論)[必練習(xí)題]1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a＝－1，b＝－2，那么輸出的a的值為()A．16 B．8C．4 D．2解析：選B.初始值：a＝－1，b＝－2.第一次循環(huán)：a＝(－1)×(－2)＝2，b＝－2；第二次循環(huán)：a＝2×(－2)＝－4，b＝－2；第三次循環(huán)：a＝(－4)×(－2)＝8＞6，此時循環(huán)結(jié)束，輸出aB.2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．0C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：選B.初始值：S＝0，n＝1.第一次循環(huán)：S＝eq\f(\r(3),2)，n＝2；第二次循環(huán)：S＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，n＝3；第三次循環(huán)：S＝eq\r(3)，n＝4；第四次循環(huán)：S＝eq\f(\r(3),2)，n＝5；第五次循環(huán)：S＝0，n＝6，此時不滿足n＜6，循環(huán)結(jié)束，輸出SB.3．某程序框圖如圖所示，若輸出的S＝29，則判斷框內(nèi)應(yīng)填()A．k＞5? B．k＞4?C．k＞7? D．k＞6?解析：選B.程序在運(yùn)行過程中各變量的值的變化如下表：kS是否繼續(xù)循環(huán)初始狀態(tài)11第一次循環(huán)25是第二次循環(huán)311是第三次循環(huán)419是第四次循環(huán)529否由表可知，退出循環(huán)的條件應(yīng)為k＞4？.故選B.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)時，由n＝k(k＞1)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：選C.由題意得，當(dāng)n＝k時，左邊＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)；當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).因?yàn)?k＋1－1－(2k－1)＝2k，所以左邊增加了2k項(xiàng)．故選C.5．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是()A.eq\f(3\r(3),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選A.由題意知，凸函數(shù)滿足eq\f(f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).又因?yàn)閥＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，在△ABC中，所以sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).故選A.6．某次夏令營中途休息期間，3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對她是哪個地方的人進(jìn)行了判斷：甲說胡老師不是上海人，是福州人；乙說胡老師不是福州人，是南昌人；丙說胡老師不是福州人，也不是廣州人．聽完以上3個人的判斷后，胡老師笑著說，你們3人中有1人說的全對，有1人說對了一半，有1人說的全不對，由此可推測胡老師()A．一定是南昌人 B．一定是廣州人C．一定是福州人 D．可能是上海人解析：選D.由題意可知，若胡老師是南昌人，則甲說的對一半，乙說的全對，丙說的全對；若胡老師是廣州人，則甲、乙、丙說的都對了一半；若胡老師是福州人，則甲說的全對，乙說的全錯，丙說的對一半；若胡老師是上海人，則甲說的全錯，乙說的對一半，丙說的全對．綜上所述，胡老師可能是福州人，也可能是上海人．故選D.7．如圖，有一個六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個點(diǎn)，算第1層，第2層每邊有2個點(diǎn)，第3層每邊有3個點(diǎn)，以此類推．如果一個六邊形的點(diǎn)陣共有169個點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選C.第一層點(diǎn)數(shù)為1，第二層點(diǎn)數(shù)為6，第三層點(diǎn)數(shù)為6＋6＝2×6，第四層點(diǎn)數(shù)為6＋6＋6＝3×6，第五層點(diǎn)數(shù)為6＋6＋6＋6＝4×6，…，第n層點(diǎn)數(shù)為6(n－1)，設(shè)一個圖形共有n層時，共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6×(1＋2＋3＋…＋n－1)＝1＋6×eq\f(（n－1）n,2)＝3n2－3nn2－3n＋1＝169，解得nC.8．我國古代名著《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完．現(xiàn)將該木棍以此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取7天后所剩木棍的長度(單位：尺)，則①②③處可分別填入的是()A．i≤7？，S＝S－eq\f(1,i)，i＝i＋1B．i≤128？，S＝S－eq\f(1,i)，i＝2iC．i≤7？，S＝S－eq\f(1,2i)，i＝i＋1D．i≤128？，S＝S－eq\f(1,2i)，i＝2i解析：選B.初始值：S＝1，i＝2.第一次循環(huán)：S＝1－eq\f(1,2)，i＝4；第二次循環(huán)：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)，i＝8；第三次循環(huán)：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)－eq\f(1,8)，i＝16；以此類推，第七次循環(huán)：S＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)－eq\f(1,8)－…－eq\f(1,128)，i＝256，此時不滿足條件，退出循環(huán)．則①處應(yīng)填入的條件是i≤128？，②處應(yīng)填入的是S＝S－eq\f(1,i)，③處應(yīng)填入的是i＝2i.故選B.9．如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果是________．解析：初始值：S＝0，n＝2.第一次循環(huán)：S＝eq\f(1,2)，n＝4；第二次循環(huán)：S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循環(huán)：S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8，此時n＝8＜8不成立，循環(huán)結(jié)束，故輸出S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).答案